Для расчёта всех основных параметров треугольника воспользуйтесь калькулятором.
- Виды треугольников
- Свойства треугольника, применимые к любому треугольнику:
- Признаки равенства треугольников
- Подобные треугольники
- Площадь треугольника
- Стороны треугольника
- Высота треугольника
- Биссектрисы в треугольнике
- Медиана в треугольнике
- Описанная окружность
- Вписанная окружность
- Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
- Типы треугольников
- По величине углов
- По числу равных сторон
- Вершины углы и стороны треугольника
- Свойства углов и сторон треугольника
- Теорема синусов
- Теорема косинусов
- Теорема о проекциях
- Формулы для вычисления длин сторон треугольника
- Медианы треугольника
- Свойства медиан треугольника:
- Формулы медиан треугольника
- Биссектрисы треугольника
- Свойства биссектрис треугольника:
- Формулы биссектрис треугольника
- Высоты треугольника
- Свойства высот треугольника
- Формулы высот треугольника
- Окружность вписанная в треугольник
- Свойства окружности вписанной в треугольник
- Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
- Окружность описанная вокруг треугольника
- Свойства окружности описанной вокруг треугольника
- Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
- Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
- Средняя линия треугольника
- Свойства средней линии треугольника
- Периметр треугольника
- Формулы площади треугольника
- Формула Герона
- Равенство треугольников
- Признаки равенства треугольников
- Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
- Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
- Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
- Подобие треугольников
- Признаки подобия треугольников
- Первый признак подобия треугольников
- Второй признак подобия треугольников
- Третий признак подобия треугольников
- Треугольник
- Треугольник произвольный
- Свойства
- Признаки равенства треугольников
- Биссектриса, высота, медиана
- Средняя линия треугольника
- Вписанная окружность
- Описанная окружность
- Соотношение сторон в произвольном треугольнике
- Площадь треугольника
- 🔥 Видео
Виды треугольников
Остроугольный треугольник — это треугольник, в котором все три угла острые, т.е. меньше 90°. Прямоугольный треугольник — это треугольник, содержащий прямой угол.
Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами (АС и АВ), а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой (ВС).
Тупоугольный треугольник — это треугольник, содержащий тупой угол, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°.(по числу равных сторон) Равносторонний (правильный) треугольник — это треугольник, у которого все стороны и все углы равны (каждый угол равен 60°). Равнобедренный тругольник — это треугольник, у которого два угла и две стороны равны. Разносторонний треугольник — это треугольник, в котором все углы, а значит и все стороны попарно различны.
Свойства треугольника, применимые к любому треугольнику:
- Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
- Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. (В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.)
- Сумма углов треугольника равна 180° (Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60°).
- Продолжая одну из сторон треугольника (AВ), получаем внешний угол Θ.
- Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:
- $$ AB BC — CA $$
- $$ BC AB — CA $$
- $$ CA AB — BC $$
Признаки равенства треугольников
Где: | AB,BC,AC – стороны треугольника |
h – высота треугольника | |
α, β, γ– углы треугольника | |
P – полупериметр | |
AC – основание треугольника |
Площадь произвольного треугольника
Площадь треугольника по формуле Герона
Площадь треугольника по углу и двум сторонам
$$ S = * AB * AC * sin(α) $$ $$ S = * AB * BC * sin(β) $$ $$ S = * AC * BC * sin(γ) $$
Площадь треугольника по двум углам и стороне
Площадь прямоугольного треугольника по катетам
Где: | AB,AC – катеты треугольника |
$$ S = * AB * AC $$
Площадь равнобедренного треугольника
Где: | AB,BC – равные стороны треугольника |
AC – основание треугольника |
$$ S = * sqrt $$
Площадь равностороннего треугольника
Где: | AB,BC,AC – равные стороны треугольника |
h – высота треугольника |
$$ S = <sqrtover 4> * AB^2 $$ $$ S = <h^2 over sqrt> $$
Стороны треугольника
Где: | AB,BC,AC – стороны треугольника |
h – высота треугольника | |
α, β, γ– углы треугольника | |
P – полупериметр | |
AC – основание треугольника |
Сторона треугольника по двум сторонам и углу
Сторона треугольника по стороне и двум углам
Сторона прямоугольного треугольника
Где: | AB,AC – катеты треугольника |
BC – гипотенуза треугольника |
$$ AC = BC * cos(β) = BC * sin(α) = AB * tg(α) $$ $$ AB = BC * cos(α) = BC * sin(β) = AC * tg(β) $$ $$ BC = = $$ $$ BC = = $$
Сторона прямоугольного треугольника по теореме Пифагора.
Сторона равнобедренного треугольника
Где: | AB,BC – равные стороны треугольника |
AC – основание треугольника |
$$ AC = 2 * AB * sin() = AB * sqrt $$ $$ AC = 2 * AB * cos(α) $$ $$ AB = = <AC over sqrt> $$ $$ AB = $$
Высота треугольника
Высота – это перпендикуляр, выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне или её продолжению для треугольника с тупым углом. Высоты треугольника пересекаются в одной точке
Где: | AB,BC,AC – стороны треугольника |
h – высота треугольника | |
P – полупериметр $$ P = $$ | |
α, β, γ – углы треугольника | |
R — радиус описанной окружности | |
S — площадь треугольника |
Высота на сторону АС, hAC
Высота на сторону AB, hAB
Высота на сторону BC, hBC
Формула длины высоты через сторону и угол
Высота на сторону АС, hAC
$$ h_ = AB * sin(α) = BC * sin(γ) $$
Высота на сторону AB, hAB
$$ h_ = BC * sin(β) = AC * sin(α) $$
Высота на сторону BC, hBC
$$ h_ = AC * sin(γ) = AB * sin(β) $$
Формула длины высоты через сторону и площадь
Высота на сторону АС, hAC
Высота на сторону AB, hAB
Высота на сторону BC, hBC
Формула длины высоты через стороны и радиус
Высота на сторону АС, hAC
Высота на сторону AB, hAB
Высота на сторону BC, hBC
Формулы высоты из прямого угла в прямоугольном треугольнике
В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр — точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.
Где: | AB,AC – катеты треугольника |
BC – гипотенуза треугольника | |
BD, DC – отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой | |
α, β– углы треугольника |
Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы
$$ h = BC * sin(α) * cos(α) = BC * sin(β) * cos(β) $$
Формула длины высоты через катет и угол
$$ h = AB * sin(α) = AC * sin(β) $$
Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы
Биссектрисы в треугольнике
Биссектриса – это отрезок, который делит угол пополам из которого выходит. Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника совпадает с центром вписанной окружности.
Где: | AB,BC,AC – стороны треугольника |
AA1,BB1,CC1 — биссектрисы в треугольнике | |
α, β, γ– углы треугольника | |
P – полупериметр $$ P = $$ |
Длина биссектрисы через две стороны и угол
Длина биссектрисы через полупериметр и стороны
Длина биссектрисы через три стороны
Длина биссектрисы через стороны и отрезки, на которые делит биссектриса
Формула длины биссектрис в прямоугольном треугольнике
Где: | AB,AC – катеты треугольника |
BC – гипотенуза треугольника | |
β, γ– острые углы треугольника |
Длина биссектрисы из прямого угла, через катеты.
Длина биссектрисы из прямого угла, через гипотенузу и угол
Длина биссектрисы через катет и угол
Длина биссектрисы через катет и гипотенузу
Длина биссектрисы равнобедренного треугольника
Где: | AB,BC – равные стороны треугольника |
AC – основание треугольника | |
α – равные углы при основании треугольника | |
β – угол образованный равными сторонами треугольника |
Длина биссектрисы через стороны и угол, равнобедренного треугольника
$$ BB_1 = AB * sin(α) = * tg(α) = AB * cos() $$ $$ BB_1 = AB * sqrt <over 2> $$
Длина биссектрисы через стороны, равнобедренного треугольника
Длина биссектрисы равностороннего треугольника
Где: | AB,BC,AC – равные стороны треугольника |
$$ BB_1 = <AB * sqrtover 2> $$
Медиана в треугольнике
Медиана – это отрезок, который выходит из вершины и делит противоположную сторону пополам. Медиана делит треугольник на два равных по площади треугольника.
Где: | AB,BC,AC – стороны треугольника |
AA1,BB1,CC1 — медианы в треугольнике | |
α, β, γ– углы треугольника |
Длина медианы через три стороны
Длина медианы через две стороны и угол между ними
Длина медианы в прямоугольном треугольнике, выходящая из прямого угла.
Где: | AB,AC – катеты треугольника |
BC – гипотенуза треугольника | |
AA1,BB1,CC1 — медианы в треугольнике | |
β, γ– острые углы треугольника |
Длина медианы в прямоугольном треугольнике, выходящая из прямого угла, равна радиусу описанной окружности, а середина гипотенузы является центром описанной окружности
Длина медианы через катеты
Длина медианы через катет и острый угол
Описанная окружность
Радиус описанной окружности произвольного треугольника по сторонам
Где: | AB,BC,AC – стороны треугольника |
P – полупериметр $$ P = $$ | |
R — радиус описанной окружности |
$$ R = <AB * BC * CA over 4 * sqrt
> $$
Радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне или высоте
Где: | AB,BC,AC – равные стороны треугольника |
h – высота треугольника | |
R — радиус описанной окружности |
$$ R = <AB over sqrt> $$ $$ R = $$
Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника по сторонам
Где: | AB,BC – равные стороны треугольника |
AC – основание треугольника | |
h – высота треугольника | |
R — радиус описанной окружности |
$$ R = <AB^2 over sqrt> $$
Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника по катетам
Где: | AB,AC – катеты треугольника |
BC – гипотенуза треугольника | |
R — радиус описанной окружности |
$$ R = * sqrt = $$
Длина окружности, L
Площадь окружности, S
Вписанная окружность
Радиус вписанной окружности произвольного треугольника по сторонам
Где: | AB,BC,AC – стороны треугольника |
P – полупериметр $$ P = $$ | |
R — радиус вписанной окружности |
$$ R = sqrt <
over P> $$
Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник
Где: | AB,BC,AC – равные стороны треугольника |
R — радиус вписанной окружности |
$$ R = <AB over 2 * sqrt> $$
Радиус вписанной окружности равнобедренного треугольник
Где: | AB,BC – равные стороны треугольника |
AC – основание треугольника | |
R — радиус вписанной окружности | |
h – высота треугольника | |
α – угол при основании треугольника |
$$ R = * sqrt <> $$ $$ R = AB * = AB * cos(α) * tan() $$ $$ R = * = * tan() $$ $$ R = <AC * h over AC + sqrt> $$ $$ R = <h * sqrtover AB + sqrt> $$
Радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике
Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать
Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать
Типы треугольников
По величине углов
По числу равных сторон
Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать
Вершины углы и стороны треугольника
Свойства углов и сторон треугольника
Сумма углов треугольника равна 180°:
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:
если α > β , тогда a > b
если α = β , тогда a = b
Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:
a + b > c
b + c > a
c + a > b
Теорема синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
a | = | b | = | c | = 2R |
sin α | sin β | sin γ |
Теорема косинусов
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α
b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β
c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ
Теорема о проекциях
Для остроугольного треугольника:
a = b cos γ + c cos β
b = a cos γ + c cos α
c = a cos β + b cos α
Формулы для вычисления длин сторон треугольника
Видео:7 класс, 35 урок, Некоторые свойства прямоугольных треугольниковСкачать
Медианы треугольника
Свойства медиан треугольника:
В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)
Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части
Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
Формулы медиан треугольника
Формулы медиан треугольника через стороны
ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2
mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2
mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2
Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать
Биссектрисы треугольника
Свойства биссектрис треугольника:
Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.
Формулы биссектрис треугольника
Формулы биссектрис треугольника через стороны:
la = 2√ bcp ( p — a ) b + c
lb = 2√ acp ( p — b ) a + c
lc = 2√ abp ( p — c ) a + b
где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника
Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:
la = 2 bc cos α 2 b + c
lb = 2 ac cos β 2 a + c
lc = 2 ab cos γ 2 a + b
Видео:Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.Скачать
Высоты треугольника
Свойства высот треугольника
Формулы высот треугольника
ha = b sin γ = c sin β
hb = c sin α = a sin γ
hc = a sin β = b sin α
Видео:Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать
Окружность вписанная в треугольник
Свойства окружности вписанной в треугольник
Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать
Окружность описанная вокруг треугольника
Свойства окружности описанной вокруг треугольника
Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
R = S 2 sin α sin β sin γ
R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ
Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать
Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
Видео:ЕГЭ 2024. ВСЁ ПРО ТРЕУГОЛЬНИКИ за 15 минутСкачать
Средняя линия треугольника
Свойства средней линии треугольника
MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC
MN || AC KN || AB KM || BC
Видео:Всё про прямоугольный треугольник за 15 минут | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !Скачать
Периметр треугольника
Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон
Видео:Геометрия 7 класс : Свойства прямоугольного треугольникаСкачать
Формулы площади треугольника
Формула Герона
S = | a · b · с |
4R |
Видео:Основы школьного курса математики. Занятие 3. Тутубалина А. А.Скачать
Равенство треугольников
Признаки равенства треугольников
Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
Видео:3 свойства биссектрисы #shortsСкачать
Подобие треугольников
∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,
где k — коэффициент подобия
Признаки подобия треугольников
Первый признак подобия треугольников
Второй признак подобия треугольников
Третий признак подобия треугольников
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Видео:✓ Свойства и признаки равнобедренного треугольника | Ботай со мной #008 | Борис ТрушинСкачать
Треугольник
Треугольник произвольный
Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (тремя углами).
Виды треугольников :+ показать
Остроугольный треугольник – треугольник, у которого все углы острые (то есть меньше 90˚).
Тупоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов тупой (больше 90˚).
Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов прямой (равен 90˚).
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми , третья сторона называется основанием .
Равносторонний (правильный) треугольник – треугольник, у которого все три стороны равны.
Свойства
1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.
3. Сумма углов треугольника равна 180 º .
4. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,
не смежных с ним:
(Внешний угол образуется в результате продолжения одной из сторон треугольника).
5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Признаки равенства треугольников
1. Треугольники равны, если у них соответственно равны две стороны и угол между ними.
2 . Треугольники равны, если у них соответственно равны два угла и прилегающая к ним сторона.
3. Треугольники равны, если у них соответственно равны три стороны.
Биссектриса, высота, медиана
Здесь подробно о биссектрисе, высоте, медиане треугольника.
Средняя линия треугольника
Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.
Вписанная окружность
Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис треугольника.
Описанная окружность
Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров.
Соотношение сторон в произвольном треугольнике
Теорема косинусов:
Теорема синусов:
Площадь треугольника
Через сторону и высоту
Через две стороны и угол между ними
Через радиус описанной окружности
Через радиус вписанной окружности
, где – полупериметр
, где – полупериметр
Смотрите также площадь треугольника здесь.
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
Есть пара ошибок в формулах. В частности в формуле вычисления площади через 2 стороны и угол между ними, в теореме Синусов, в разделе “свойства”.
А вообще отличные статьи, очень выручают, всё понятно и доступно, премного благодарен 😉
Анатолий, спасибо!
В разделе “свойства” ошибок не нашла…
В теореме синусов, – да… не пропечаталась буква гамма. Подправила.
В формуле площади треугольника, вы правы – картинка не соответствовала формуле. Исправила.
К сожалению, ошибки сразу не всегда замечаются.
Благодарю еще раз!
В разделе свойства:
Да, не хватало значка «» у А. Спасибо! 😉
Здраствуйте! Мне нужна ваша помощь!
Задача: ВЕРШИНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ДЕЛЯТ ОПИСАННУЮ ОКОЛО НЕГО ОКРУЖНОСТЬ НА ТРИ ДУГИ, ДЛИНЫ КОТОРЫХ ОТНОСЯТСЯ КАК 6:7:33. НАЙДИТЕ РАДИУС ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ МЕНЬШАЯ ИЗ СТОРОН РАВНА 11.
Подозреваю, у вас опечатка в условии…
Если длины дуг (а значит и их градусные меры) находятся в отношении , то выходим на уравнение Откуда Значит угол треугольника, что напротив меньшей стороны, есть
Применяем теорему синусов: , откуда
спасибо я так и думал а то не могу решить и всё
СПАСИБО!
Здравствуйте. Пожалуйста, объясните, как решить задачу:
Вписанная в теругольник ABC окружность касается сторон AB, BC и AC в точках K,L и М соответственно.Найдите KL, если AM=2, МС=3 и угол С=π/3
Очевидно,
Примите за .
Примените к треугольнику теорему косинусов:
Найдете , далее можно найти угол и из треугольника найти
Спасибо большое за ваш сайт. Очень радует, тот факт, что когда люди не понимают какую-нибудь задачу, вы помогаете решить. Спасибо. Побольше бы таких сайтов, всё понятно и доступно
🔥 Видео
Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т5. Первое свойство равнобедренного треугольника.Скачать
Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать
Свойства равнобедренного треугольника | Геометрия 7-9 класс #19 | ИнфоурокСкачать
Треугольники и их свойстваСкачать
Равнобедренный треугольник. Определение. Свойства. Теоремы и доказательства.Скачать