Все свойства вписанной окружности в прямоугольную трапецию

Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

  • Основы трапеции — параллельные стороны
  • Боковые стороны — две другие стороны
  • Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
  • Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны
  • Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам
Все свойства вписанной окружности в прямоугольную трапециюВсе свойства вписанной окружности в прямоугольную трапецию
Рис.1Рис.2

Содержание
  1. Основные свойства трапеции
  2. Сторона трапеции
  3. Формулы определения длин сторон трапеции:
  4. Средняя линия трапеции
  5. Формулы определения длины средней линии трапеции:
  6. Высота трапеции
  7. Формулы определения длины высоты трапеции:
  8. Диагонали трапеции
  9. Формулы определения длины диагоналей трапеции:
  10. Площадь трапеции
  11. Формулы определения площади трапеции:
  12. Периметр трапеции
  13. Формула определения периметра трапеции:
  14. Окружность описанная вокруг трапеции
  15. Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:
  16. Окружность вписанная в трапецию
  17. Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности
  18. Другие отрезки разносторонней трапеции
  19. Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:
  20. Узнать ещё
  21. В прямоугольную трапецию вписана окружность
  22. Трапеция. Свойства трапеции
  23. Свойства трапеции
  24. Свойства и признаки равнобедренной трапеции
  25. Вписанная окружность
  26. Площадь
  27. 🎬 Видео

Видео:ЕГЭ ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ В ПРЯМОУГОЛЬНУЮ ТРАПЕЦИЮ | ЗАДНИЙ ХОД В МАТЕМАТИКЕ ИЛИ КАКОЙ ТО ПОДВОХ |Скачать

ЕГЭ ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ В ПРЯМОУГОЛЬНУЮ ТРАПЕЦИЮ | ЗАДНИЙ ХОД В МАТЕМАТИКЕ ИЛИ КАКОЙ ТО ПОДВОХ |

Основные свойства трапеции

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

m =a + b
2

BC : AD = OC : AO = OB : DO

d 1 2 + d 2 2 = 2 a b + c 2 + d 2

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Сторона трапеции

Формулы определения длин сторон трапеции:

a = b + h · ( ctg α + ctg β )

b = a — h · ( ctg α + ctg β )

a = b + c· cos α + d· cos β

b = a — c· cos α — d· cos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

с =hd =h
sin αsin β

Видео:Геометрия Задача № 26 Найти радиус вписанной в трапецию окружностиСкачать

Геометрия Задача № 26  Найти радиус вписанной в трапецию окружности

Средняя линия трапеции

Формулы определения длины средней линии трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:

m =a + b
2

2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

m =S
h

Видео:Планиметрия 27 | mathus.ru | окружность, касающаяся основания трапеции и вписанной в нее окружностиСкачать

Планиметрия 27 | mathus.ru | окружность, касающаяся основания трапеции и вписанной в нее окружности

Высота трапеции

Формулы определения длины высоты трапеции:

h = c· sin α = d· sin β

2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:

h =sin γ ·d 1 d 2=sin δ ·d 1 d 2
a + ba + b

3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

h =sin γ ·d 1 d 2=sin δ ·d 1 d 2
2 m2 m

4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:

h =2S
a + b

5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

h =S
m

Видео:ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать

ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 класс

Диагонали трапеции

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

d 1 = √ a 2 + d 2 — 2 ad· cos β

d 2 = √ a 2 + c 2 — 2 ac· cos β

2. Формулы диагоналей через четыре стороны:

d 1 =d 2 + ab —a ( d 2 — c 2 )
a — b
d 2 =c 2 + ab —a ( c 2 — d 2 )
a — b

d 1 = √ h 2 + ( a — h · ctg β ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg α ) 2

d 2 = √ h 2 + ( a — h · ctg α ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg β ) 2

d 1 = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d 2 2

d 2 = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d 1 2

Видео:Геометрия В прямоугольную трапецию вписана окружность. Найдите её радиус, если основания трапецииСкачать

Геометрия В прямоугольную трапецию вписана окружность. Найдите её радиус, если основания трапеции

Площадь трапеции

Формулы определения площади трапеции:

1. Формула площади через основания и высоту:

S =( a + b )· h
2

3. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S =d 1 d 2· sin γ=d 1 d 2· sin δ
22

4. Формула площади через четыре стороны:

S =a + bc 2 —(( a — b ) 2 + c 2 — d 2)2
22( a — b )

5. Формула Герона для трапеции

S =a + b√ ( p — a )( p — b )( p — a — c )( p — a — d )
| a — b |

где

p =a + b + c + d— полупериметр трапеции.
2

Видео:Радиус описанной окружности трапецииСкачать

Радиус описанной окружности трапеции

Периметр трапеции

Формула определения периметра трапеции:

1. Формула периметра через основания:

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность вписана в трапецию.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность вписана в трапецию.

Окружность описанная вокруг трапеции

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =a·c·d 1
4√ p ( p — a )( p — c )( p — d 1)

где

p =a + c + d 1
2

a — большее основание

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Окружность вписанная в трапецию

Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности

1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:

r =h
2

Видео:Геометрия В прямоугольную трапецию вписана окружность радиуса 12 см Большая из боковых сторон точкойСкачать

Геометрия В прямоугольную трапецию вписана окружность радиуса 12 см Большая из боковых сторон точкой

Другие отрезки разносторонней трапеции

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:

KM = NL =bKN = ML =aTO = OQ =a · b
22a + b

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Геометрия В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую боковую сторонуСкачать

Геометрия В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую боковую сторону

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Видео:Геометрия В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую боковую сторонуСкачать

Геометрия В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую боковую сторону

В прямоугольную трапецию вписана окружность

Если в условии задачи сказано, что в прямоугольную трапецию вписана окружность, можно использовать следующие свойства.

Все свойства вписанной окружности в прямоугольную трапецию

1. Сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон.

2. Расстояния от вершины трапеции до точек касания вписанной окружности равны.

3. Высота прямоугольной трапеции равна ее меньшей боковой стороне и равна диаметру вписанной окружности.

4. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции.

5. Если точка касания делит боковую сторону на отрезки m и n, то радиус вписанной окружности равен

Все свойства вписанной окружности в прямоугольную трапецию

И еще два полезных свойства прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность:

1) Четырехугольник, образованный центром вписанной окружности, точками касания и вершиной трапеции — квадрат, сторона которого равна радиусу. (AMOE и BKOM — квадраты со стороной r).

2) Если в прямоугольную трапецию вписана окружность, площадь трапеции равна произведению ее оснований.

Все свойства вписанной окружности в прямоугольную трапециюПлощадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:

Все свойства вписанной окружности в прямоугольную трапецию

Обозначим CF=m, FD=n. Поскольку расстояния от вершин до точек касания равны, высота трапеции равна двум радиусам вписанной окружности, а

Видео:Геометрия Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит ее меньшее основаниеСкачать

Геометрия Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит ее меньшее основание

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Все свойства вписанной окружности в прямоугольную трапецию

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Все свойства вписанной окружности в прямоугольную трапецию

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Все свойства вписанной окружности в прямоугольную трапецию

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Все свойства вписанной окружности в прямоугольную трапецию

Видео:Геометрия Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит ее большее основаниеСкачать

Геометрия Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит ее большее основание

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Все свойства вписанной окружности в прямоугольную трапецию

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

Все свойства вписанной окружности в прямоугольную трапецию

3. Треугольники Все свойства вписанной окружности в прямоугольную трапециюи Все свойства вписанной окружности в прямоугольную трапецию, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия – Все свойства вписанной окружности в прямоугольную трапецию

Отношение площадей этих треугольников есть Все свойства вписанной окружности в прямоугольную трапецию.

Все свойства вписанной окружности в прямоугольную трапецию

4. Треугольники Все свойства вписанной окружности в прямоугольную трапециюи Все свойства вписанной окружности в прямоугольную трапецию, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

Все свойства вписанной окружности в прямоугольную трапецию

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

Все свойства вписанной окружности в прямоугольную трапецию

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

Все свойства вписанной окружности в прямоугольную трапецию

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Все свойства вписанной окружности в прямоугольную трапецию

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Все свойства вписанной окружности в прямоугольную трапецию

Видео:Периметр прямоуг. трапеции, описанной около окружн., равен 100, ее большая боковая сторона равна 37.Скачать

Периметр прямоуг. трапеции, описанной около окружн., равен 100, ее большая боковая сторона равна 37.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

Все свойства вписанной окружности в прямоугольную трапецию

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

Все свойства вписанной окружности в прямоугольную трапецию

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Все свойства вписанной окружности в прямоугольную трапецию

Видео:✓ Радиус описанной окружности | ЕГЭ. Задание 1. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

✓ Радиус описанной окружности | ЕГЭ. Задание 1. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом Все свойства вписанной окружности в прямоугольную трапециюи она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — Все свойства вписанной окружности в прямоугольную трапециюи Все свойства вписанной окружности в прямоугольную трапецию, то Все свойства вписанной окружности в прямоугольную трапецию

Все свойства вписанной окружности в прямоугольную трапецию

Видео:ОГЭ. Математика. Задание 26 | Прямоугольная трапеция и окружность | Борис Трушин |Скачать

ОГЭ. Математика. Задание 26 | Прямоугольная трапеция и окружность | Борис Трушин |

Площадь

Все свойства вписанной окружности в прямоугольную трапециюили Все свойства вписанной окружности в прямоугольную трапециюгде Все свойства вписанной окружности в прямоугольную трапецию– средняя линия

Все свойства вписанной окружности в прямоугольную трапецию

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

🎬 Видео

Трапеция и вписанная окружностьСкачать

Трапеция и вписанная окружность

2119 периметр прямоугольной трапеции описанной около окружности равен 100 её большаяСкачать

2119 периметр прямоугольной трапеции описанной около окружности равен 100 её большая

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy
Поделиться или сохранить к себе: