Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Радиус вписанной окружности в треугольник

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Радиус вписанной в треугольник окружности
рассчитать и выразить через периметр, площадь,
высоту, основание, стороны, диаметр. Формулы
радиуса окружности вписанной в треугольник.

Центр вписанной в треугольник окружности — это одна
из замечательных точек треугольника, она расположена
в точке пересечения биссектрис треугольника, её
иногда называют инцентром.

Центр вписанной окружности правильного треугольника — это
точка, где пересекаются высоты, медианы и биссектрисы.

В любой треугольник можно вписать только одну
окружность, которая находится внутри треугольника.
Центр вписанной окружности равноудален от всех
сторон треугольника. Точка, где окружность пересекается
со стороной треугольника, называется точкой касания.

Все отрезки, которые проведены от точки касания к центру
вписанной окружности имеют одинаковую длину.

Чтобы найти радиус окружности вписанной в треугольник
надо площадь разделить на полупериметр.

Диаметр вписанной окружности в треугольник численно
равен двум радиусам вписанной окружности. Радиус
вписанной окружности можно найти по разным
формулам, все зависит от того, какой треугольник.

Всего различают четыре вида треугольников:

  • Разносторонний / любой
  • Правильный / равносторонний
  • Равнобедренный / равнобочный
  • Прямоугольный / прямой

Радиус вписанной окружности в любой треугольник

  1. Радиус вписанной окружности в любой треугольник через площадь и полупериметр

S — площадь; p — полупериметр;
Радиус вписанной окружности в любой треугольник через все стороны и полупериметр

a, b, c — стороны; p — полупериметр;
Радиус вписанной окружности в любой треугольник через основание, высоту и полупериметр

a — основание, сторона на которую падает высота; h — высота; p — полупериметр;
Радиус вписанной окружности в любой треугольник через диаметр вписанной окружности

D — диаметр вписанной окружности;

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник

  1. Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через сторону

a — сторона;
Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через радиус описанной окружности

R — радиус описанной окружности;
Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через диаметр вписанной окружности

D — диаметр вписанной окружности;

Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник

  1. Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник через боковые стороны и основание

a — боковая сторона; b — основание;
Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник через высоту и основание

b — основание; h — высота;
Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник через диаметр вписанной окружности

D — диаметр вписанной окружности;

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник

  1. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник через два катета и гипотенузу

a, b — катеты; с — гипотенуза.
Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник через гипотенузу и два катета

c — гипотенуза; a, b — катеты;
Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник через диаметр вписанной окружности

D — диаметр вписанной окружности;

Вписанная окружность в треугольник — это окружность,
которая вписана в треугольник и касается всех его сторон.

Радиус вписанной окружности в треугольник — это отрезок,
проведенный от центра вписанной окружности до любой стороны.

Длина радиуса вписанной окружности, диаметра
вписанной окружности а также других величин
измеряется в мм, см, м, км и так далее.

В любом треугольнике все радиусы и диаметры
равны, имеют одинаковую длину.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Вписанная окружность в треугольник формулы через высотуСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Вписанная окружность в треугольник формулы через высотуФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Вписанная окружность в треугольник формулы через высотуВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту.

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникВписанная окружность в треугольник формулы через высоту
Равнобедренный треугольникВписанная окружность в треугольник формулы через высоту
Равносторонний треугольникВписанная окружность в треугольник формулы через высоту
Прямоугольный треугольникВписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту.

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту.

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Произвольный треугольник
Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту
Равнобедренный треугольник
Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту
Равносторонний треугольник
Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту
Прямоугольный треугольник
Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту
Произвольный треугольник
Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту.

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту.

Равнобедренный треугольникВписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Равносторонний треугольникВписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникВписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Видео:Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

Формулы равностороннего треугольника #shorts

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту– полупериметр (рис. 6).

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

с помощью формулы Герона получаем:

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Все формулы для радиуса вписанной окружности

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Радиус вписанной окружности в треугольник

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

a , b , c — стороны треугольника

p — полупериметр, p=( a + b + c )/2

Формула радиуса вписанной окружности в треугольник ( r ):

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Видео:Формула радиуса вписанной окружности треугольника. Геометрия 9 классСкачать

Формула радиуса вписанной окружности треугольника. Геометрия 9 класс

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

a — сторона треугольника

r — радиус вписанной окружности

Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник ( r ):

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Видео:Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать

Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник

1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

a — равные стороны равнобедренного треугольника

b — сторона ( основание)

α — угол при основании

О — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны ( r ) :

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол ( r ) :

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота

Вписанная окружность в треугольник формулы через высоту

a — равные стороны равнобедренного треугольника

b — сторона ( основание)

h — высота

О — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту ( r ) :

💡 Видео

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2Скачать

Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2

2065 радиус окружности вписанной в правильный треугольник равен 29 Найдите высоту этого треугольникаСкачать

2065 радиус окружности вписанной в правильный треугольник равен 29 Найдите высоту этого треугольника

Радиус вписанной окружности, формулу через площадь и полупериметрСкачать

Радиус вписанной окружности, формулу через площадь и полупериметр

Формулы площади треугольника. Вписаная и описаная окружностьСкачать

Формулы площади треугольника. Вписаная и описаная окружность

Формулы для равностороннего треугольника.Скачать

Формулы для  равностороннего треугольника.

Планиметрия | замечательные точки треугольников | вписанная окружность | формулыСкачать

Планиметрия | замечательные точки треугольников | вписанная окружность | формулы

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Треугольник и окружность #shortsСкачать

Треугольник и окружность #shorts

8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность
Поделиться или сохранить к себе: