Радиус вневписанной окружности касающейся гипотенузы

Теорема 1 . В любом треугольнике биссектрисы двух внешних углов и биссектриса внутреннего угла, не смежного с ними, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим произвольный треугольник ABC и продолжим, например, стороны BA и BC за точки A и C соответственно (рис.1).

Проведём биссектрисы углов DAC и ECA , которые являются внешними углами треугольника ABC . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O . Докажем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC , который является внутренним углом треугольника ABC , не смежным с внешними углами DAC и ECA . С этой целью опустим из точки O перпендикуляры OF , OG и OH на прямые AB , AC и BC соответственно. Поскольку AO – биссектриса угла DAC , то справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство

Замечание 1 . В ходе доказательства теоремы 1 мы установили, что справедливы равенства

откуда вытекает, что точки F , G и H лежат на одной окружности с центром в точке O .

Определение . Окружность называют окружностью, вневписанной в треугольник , или вневписанной окружностью, если она касается касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон (рис.2).

Замечание 2 . У каждого треугольника существуют три вневписанных окружности. На рисунке 2 изображена одна из них.

Замечание 3 . Центр вневписанной окружности, изображенной на рисунке 2, лежит на биссектрисе угла B , а окружность касается стороны b . Для удобства обозначений и терминологии будем называть эту окружность вневписанной окружностью, касающейся стороны b , и обозначать её радиус символом r_b .

Теорема 2 . Пусть вневписанная окружность касается стороны AC треугольника ABC . Тогда отрезки касательных касательных от вершины B до точек касания с вневписанной окружностью равны полупериметру треугольника.

Доказательство . Снова рассмотрим рисунок 2 и докажем, что выполнено равенство

где a, b, c – стороны треугольника ABC . Действительно, отрезки AG и AF равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки A . Отрезки CG и CH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки C . Отрезки BF и BH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки B . Отсюда получаем:

где буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC . Теорема 2 доказана.

Теорема 3 . Радиус вневписанной окружности , касающейся стороны b , вычисляется по формуле

где буквой S обозначена площадь треугольника ABC , а буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC .

Доказательство . Снова рассмотрим рисунок 2 и заметим, что выполнены равенства

Следовательно, справедливо равенство

что и требовалось доказать.

Следствие . Радиусы двух других вневписанных в треугольник ABC окружностей вычисляются по формулам:

Теорема 4 . Если обозначить буквой r радиус вписанной в треугольник ABC окружности, то будет справедлива формула:

Складывая эти формулы и воспользовавшись формулой для радиуса вписанной окружности

,

что и требовалось доказать.

Теорема 5 . Площадь треугольника можно вычислить по формуле

Доказательство . Перемножим формулы

что и требовалось доказать.

Теорема 6 . Если обозначить буквой R радиус описанной около треугольника ABC окружности, то будет справедлива формула:

Доказательство . Воспользовавшись формулами для радиусов вписанной и вневписанных окружностей, а также формулой Герона, получим

Преобразуем выражение, стоящее в квадратной скобке:

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Статья «Применение свойств вневписанной окружности при решении геометрических задач»
статья по математике

Необходимость изучения теории о замечательных точках треугольника, о вневписанной окружности и ее свойствах вызвана тем, что многие выпускники школ даже не приступают к задачам раздела С4. Актуальность изучения данной темы в том, что чаще всего именно геометрические задачи вызывают затруднения у абитуриентов и выпускников, участников математических олимпиад. Познакомить выпускников с понятием вневписанной окружности и ее свойствах необходимо как для расширения их кругозора, так и для умения решать задачи повышенной сложности.

Видео:Формула радиуса вневписанной окружности в прямоугольный треугольник, касающейся катета.Скачать

Скачать:

Видео:Формула радиуса вневписанной окружности в прямоугольный треугольник, касающейся гипотенузы.Скачать

Предварительный просмотр:

Применение свойств вневписанной окружности при решении геометрических задач

Необходимость изучения теории о замечательных точках треугольника, о вневписанной окружности и ее свойствах вызвана тем, что многие выпускники школ даже не приступают к задачам раздела С4. Актуальность изучения данной темы в том, что чаще всего именно геометрические задачи вызывают затруднения у абитуриентов и выпускников, участников математических олимпиад. Познакомить выпускников с понятием вневписанной окружности и ее свойствах необходимо как для расширения их кругозора, так и для умения решать задачи повышенной сложности.

Данный материал был предложен учащимся для ознакомления и подготовки к ЕГЭ.

Определение: Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон .

Теорема 1: У каждого треугольника три вневписанные окружности

1 свойство вневписанной окружности:

Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрисы внутреннего угла треугольника ( ∠ A) и биссектрис двух внешних углов ( ∠ B и ∠ C).

2 свойство вневписанной окружности:

Точки, в которых вписанная и вневписанная окружности касаются стороны треугольника, симметричны относительно середины этой стороны.

3 свойство вневписанной окружности:

Прямая, проведенная через вершину треугольника и точку, в которой вневписанная окружность касается противоположной стороны, делит периметр треугольника пополам. Длина отрезка касательной, проведённой к вневписанной окружности из противоположной вершины, равна полупериметру треугольника.

4 свойство вневписанной окружности:

Площадь треугольника равна произведению радиуса вневписанной окружности на разность периметра и длины стороны треугольника касающейся вневписанной окружности

5 свойство вневписанной окружности:

где r, r a , r b , r c – соответственно радиусы вписанной и вневписанных окружностей

6 свойство вневписанной окружности:

7 свойство вневписанной окружности:

8 свойство вневписанной окружности :

9 свойство вневписанной окружности

Определение: Ортотреугольник это треугольник

∆abc вершины которого являются основаниями высот треугольника АВС.

Для ортотреугольника ( треугольника ∆abc) сам треугольник АВС является треугольником трех внешних биссектрис. Отрезки АВ, ВС и СА являются тремя внешними биссектрисами треугольника ∆abc.

Исходный треугольник АВС является ортотреугольником треугольника OaObOc.

Применение свойств к решению задач части С4 из банка ЕГЭ

Задача 1.
(сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко)

«Найдите произведение радиусов всех вневписанных окружностей треугольника со сторонами 4,5,6».

Решение: Согласно свойству 6, произведение радиусов можно найти по формуле

r a r b r c = rp 2 , где r-радиус вписанной в треугольник окружности, а р – полупериметр треугольника. Р = 4+5+6=15, р = 15/2.

r = S/p. Площадь найдем по формуле Герона: S =

Тогда r a r b r c =

Ответ:

Задача 2
(сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко)

«Найдите произведение сторон треугольника, если известно, что радиусы его вневписанных окружностей равны 9,18 и 21».

Решение: Для решения задачи воспользуемся формулой площади треугольника через радиус описанной окружности.

S= , тогда abc=S·4R. 4R=r a +r b +r c -r; S = r a r b r c /p;

р 2 = r a r b +r a r c +r b r c ; p²=9·18+9·21+18·21=27²; S=9·18·21/27=126;

4R = r a + r b + r c — r; r = r a ·r b ·r c /p²; r = 9·18·21/27² = 14/3;

4R = 9+18+21- 14/3 = 130/3; abc = 126·130/7=5460

Задачи повышенной сложности

Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 7 и 17. Найдите расстояние между их центрами.

Решение.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = b , BC = a и гипотенузой AB = c.

Пусть окружность с центром O c радиуса r c касается гипотенузы в точке T, продолжений катетов BC и AC

− в точках M и N соответственно, а p — полупериметр треугольника ABC.

Из равенства отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, следует, что CM = CB + BM = CB + BT и CN = CA + AN = CA + AT , поэтому

а так как CM = CN , то CM = p. Далее, пусть окружность с центром O a радиуса r a касается катета BC в точке K , а продолжений сторон AB и AC — в точка P и Q соответственно. Рассуждая аналогично, получаем AQ = AP = p .

Четырехугольники NO c MC и KO a QC — квадраты, поэтому значит , r a r c .

Следовательно, радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы данного прямоугольного треугольника, не может быть равен 7.

Таким образом, возможны только такие случаи:

1. Либо радиус окружности, касающейся гипотенузы, равен 17 , а радиус окружности, касающейся одного из катетов, равен 7;
2. либо радиусы окружностей, касающихся катетов, равны 7 и 17 .

Предположим, что r c = 17 и r a = 7 (рис. 1).

Опустим перпендикуляр O a F из центра меньшей окружности на O c N . Тогда

Следовательно,

Пусть теперь r b = 17 и r a = 7. (рис 2)

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому точки O a , C и O b лежат на оной прямой.

Ответ: 26 или

Задание 16 № 519666

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.

а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на его основание.

б) Известно, что радиус этой окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?

Решение.

а) Пусть b — боковая сторона треугольника, c — его основание, h — высота, опущенная на основание треугольника.

Радиус вневписанной окружности вычисляется по формуле где p — полупериметр треугольника, a — сторона, которой касается окружность.

Таким образом,

б) Пусть O 2 — центр вписанной окружности. Проведем радиус в точку касания H . Трегольники AMC и CHO 2 подобны по двум углам, поэтому

Так как R=h, то r= . Тогда CO 2 =3r. Найдем CH по теореме Пифагора. Получим, что СH=

Тогда

Откуда получаем

О твет: а) R=h ч.т.д

б) точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону в отношении 2:1

Таким образом: рассмотренные свойства позволили установить связь между радиусами вписанной и вневписанной окружностями, между радиусами вневписанной окружностью и площадью треугольника, между радиусами вневписанных окружностей и периметром треугольника. Данный материал выходит за рамки школьной программы и будет полезен учащимся для успешной сдачи итоговой аттестации.

Список используемой литературы:

1. Березин В.И. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике – Москва: Просвещение, 1985 год.

2. Гнеденко Б.Г. Энциклопедический словарь юного математика. –Москва: Просвещение, 1985 год

5. Мальцев Д.А. « Математика. Все для ЕГЭ-2011» НИИ школьных технологий , 2010г.

6. Понарин Я.П. Элементарная геометрия / Я.П. Понарин. – Москва: МЦНМО, 2004 год.

7. Шарыгин И.Ф. « Геометрия 7-9» . учебник для общеобразовательных учреждений, — Москва. Дрофа. 2010г. (п. 8.1)

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Презентация на тему «Вневписанная окружность треугольника»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:✓ Как вневписанная окружность Герону помогла | Ботай со мной #083 | Борис ТрушинСкачать

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

ВНЕВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ ТРЕУГОЛЬНИКА

Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, к которой являются касательными одна из сторон треугольника и продолжения двух других сторон.

Соотношение между длинами отрезков касательных Теорема 1: Расстояние от вершины треугольника до точки касания вневписанной окружности с продолжением стороны, содержащей ее, за вершину противолежащей стороны равно полупериметру треугольника. Доказательство. Обозначим через В₁, С₁, и Та – точки касания вневписанной окружности с прямыми АС, АВ и ВС соответственно. Тогда СВ₁ = СТа, ВС₁ = ВТа и периметр треугольника АВС: P = AC + СТа + ВТа + АВ = АС + СВ₁ + ВС₁ + АВ = АВ₁ + АС₁. Т.к. АВ₁ = АС₁, то расстояния АВ₁ и АС₁ равны полупериметру треугольника АВС.

Следствие 1: Прямая, проведенная через вершину треугольника и точку, в которой вневписанная окружность касается противоположной стороны, делит периметр треугольника пополам. Примечание: В треугольнике расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности со стороной треугольника, выходящей из данной вершины, есть разность полупериметра треугольника и стороны, противолежащей данной вершине. То же соблюдается и для вневписанной окружности. AN = AK = p – a, BM = BK = p – b, CN = CM = p – c.

Следствие 2: Для отрезков касательных, связанных с вневписанными окружностями треугольника, выполняются равенства: ВТс = ВА1 = СТb = CA2 = p-a, ATc = AB2 = CTa = CB1 = p-b, BTa = BC1 = ATb = AC2 = p-c. Следствие 3: Верны следующие равенства: B2Tb = C2Tc = ATc + ATb = a, C1Tc = A1Ta = BTc + BTa = b, B1Tb = A2Ta = CTb + CTa = c. Следствие 4: Расстояния между точками касаний вневписанных окружностей продолжений сторон за вершины треугольника равны: C1C2 = a +b, B1B2 = a + c, A1A2 = b + c. Из следствия 1 Получаются при попарном сложении равенств из следствия 2 Получаются при попарном сложении равенств из следствия 3

Формулы для вычисления радиусов вневписанных окружностей Теорема 2: Радиус вневписанной окружности, касающейся стороны ВС треугольника АВС, вычисляется по формуле ra = Доказательство. Выполняются следующие равенства: SABC = SOCA + SOBA — SOCB = 0,5rab + 0,5rac – 0,5raa = ra(p -a). Аналогично получаются формулы: rb = и rc =

Следствие 1: Большей стороне треугольника соответствует касающаяся её вневписанная окружность большего радиуса и наоборот. Следствие 2: Радиус вневписанной окружности треугольника больше радиуса окружности, вписанной в тот же треугольник. Следствие 3: Площадь треугольника АВС может быть вычислена по формулам: S = ra(p — a), S = rb(p — b), S = rc(p — c).

Следствие 4: Для отношения радиусов вписанной и вневписанных окружностей имеют место равенства: r/ra = , ra/rb = , ra/rc = . Следствие 5: Используя формулу Герона, получим формулы для вычисления длин радиусов через стороны треугольника: ra = rb = rc =

Теорема 3: Радиус вневписанной окружности, касающейся боковой стороны равнобедренного треугольника, равен высоте треугольника, опущенной на основание. Доказательство. Пусть Oa, Ob и Oc – центры вневписанных окружностей треугольника АВС, Ca, Cb и Tc – точки касания этих окружностей с прямой АВ. Т.к. треугольник АВС – равнобедренный (АС = ВС), то высота, опущенная из вершины С, лежит на биссектрисе СОс угла С, и поэтому СОс ⊥ АВ. С другой стороны радиус ОсТс ⊥ АВ, следовательно, точка Тс лежит на биссектрисе угла С. Отсюда ОТс ⊥ АВ и СТс является высотой треугольника АВС. Заметим, что СОс ⊥ COb как биссектрисы внутреннего и внешнего угла треугольника при вершине С, СОс ⊥ АВ и ObCb ⊥ АВ. Следовательно, четырехугольник TcCObCb – прямоугольник. Значит, rb = ObCb = CTc.

Следствие: В равнобедренном треугольнике расстояние от вершины, лежащей напротив основания, до центра вневписанной окружности, касающееся боковой стороны, равно боковой стороне. Доказательство. Т.к. BCb = p = b + 0,5c, то получаем COb = TcCb = p – 0,5c = b.

Теорема 4: Радиусы вневписанных окружностей выражаются через стороны равнобедренного треугольника формулами: ra = rb = и rc = 0,5c * Доказательство. Из доказательства теоремы 3 следует, что CTc ⊥ AB и BTc = ATc = 0,5c. Из прямоугольного треугольника TcCA rb = CTc = Прямоугольные треугольники ОсТсА и ObCbA подобны по двум углам. Тогда = = = . Отсюда = или rc =0,5c * Следствие. Для равностороннего треугольника ra = rb = rc = =3r, где а – сторона треугольника и r – радиус вписанной окружности.

Теорема 5: Радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы прямоугольного треугольника, равен полупериметру этого треугольника, т.е. rc = p. Доказательство. Пусть вневписанная окружность с центром в Ос касается продолжений катетов СВ и СА в точках А3 и В3 соответственно. Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны прямым СВ и СА. Из теоремы 1 отрезки СА3 = СВ3 = p. Т.к. четырехугольник СВ3ОсА3 – квадрат, то rc = ОсА3 = СА3 = p.

Следствие: Т.к. для прямоугольного треугольника имеют место формулы p = 2R +r = c + r, то получаем еще равенства rc = 2R + r = c + r.

Теорема 6: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна сумме радиусов вневписанных окружностей, касающихся катетов, т.е. c = ra + rb . Доказательство. Т.к. четырехугольники СТаОаВ1 и СА1ОbTb – квадраты, то CTa = ra, CTb = rb. Из следствия 3 теоремы 1 имеем ra + rb = CT­a + CT­b = c.

Следствие: Т.к. rc = c + r, то получаем rc = r + ra + rb.

Теорема 7: Доказать, что катеты прямоугольного треугольника АВС с прямым углом в вершине С могут быть найдены через радиусы rc , ra, rb вневписанных окружностей по формулам: а) a = rc – rb и b = rc – ra; б) a = 2rarc / ra + rc и b = 2rbrc/ rb + rc . Доказательство. а) По следствию 2 теоремы 1 имеем rb = CTb = p – a. Т.к. по теореме 5 rc = p, то получаем a = rc – rb. Вторая формула доказывается аналогично. б) Т.к. центры вневписанных окружностей Oa и Ос лежат на биссектрисе внешнего угла В треугольника АВС, то прямоугольные треугольники ОаТаВ и ОсА3В подобны по двум углам. Тогда из равенства отношения сторон, лежащих против равных углов, ОаТа/ОсА3 = ТаВ/ВА3, получаем ra/rc = a – ra/rc – a. Отсюда a = 2rarc / ra + rc. Следствие. Из первых двух формул теоремы 7 получаем |a – b| = |ra – rb|.

Расстояния до центров вневписанных окружностей

Теорема 9: Расстояния между центрами вневписанных окружностей треугольника АВС могут быть вычислены по формулам: OaOb = c* OaOc = b* ObOc = a* Доказательство. Рассмотрим прямоугольный треугольник CTaOa в котором CTa = p – b(следствие 2 теоремы 1) и OaTa = ra = (следствие 5 теоремы 2). Используя теорему Пифагора, получаем: СОа = = = . Аналогично из прямоугольного треугольника CTbOb находим COb = Тогда OaOb = COa + COb = + = c* . Другие формулы доказываются аналогично.

Следствие. Расстояния от вершины С треугольника АВС до центров Oa и Ob вневписанных окружностей соответственно равны: СOa = и COb = Замечание. Из прямоугольного треугольника СОсА1 можно найти расстояние от вершины С треугольника АВС до центра Ос вневписанной окружности: СОс = =

Соотношения между величинами углов Теорема 10: Сторона ВС треугольника АВС видна из центра Oa вневписанной окружности, касающейся стороны С, под углом 90 — . Доказательство. Т.к. BOa и COa – биссектрисы внешних углов треугольника АВС при вершинах В и С, то СВОа = 90 — и ВСОа = 90 — . Отсюда получаем ВОаС = 180 — СВОа — ВСОа = 180 — (90 — + 90 — ) = 90 —

Краткое описание документа:

Материал предназначен для профильных классов и лицеев. Детей средней и низкой подготовленности лучше не пугать данным материалом, иначе математику они точно любить не будут

📸 Видео

Задание 26 Вневписанная окружностьСкачать

Как найти радиус - вневписанная окружность | Олимпиадная математикаСкачать

Вневписанная окружностьСкачать

4.3. Вписанные и описанные окружности. Вневписанные окружности.Скачать

Вневписанная окружностьСкачать

Радиус и диаметрСкачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Расчет сегмента окружности по хорде и длине цилиндрической поверхности (трансцендентное уравнение)Скачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Задача про две вневписанные окружности | ЕГЭ. Задание 16. Математика | Борис Трушин |Скачать

ВСЕ правила и формулы ПЛАНИМЕТРИИСкачать

Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |Скачать

ОГЭ по математике. Задание 15Скачать

[11] Окружности с нуля для ЕГЭ по математике. Вневписанная окружность Теория и практика 13 задач.Скачать