Все свойства параллельных прямых в пространстве (6 видео)

Определение параллельных прямых в пространстве

Содержание

Понятие о параллельных прямых
Теоремы о параллельности двух прямых
Свойства параллельных прямых в пространстве
Пример задачи о параллельных прямых
Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трех прямых
Свойства параллельных прямых в пространстве (стр. 1 )
🎬 Видео

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Понятие о параллельных прямых

Прямые (a) и (b) являются параллельными в трехмерном пространстве только в том случае, если они находятся в одной плоскости и не пересекаются.

Если рассмотреть примеры, то параллельные прямые мы можем наблюдать как противоположные края у прямоугольного или квадратного стола, железнодорожные рельсы и шпалы, провода линий электропередач, линии в тетради в полоску и прочее. Таких примеров из реального мира можно привести очень много.

Другими вариантами прямых, расположенных в 3D-пространстве, есть их скрещивание и пересечение. Пересекающимися есть прямые, имеющие общую точку, она же и есть точкой пересечения. Скрещивающимися есть прямые, расположенные в разных плоскостях и не параллельные между собой.

Есть ряд теорем, описывающих поведение параллельных прямых в пространстве. Рассмотрим их подробнее.

Видео:10 класс, 4 урок, Параллельные прямые в пространствеСкачать

Теоремы о параллельности двух прямых

если две прямые в пространстве перпендикулярные к одной плоскости, то они параллельные между собой;
через точку в пространстве, что не расположена на заданной прямой, возможно провести лишь одну прямую, параллельную заданной.

Доказательство теоремы : Через прямую a и точку (M) , не находящуюся на данной прямой, проведем плоскость ∝. Эта плоскость определяется заданной прямой a и точкой (M) , то есть она однозначно определена.

Для доказательства этой теоремы применим евклидовую аксиому из планиметрии про параллельные прямые.
Таким образом, через точку (M) возможно проложить лишь одну прямую, параллельную прямой (a) , и ее существование доказано. Назовем эту прямую (b) .
Два отрезка будут параллельными при их расположении на параллельных прямых.

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Свойства параллельных прямых в пространстве

Некоторые свойства пересекаются с вышеизложенными теоремами, но все же рассмотрим их все:

имея две параллельных прямых, одна из которых параллельная третьей прямой, можно утверждать, что вторая тоже будет параллельна третьей;
если из двух параллельных прямых одна пересекает некую плоскость, то и вторая так же будет ее пересекать. Это свойство является леммой про две параллельные прямые в пространстве, ее применяют при обоснованиях различных геометрических теорем;
при помощи двух параллельных прямых можно изобразить однозначно заданную плоскость;
через любую точку, находящуюся в 3D-пространстве и не расположенную на заданной прямой, возможно провести лишь одну прямую, что параллельна заданной.

Рассмотрим подробнее лемму про параллельные прямые и докажем ее. К примеру, некая прямая (b) пересекает плоскость (∝) в точке (M) , что расположена на заданной плоскости. Параллельные прямые a и образуют некую плоскость (β) . Таким образом, если точка (M) общая для плоскостей (∝) и (β) , то эти плоскости пересекаются, линию пересечения обозначим c, на ней расположена точка (M) .
Все прямые (a) , (b) и (c) расположены в плоскости (β) .

Не нашли что искали?

Просто напиши и мы поможем

В соответствии с аксиомой планиметрии, при пересечении одной из параллельных прямых третьей прямой, вторая так же будет ее пересекать.

В нашем варианте прямая a пересекает прямую c в точке (K) .

Точка (K) расположена одновременно на прямой a и на плоскости (∝) , значит она есть общей для них. Таким образом, прямая a пересекает плоскость (∝) .

Видео:10 класс - Геометрия - Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трёх прямыхСкачать

Пример задачи о параллельных прямых

Заданы прямые (a) и (b) , описывающиеся уравнениями. Определить, параллельны ли заданные прямые.
(a: == ) ;

При совпадении прямых или если они параллельны их направляющие векторы (s_1) и ( s_2) будут коллинеарными, таким образом, их координаты будут иметь следующее соотношение:

Для того, чтобы найти направляющие вектора, воспользуемся каноническими уравнениями, таким образом для прямой a вектор (s_1) будет равен .

Для прямой b найдем направляющий вектор при помощи произведения нормальных векторов плоскостей, на которых он расположен:

Таким образом, соблюдается вышеуказанное условие, значит эти прямые либо параллельны, либо совпадают. Необходимо определить каковыми именно они являются: параллельны или совпадают. Возьмем некую точку (K) с координатами (1;2;-1), находящуюся на прямой a, и подставим ее координаты в уравнение прямой (b) :
1-2+1+1=0;1=0,

Равенство не выполняется, таким образом, точка (K) не расположена на прямой (b) , а это означает, что прямые (a) и (b) не совпадают, соответственно они параллельны.

Видео:Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трех прямых

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы дадим основные определения и теоремы на тему параллельных прямых в пространстве.
В начале урока рассмотрим определение параллельных прямых в пространстве и докажем теорему о том, что через любую точку пространства можно провести только одну прямую, параллельную данной. Далее докажем лемму о двух параллельных прямых, пересекающих плоскость. И с ее помощью докажем теорему о двух прямых, параллельных третьей прямой.

Видео:Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

Свойства параллельных прямых в пространстве (стр. 1 )

Все свойства параллельных прямых в пространстве

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8

Тема: Свойства параллельных прямых в пространстве

Возможны четыре различных случая расположения двух прямых в пространстве:

прямые скрещивающиеся, т. е. не лежат в одной плоскости; прямые пересекаются, т. е. лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку; прямые параллельные, т. е. лежат в одной плоскости и не пересекаются; прямые совпадают.

Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

a||b (прямая а параллельна прямой b)

Теорема о параллельных прямых. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок отрезок CD ||AB

Свойства параллельных прямых

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Задание№1. Ответить на вопросы:

Две прямые пересекаются. Что это значит? Две прямые называются скрещивающимися, если. Две прямые в пространстве называются параллельными, если. Прямая а, параллельная прямой b, пересекает плоскость б. Прямая с параллельна прямой b, тогда: Каким может быть взаимное расположение прямых а и b, если через прямую а можно провести плоскость, параллельную прямой b? Каким может быть взаимное расположение двух прямых, если обе они параллельны одной плоскости?

Точки А и D – середины ребер параллелепипеда. Выберите верные высказывания:

1) Прямые СD и MN скрещивающиеся.

2) Прямые АВ и MN лежат в одной плоскости.

3) Прямые СD и MN пересекаются.

4) Прямые АВ и СD скрещивающиеся.

Задание №3. С учебника

Домашняя работа: С учебника

Что называется пересекающимися прямыми? Что называется скрещивающимися прямыми? Что называется параллельными прямыми?

Задание СРС: Виды расположения прямых.

Тема: Признак скрещивающихся прямых.

Возможны четыре различных случая расположения двух прямых в пространстве:

Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Признак скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

скрещивающиеся прямые a⊂б, b∩б=K, K∉a⇒a и b−скрещивающиеся прямые

Задание №1. Определите взаимное расположение прямых иa и b.

Задание №2. Точки А, В, С и D – середины ребер прямоугольного параллелепипеда. Найдите параллельные прямые.

Задание №3. Точки А и В – середины ребер параллелепипеда. Определите взаимное расположение прямых иa и b.

Задание №3. С учебника

Домашняя работа: С учебника

Задание СРС: Взаимное расположение в плоскости.

Тема: Взаимное расположение прямой и плоскости.

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек (а || )

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, а другая прямая имеет с плоскостью общую точку, то эта прямая лежит в данной плоскости.

Выводы.
Случаи взаимного расположения прямой и плоскости:

а) прямая лежит в плоскости;

б) прямая и плоскость имеют только одну общую точку;

в) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.

Дан треугольник ABC. На сторонах AB и AC соответственно отложены точки D и E так, что DE=7 см и ADBD=94. Через точки B и C проведена плоскость б, которая параллельна отрезку DE.