Все свойства произвольного треугольника

Формулы треугольника

Для расчёта всех основных параметров треугольника воспользуйтесь калькулятором.

Содержание
  1. Виды треугольников
  2. Свойства треугольника, применимые к любому треугольнику:
  3. Признаки равенства треугольников
  4. Подобные треугольники
  5. Площадь треугольника
  6. Стороны треугольника
  7. Высота треугольника
  8. Биссектрисы в треугольнике
  9. Медиана в треугольнике
  10. Описанная окружность
  11. Вписанная окружность
  12. Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
  13. Типы треугольников
  14. По величине углов
  15. По числу равных сторон
  16. Вершины углы и стороны треугольника
  17. Свойства углов и сторон треугольника
  18. Теорема синусов
  19. Теорема косинусов
  20. Теорема о проекциях
  21. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  22. Медианы треугольника
  23. Свойства медиан треугольника:
  24. Формулы медиан треугольника
  25. Биссектрисы треугольника
  26. Свойства биссектрис треугольника:
  27. Формулы биссектрис треугольника
  28. Высоты треугольника
  29. Свойства высот треугольника
  30. Формулы высот треугольника
  31. Окружность вписанная в треугольник
  32. Свойства окружности вписанной в треугольник
  33. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  34. Окружность описанная вокруг треугольника
  35. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  36. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  37. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  38. Средняя линия треугольника
  39. Свойства средней линии треугольника
  40. Периметр треугольника
  41. Формулы площади треугольника
  42. Формула Герона
  43. Равенство треугольников
  44. Признаки равенства треугольников
  45. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  46. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  47. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  48. Подобие треугольников
  49. Признаки подобия треугольников
  50. Первый признак подобия треугольников
  51. Второй признак подобия треугольников
  52. Третий признак подобия треугольников
  53. Треугольник
  54. Треугольник произвольный
  55. Свойства
  56. Признаки равенства треугольников
  57. Биссектриса, высота, медиана
  58. Средняя линия треугольника
  59. Вписанная окружность
  60. Описанная окружность
  61. Соотношение сторон в произвольном треугольнике
  62. Площадь треугольника
  63. 🔥 Видео

Виды треугольников

  1. Все свойства произвольного треугольникаОстроугольный треугольник — это треугольник, в котором все три угла острые, т.е. меньше 90°.
  2. Прямоугольный треугольник — это треугольник, содержащий прямой угол.

    Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами (АС и АВ), а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой (ВС).

    Все свойства произвольного треугольника
  3. Все свойства произвольного треугольникаТупоугольный треугольник — это треугольник, содержащий тупой угол, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°.(по числу равных сторон)
  4. Все свойства произвольного треугольникаРавносторонний (правильный) треугольник — это треугольник, у которого все стороны и все углы равны (каждый угол равен 60°).
  5. Все свойства произвольного треугольникаРавнобедренный тругольник — это треугольник, у которого два угла и две стороны равны.
  6. Все свойства произвольного треугольникаРазносторонний треугольник — это треугольник, в котором все углы, а значит и все стороны попарно различны.

Свойства треугольника, применимые к любому треугольнику:

  1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
  2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. (В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.)
  3. Сумма углов треугольника равна 180° (Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60°).
  4. Продолжая одну из сторон треугольника (AВ), получаем внешний угол Θ.
  5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:
  • $$ AB BC — CA $$
  • $$ BC AB — CA $$
  • $$ CA AB — BC $$

Признаки равенства треугольников

Произвольные треугольники равны, если:

Три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника (по трем сторонам).

AB = DE и BC = EF и AC = DF

Две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами также равны (по двум сторонам и углу между ними).

AB = DE и BC = EF и ∠ABC = ∠DEF;

BC = EF и AC = DF и ∠BCA = ∠EFD;

AB = DE и AC = DF и ∠CAB = ∠FDE;

Три угла одного треугольника равны трем углам другого треугольника (по трем углам).

∠ABC = ∠DEF и ∠BCA = ∠EFD и ∠CAB = ∠FDE;

Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, и любая сторона первого треугольника равна соответствующей стороне другого треугольника.

∠ABC = ∠DEF и ∠BCA = ∠EFD;

∠BCA = ∠EFD и ∠CAB = ∠FDE;

∠CAB = ∠FDE и ∠ABC = ∠DEF;

AB = DE или BC = EF или AC = DF

Прямоугольные треугольники равны, если равны:

    Гипотенуза и острый угол.

BC = EF и ∠ABC = ∠DEF

BC = EF и ∠BCA = ∠EFD;

Катет и противолежащий угол.

AB = DE и ∠BCA = ∠EFD

AC = DF и ∠ABC = ∠DEF

Катет и прилежащий угол.

AB = DE и ∠ABC = ∠DEF

AC = DF и ∠BCA = ∠EFD

AB = DE и AC = DF

Гипотенуза и катет.

AB = DE и BC = EF

AC = DF и BC = EF

Подобные треугольники

Все свойства произвольного треугольника

Два треугольника являются подобными, если углы одного треугольника равны, углам тругого треугольника, а стороны подобны

Признаки подобия треугольников

  • Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
  • Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны.
  • Три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

Свойства подобных треугольников.

  • Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия (Kподобия) $$ <S_over S_> = К_^2 $$
  • Отношение периметров и длин биссектрис, медиан, высот, серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. т.е. в подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Подобие в прямоугольных треугольниках.

Все свойства произвольного треугольника

  • Треугольники, образованные высотой, опущенной из прямого угла, являются подобными друг другу
  • Если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то такие треугольники подобны.
  • Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.
  • Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.

Площадь треугольника

Все свойства произвольного треугольника

Все свойства произвольного треугольника Все свойства произвольного треугольника
Все свойства произвольного треугольникаВсе свойства произвольного треугольника
Где:AB,BC,AC – стороны треугольника
h – высота треугольника
α, β, γ– углы треугольника
P – полупериметр
AC – основание треугольника

Площадь произвольного треугольника

Площадь треугольника по формуле Герона

Площадь треугольника по углу и двум сторонам

$$ S = * AB * AC * sin(α) $$ $$ S = * AB * BC * sin(β) $$ $$ S = * AC * BC * sin(γ) $$

Площадь треугольника по двум углам и стороне

Все свойства произвольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника по катетам

Где:AB,AC – катеты треугольника

$$ S = * AB * AC $$

Все свойства произвольного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника

Где:AB,BC – равные стороны треугольника
AC – основание треугольника

$$ S = * sqrt $$

Все свойства произвольного треугольника

Площадь равностороннего треугольника

Где:AB,BC,AC – равные стороны треугольника
h – высота треугольника

$$ S = <sqrtover 4> * AB^2 $$ $$ S = <h^2 over sqrt> $$

Стороны треугольника

Все свойства произвольного треугольника

Где:AB,BC,AC – стороны треугольника
h – высота треугольника
α, β, γ– углы треугольника
P – полупериметр
AC – основание треугольника

Сторона треугольника по двум сторонам и углу

Сторона треугольника по стороне и двум углам

Все свойства произвольного треугольника

Сторона прямоугольного треугольника

Где:AB,AC – катеты треугольника
BC – гипотенуза треугольника

$$ AC = BC * cos(β) = BC * sin(α) = AB * tg(α) $$ $$ AB = BC * cos(α) = BC * sin(β) = AC * tg(β) $$ $$ BC = = $$ $$ BC = = $$

Сторона прямоугольного треугольника по теореме Пифагора.

Все свойства произвольного треугольника

Сторона равнобедренного треугольника

Где:AB,BC – равные стороны треугольника
AC – основание треугольника

$$ AC = 2 * AB * sin() = AB * sqrt $$ $$ AC = 2 * AB * cos(α) $$ $$ AB = = <AC over sqrt> $$ $$ AB = $$

Высота треугольника

Высота – это перпендикуляр, выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне или её продолжению для треугольника с тупым углом. Высоты треугольника пересекаются в одной точке

Все свойства произвольного треугольника

Где:AB,BC,AC – стороны треугольника
h – высота треугольника
P – полупериметр $$ P = $$
α, β, γ – углы треугольника
R — радиус описанной окружности
S — площадь треугольника

Высота на сторону АС, hAC

Высота на сторону AB, hAB

Высота на сторону BC, hBC

Формула длины высоты через сторону и угол

Высота на сторону АС, hAC

$$ h_ = AB * sin(α) = BC * sin(γ) $$

Высота на сторону AB, hAB

$$ h_ = BC * sin(β) = AC * sin(α) $$

Высота на сторону BC, hBC

$$ h_ = AC * sin(γ) = AB * sin(β) $$

Формула длины высоты через сторону и площадь

Высота на сторону АС, hAC

Высота на сторону AB, hAB

Высота на сторону BC, hBC

Формула длины высоты через стороны и радиус

Высота на сторону АС, hAC

Высота на сторону AB, hAB

Высота на сторону BC, hBC

Формулы высоты из прямого угла в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр — точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.

Все свойства произвольного треугольника

Где:AB,AC – катеты треугольника
BC – гипотенуза треугольника
BD, DC – отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой
α, β– углы треугольника

Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы

$$ h = BC * sin(α) * cos(α) = BC * sin(β) * cos(β) $$

Формула длины высоты через катет и угол

$$ h = AB * sin(α) = AC * sin(β) $$

Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы

Биссектрисы в треугольнике

Биссектриса – это отрезок, который делит угол пополам из которого выходит. Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника совпадает с центром вписанной окружности.

Все свойства произвольного треугольника

Где:AB,BC,AC – стороны треугольника
AA1,BB1,CC1 — биссектрисы в треугольнике
α, β, γ– углы треугольника
P – полупериметр $$ P = $$

Длина биссектрисы через две стороны и угол

Длина биссектрисы через полупериметр и стороны

Длина биссектрисы через три стороны

Длина биссектрисы через стороны и отрезки, на которые делит биссектриса

Формула длины биссектрис в прямоугольном треугольнике

Все свойства произвольного треугольника

Где:AB,AC – катеты треугольника
BC – гипотенуза треугольника
β, γ– острые углы треугольника

Длина биссектрисы из прямого угла, через катеты.

Длина биссектрисы из прямого угла, через гипотенузу и угол

Длина биссектрисы через катет и угол

Длина биссектрисы через катет и гипотенузу

Длина биссектрисы равнобедренного треугольника

Все свойства произвольного треугольника

Где:AB,BC – равные стороны треугольника
AC – основание треугольника
α – равные углы при основании треугольника
β – угол образованный равными сторонами треугольника

Длина биссектрисы через стороны и угол, равнобедренного треугольника

$$ BB_1 = AB * sin(α) = * tg(α) = AB * cos() $$ $$ BB_1 = AB * sqrt <over 2> $$

Длина биссектрисы через стороны, равнобедренного треугольника

Длина биссектрисы равностороннего треугольника

Все свойства произвольного треугольника

Где:AB,BC,AC – равные стороны треугольника

$$ BB_1 = <AB * sqrtover 2> $$

Медиана в треугольнике

Медиана – это отрезок, который выходит из вершины и делит противоположную сторону пополам. Медиана делит треугольник на два равных по площади треугольника.

Все свойства произвольного треугольника

Где:AB,BC,AC – стороны треугольника
AA1,BB1,CC1 — медианы в треугольнике
α, β, γ– углы треугольника

Длина медианы через три стороны

Длина медианы через две стороны и угол между ними

Длина медианы в прямоугольном треугольнике, выходящая из прямого угла.

Все свойства произвольного треугольника

Где:AB,AC – катеты треугольника
BC – гипотенуза треугольника
AA1,BB1,CC1 — медианы в треугольнике
β, γ– острые углы треугольника

Длина медианы в прямоугольном треугольнике, выходящая из прямого угла, равна радиусу описанной окружности, а середина гипотенузы является центром описанной окружности

Длина медианы через катеты

Длина медианы через катет и острый угол

Описанная окружность

Радиус описанной окружности произвольного треугольника по сторонам

Все свойства произвольного треугольника

Где:AB,BC,AC – стороны треугольника
P – полупериметр $$ P = $$
R — радиус описанной окружности

$$ R = <AB * BC * CA over 4 * sqrt

> $$

Радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне или высоте

Все свойства произвольного треугольника

Где:AB,BC,AC – равные стороны треугольника
h – высота треугольника
R — радиус описанной окружности

$$ R = <AB over sqrt> $$ $$ R = $$

Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника по сторонам

Все свойства произвольного треугольника

Где:AB,BC – равные стороны треугольника
AC – основание треугольника
h – высота треугольника
R — радиус описанной окружности

$$ R = <AB^2 over sqrt> $$

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника по катетам

Все свойства произвольного треугольника

Где:AB,AC – катеты треугольника
BC – гипотенуза треугольника
R — радиус описанной окружности

$$ R = * sqrt = $$

Длина окружности, L

Площадь окружности, S

Вписанная окружность

Радиус вписанной окружности произвольного треугольника по сторонам

Все свойства произвольного треугольника

Где:AB,BC,AC – стороны треугольника
P – полупериметр $$ P = $$
R — радиус вписанной окружности

$$ R = sqrt <

over P> $$

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник

Все свойства произвольного треугольника

Где:AB,BC,AC – равные стороны треугольника
R — радиус вписанной окружности

$$ R = <AB over 2 * sqrt> $$

Радиус вписанной окружности равнобедренного треугольник

Все свойства произвольного треугольника

Где:AB,BC – равные стороны треугольника
AC – основание треугольника
R — радиус вписанной окружности
h – высота треугольника
α – угол при основании треугольника

$$ R = * sqrt <> $$ $$ R = AB * = AB * cos(α) * tan() $$ $$ R = * = * tan() $$ $$ R = <AC * h over AC + sqrt> $$ $$ R = <h * sqrtover AB + sqrt> $$

Радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnline

Типы треугольников

По величине углов

Все свойства произвольного треугольника

Все свойства произвольного треугольника

Все свойства произвольного треугольника

По числу равных сторон

Все свойства произвольного треугольника

Все свойства произвольного треугольника

Все свойства произвольного треугольника

Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Все свойства произвольного треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c= 2R
sin αsin βsin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Видео:7 класс, 35 урок, Некоторые свойства прямоугольных треугольниковСкачать

7 класс, 35 урок, Некоторые свойства прямоугольных треугольников

Медианы треугольника

Все свойства произвольного треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Биссектрисы треугольника

Все свойства произвольного треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2 bc cos α 2 b + c

lb = 2 ac cos β 2 a + c

lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Видео:Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.

Высоты треугольника

Все свойства произвольного треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Видео:Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.

Окружность вписанная в треугольник

Все свойства произвольного треугольника

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)

Окружность описанная вокруг треугольника

Все свойства произвольного треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Видео:ЕГЭ 2024. ВСЁ ПРО ТРЕУГОЛЬНИКИ за 15 минутСкачать

ЕГЭ 2024. ВСЁ ПРО ТРЕУГОЛЬНИКИ за 15 минут

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

Все свойства произвольного треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Видео:Всё про прямоугольный треугольник за 15 минут | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !Скачать

Всё про прямоугольный треугольник за 15 минут | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !

Периметр треугольника

Все свойства произвольного треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Видео:Геометрия 7 класс : Свойства прямоугольного треугольникаСкачать

Геометрия 7 класс : Свойства прямоугольного треугольника

Формулы площади треугольника

Все свойства произвольного треугольника

Формула Герона

S =a · b · с
4R

Видео:Основы школьного курса математики. Занятие 3. Тутубалина А. А.Скачать

Основы школьного курса математики. Занятие 3. Тутубалина А. А.

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Видео:3 свойства биссектрисы #shortsСкачать

3 свойства биссектрисы #shorts

Подобие треугольников

Все свойства произвольного треугольника

∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:✓ Свойства и признаки равнобедренного треугольника | Ботай со мной #008 | Борис ТрушинСкачать

✓ Свойства и признаки равнобедренного треугольника | Ботай со мной #008 | Борис Трушин

Треугольник

Треугольник произвольный

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (тремя углами).

Виды треугольников :+ показать

Остроугольный треугольник – треугольник, у которого все углы острые (то есть меньше 90˚).

Тупоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов тупой (больше 90˚).

Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов прямой (равен 90˚).

Все свойства произвольного треугольника

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми , третья сторона называется основанием .

Равносторонний (правильный) треугольник – треугольник, у которого все три стороны равны.

Все свойства произвольного треугольника

Свойства

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

3. Сумма углов треугольника равна 180 º .

4. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,
не смежных с ним: Все свойства произвольного треугольника

(Внешний угол образуется в результате продолжения одной из сторон треугольника).

Все свойства произвольного треугольника

5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Признаки равенства треугольников

1. Треугольники равны, если у них соответственно равны две стороны и угол между ними.

Все свойства произвольного треугольника

2 . Треугольники равны, если у них соответственно равны два угла и прилегающая к ним сторона.

Все свойства произвольного треугольника

3. Треугольники равны, если у них соответственно равны три стороны.

Все свойства произвольного треугольника

Биссектриса, высота, медиана

Здесь подробно о биссектрисе, высоте, медиане треугольника.

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Все свойства произвольного треугольника

Вписанная окружность

Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис треугольника.

Все свойства произвольного треугольника

Все свойства произвольного треугольника

Описанная окружность

Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров.

Все свойства произвольного треугольника

Все свойства произвольного треугольника

Соотношение сторон в произвольном треугольнике

Теорема косинусов: Все свойства произвольного треугольника

Все свойства произвольного треугольника

Теорема синусов: Все свойства произвольного треугольника

Все свойства произвольного треугольника

Площадь треугольника

Все свойства произвольного треугольникаЧерез сторону и высоту

Все свойства произвольного треугольника

Через две стороны и угол между ними

Все свойства произвольного треугольника

Через радиус описанной окружности

Все свойства произвольного треугольника

Через радиус вписанной окружности

Все свойства произвольного треугольника, где Все свойства произвольного треугольника– полупериметр

Все свойства произвольного треугольника, где Все свойства произвольного треугольника– полупериметр

Все свойства произвольного треугольника

Смотрите также площадь треугольника здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Есть пара ошибок в формулах. В частности в формуле вычисления площади через 2 стороны и угол между ними, в теореме Синусов, в разделе “свойства”.
А вообще отличные статьи, очень выручают, всё понятно и доступно, премного благодарен 😉

Анатолий, спасибо!
В разделе “свойства” ошибок не нашла…
В теореме синусов, – да… не пропечаталась буква гамма. Подправила.
В формуле площади треугольника, вы правы – картинка не соответствовала формуле. Исправила.
К сожалению, ошибки сразу не всегда замечаются.
Благодарю еще раз!

В разделе свойства: Все свойства произвольного треугольника

Да, не хватало значка «Все свойства произвольного треугольника» у А. Спасибо! 😉

Здраствуйте! Мне нужна ваша помощь!
Задача: ВЕРШИНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ДЕЛЯТ ОПИСАННУЮ ОКОЛО НЕГО ОКРУЖНОСТЬ НА ТРИ ДУГИ, ДЛИНЫ КОТОРЫХ ОТНОСЯТСЯ КАК 6:7:33. НАЙДИТЕ РАДИУС ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ МЕНЬШАЯ ИЗ СТОРОН РАВНА 11.

Подозреваю, у вас опечатка в условии…
Если длины дуг (а значит и их градусные меры) находятся в отношении Все свойства произвольного треугольника, то выходим на уравнение Все свойства произвольного треугольникаОткуда Все свойства произвольного треугольникаЗначит угол треугольника, что напротив меньшей стороны, есть Все свойства произвольного треугольника
Применяем теорему синусов: Все свойства произвольного треугольника, откуда Все свойства произвольного треугольника

спасибо я так и думал а то не могу решить и всё
СПАСИБО!

Здравствуйте. Пожалуйста, объясните, как решить задачу:
Вписанная в теругольник ABC окружность касается сторон AB, BC и AC в точках K,L и М соответственно.Найдите KL, если AM=2, МС=3 и угол С=π/3

Очевидно, Все свойства произвольного треугольника
Примите Все свойства произвольного треугольниказа Все свойства произвольного треугольника.
Примените к треугольнику Все свойства произвольного треугольникатеорему косинусов:
Все свойства произвольного треугольника
Найдете Все свойства произвольного треугольника, далее можно найти угол Все свойства произвольного треугольникаи из треугольника Все свойства произвольного треугольниканайти Все свойства произвольного треугольника

Спасибо большое за ваш сайт. Очень радует, тот факт, что когда люди не понимают какую-нибудь задачу, вы помогаете решить. Спасибо. Побольше бы таких сайтов, всё понятно и доступно

🔥 Видео

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т5. Первое свойство равнобедренного треугольника.Скачать

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т5. Первое свойство равнобедренного треугольника.

Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

Формулы равностороннего треугольника #shorts

Свойства равнобедренного треугольника | Геометрия 7-9 класс #19 | ИнфоурокСкачать

Свойства равнобедренного треугольника  | Геометрия 7-9 класс #19 | Инфоурок

Треугольники и их свойстваСкачать

Треугольники и их свойства

Равнобедренный треугольник. Определение. Свойства. Теоремы и доказательства.Скачать

Равнобедренный треугольник. Определение. Свойства. Теоремы и доказательства.
Поделиться или сохранить к себе: