Все свойства инцентра треугольника

Please wait.
Содержание
  1. We are checking your browser. mathvox.ru
  2. Why do I have to complete a CAPTCHA?
  3. What can I do to prevent this in the future?
  4. Треугольник. Формулы определения и свойства треугольников.
  5. Определение треугольника
  6. Классификация треугольников
  7. 1.Разносторонний – треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.
  8. 2. Равнобедренный – треугольник, у которого длины двух сторон равны. Они называются боковыми сторонами AB и BC. Третья сторона называется основание СА. В данном треугольнике углы при основании равны ∠ α = ∠ β
  9. 3.Равносторонний (или правильный) – треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. Также все его углы равны 60°.
  10. 4.Остроугольный – треугольник, у которого все три угла острые, т.е. меньше 90°
  11. 5.Тупоугольный – треугольник, в котором один из углов больше 90°. Два остальных угла – острые.
  12. 6. Прямоугольный – треугольник, в котором один из углов является прямым, т.е. равен 90°. В такой фигуре две стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами (AB и BC). Третья сторона, расположенная напротив прямого угла – это гипотенуза (CА).
  13. Свойства треугольника
  14. 1.Свойства углов и сторон треугольника.
  15. 2.Теорема синусов.
  16. 3. Теорема косинусов.
  17. 4. Теорема о проекциях
  18. Медианы треугольника
  19. Свойства медиан треугольника:
  20. Формулы медиан треугольника
  21. Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
  22. Типы треугольников
  23. По величине углов
  24. По числу равных сторон
  25. Вершины углы и стороны треугольника
  26. Свойства углов и сторон треугольника
  27. Теорема синусов
  28. Теорема косинусов
  29. Теорема о проекциях
  30. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  31. Медианы треугольника
  32. Свойства медиан треугольника:
  33. Формулы медиан треугольника
  34. Биссектрисы треугольника
  35. Свойства биссектрис треугольника:
  36. Формулы биссектрис треугольника
  37. Высоты треугольника
  38. Свойства высот треугольника
  39. Формулы высот треугольника
  40. Окружность вписанная в треугольник
  41. Свойства окружности вписанной в треугольник
  42. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  43. Окружность описанная вокруг треугольника
  44. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  45. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  46. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  47. Средняя линия треугольника
  48. Свойства средней линии треугольника
  49. Периметр треугольника
  50. Формулы площади треугольника
  51. Формула Герона
  52. Равенство треугольников
  53. Признаки равенства треугольников
  54. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  55. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  56. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  57. Подобие треугольников
  58. Признаки подобия треугольников
  59. Первый признак подобия треугольников
  60. Второй признак подобия треугольников
  61. Третий признак подобия треугольников

Видео:№16 ЕГЭ 2023 по математике. Свойство ортоцентра за 5 минут. Четко и без водыСкачать

№16 ЕГЭ 2023 по математике. Свойство ортоцентра за 5 минут. Четко и без воды

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:№16 из ЕГЭ2022 и олимпиады. Красивое доказательство свойства ортоцентра остроугольного треугольникаСкачать

№16 из ЕГЭ2022 и олимпиады. Красивое доказательство свойства ортоцентра остроугольного треугольника

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:ЕГЭ 2024. ВСЁ ПРО ТРЕУГОЛЬНИКИ за 15 минутСкачать

ЕГЭ 2024. ВСЁ ПРО ТРЕУГОЛЬНИКИ за 15 минут

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6d8eb6a28e03498d • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

Треугольник. Формулы определения и свойства треугольников.

В данной статье мы расскажем о классификаци и свойствах основной геометрической фигуры — треугольника. А также разберем некоторе примеры решения задач на треугольники.

Содержание:

Видео:ВСЕ свойства ортоцентра для №16 на ЕГЭ 2023 по математикеСкачать

ВСЕ свойства ортоцентра для №16 на ЕГЭ 2023 по математике

Определение треугольника

Треугольник — это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами. В геометрических задачах треугольник обычно изображают специальным симовлом — △, после которго пишут названия вершин треугольника напр. △ABC.

Все свойства инцентра треугольника

Треугольник ABC (△ABC)

  • Точки A, B и C — вершины треугольника. Принято писать их большими буквами.
  • Отрезки AB, BC и СА — стороны треугольника. Обычно сторонам присваивают свои названия маленькими буквами. Имя выбирают по первой вершине каждой стороны. Напр. у стороны AB первая вершина А поэтому эта сторона называется а. Тоесть AB = a, BC = b, CА = c.
  • Стороны треугольника в местах соединения образуют три угла, которым обычно дают названия буквами греческого алфавита α, β, γ. Причем напротив стороны a лежит угол α, b — β, с — γ.

Углы треугольника, также, можно обозначать специальным символом — . После которого пишут вершины треугольника в таком порядке чтобы вершина обозначающегося угла была в серединке. Например:

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Классификация треугольников

Все треугольники можно разделить на несколько видов, различающихся между собой величиной углов или длинами сторон. Такая классификация позволяет выделить особенности каждого из них.

1.Разносторонний – треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.

Все свойства инцентра треугольника

2. Равнобедренный – треугольник, у которого длины двух сторон равны. Они называются боковыми сторонами AB и BC. Третья сторона называется основание СА. В данном треугольнике углы при основании равны ∠ α = ∠ β

Все свойства инцентра треугольника

3.Равносторонний (или правильный) – треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. Также все его углы равны 60°.

Все свойства инцентра треугольника

4.Остроугольный – треугольник, у которого все три угла острые, т.е. меньше 90°

Все свойства инцентра треугольника

5.Тупоугольный – треугольник, в котором один из углов больше 90°. Два остальных угла – острые.

Все свойства инцентра треугольника

6. Прямоугольный – треугольник, в котором один из углов является прямым, т.е. равен 90°. В такой фигуре две стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами (AB и BC). Третья сторона, расположенная напротив прямого угла – это гипотенуза (CА).

Все свойства инцентра треугольника

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Свойства треугольника

1.Свойства углов и сторон треугольника.

Все свойства инцентра треугольника

  • Сумма всех углов треугольника равна 180°:
  • Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:
  • В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

2.Теорема синусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c
sin αsin βsin γ

3. Теорема косинусов.

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

4. Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

Видео:Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.

Медианы треугольника

Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Все свойства инцентра треугольника

Свойства медиан треугольника:

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке O. (Точка пересечения медиан называется центроидом)

2. В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

AO=BO=CO=2
ODOEOF1

3. Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие по площади части

4. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

5. Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.

Все свойства инцентра треугольника

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны:

Видео:СВОЙСТВА ВЫСОТ И ОРТОЦЕНТРАСкачать

СВОЙСТВА ВЫСОТ И ОРТОЦЕНТРА

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Видео:Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать

Свойство биссектрисы треугольника с доказательством

Типы треугольников

По величине углов

Все свойства инцентра треугольника

Все свойства инцентра треугольника

Все свойства инцентра треугольника

По числу равных сторон

Все свойства инцентра треугольника

Все свойства инцентра треугольника

Все свойства инцентра треугольника

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnline

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Все свойства инцентра треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c= 2R
sin αsin βsin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника

Медианы треугольника

Все свойства инцентра треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Видео:Треугольники и их свойстваСкачать

Треугольники и их свойства

Биссектрисы треугольника

Все свойства инцентра треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2 bc cos α 2 b + c

lb = 2 ac cos β 2 a + c

lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Высоты треугольника

Все свойства инцентра треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Окружность вписанная в треугольник

Все свойства инцентра треугольника

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Видео:Треугольники. 7 класс.Скачать

Треугольники. 7 класс.

Окружность описанная вокруг треугольника

Все свойства инцентра треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Видео:3 свойства биссектрисы #shortsСкачать

3 свойства биссектрисы #shorts

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Видео:8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать

8. Медиана треугольника и её свойства.

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

Все свойства инцентра треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Видео:Медиана, высота и биссектриса треугольника. Центроид, инцентр, ортоцентр. Геометрия 7 класс.Скачать

Медиана, высота и биссектриса треугольника. Центроид, инцентр, ортоцентр. Геометрия 7 класс.

Периметр треугольника

Все свойства инцентра треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

Формулы площади треугольника

Все свойства инцентра треугольника

Формула Герона

S =a · b · с
4R

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

Все свойства инцентра треугольника

∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Поделиться или сохранить к себе: