Все свойства хорд и углов окружности

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Все свойства хорд и углов окружностиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Все свойства хорд и углов окружностиСвойства хорд и дуг окружности
Все свойства хорд и углов окружностиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Все свойства хорд и углов окружностиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Все свойства хорд и углов окружностиТеорема о бабочке

Все свойства хорд и углов окружности

Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьВсе свойства хорд и углов окружности
КругВсе свойства хорд и углов окружности
РадиусВсе свойства хорд и углов окружности
ХордаВсе свойства хорд и углов окружности
ДиаметрВсе свойства хорд и углов окружности
КасательнаяВсе свойства хорд и углов окружности
СекущаяВсе свойства хорд и углов окружности
Окружность
Все свойства хорд и углов окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругВсе свойства хорд и углов окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусВсе свойства хорд и углов окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаВсе свойства хорд и углов окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрВсе свойства хорд и углов окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяВсе свойства хорд и углов окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяВсе свойства хорд и углов окружности

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеВсе свойства хорд и углов окружностиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыВсе свойства хорд и углов окружностиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныВсе свойства хорд и углов окружностиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиВсе свойства хорд и углов окружностиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыВсе свойства хорд и углов окружностиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Все свойства хорд и углов окружности

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыВсе свойства хорд и углов окружности

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыВсе свойства хорд и углов окружности

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиВсе свойства хорд и углов окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныВсе свойства хорд и углов окружности

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиВсе свойства хорд и углов окружности

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыВсе свойства хорд и углов окружности

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Все свойства хорд и углов окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Все свойства хорд и углов окружности

Все свойства хорд и углов окружности

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыВсе свойства хорд и углов окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиВсе свойства хорд и углов окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиВсе свойства хорд и углов окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаВсе свойства хорд и углов окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Все свойства хорд и углов окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Все свойства хорд и углов окружности

Все свойства хорд и углов окружности

Пересекающиеся хорды
Все свойства хорд и углов окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Все свойства хорд и углов окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Все свойства хорд и углов окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Все свойства хорд и углов окружности
Пересекающиеся хорды
Все свойства хорд и углов окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Все свойства хорд и углов окружности

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Все свойства хорд и углов окружности

Все свойства хорд и углов окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Все свойства хорд и углов окружности

Все свойства хорд и углов окружности

Все свойства хорд и углов окружности

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Все свойства хорд и углов окружности

Все свойства хорд и углов окружности

Все свойства хорд и углов окружности

Видео:Свойства хорд окружностиСкачать

Свойства хорд окружности

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Все свойства хорд и углов окружности

Все свойства хорд и углов окружности

Тогда справедливо равенство

Все свойства хорд и углов окружности

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Все свойства хорд и углов окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Все свойства хорд и углов окружности

Все свойства хорд и углов окружности

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Все свойства хорд и углов окружности

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Все свойства хорд и углов окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Все свойства хорд и углов окружности

Все свойства хорд и углов окружности

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Все свойства хорд и углов окружности

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Все свойства хорд и углов окружности

Все свойства хорд и углов окружности

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Все свойства хорд и углов окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Свойства хорд, касательных, секущих окружности I Для решения задач из ОГЭ И ЕГЭ I Часть 1Скачать

Свойства хорд, касательных, секущих окружности I Для решения задач из ОГЭ И ЕГЭ I Часть 1

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Все свойства хорд и углов окружности

Все свойства хорд и углов окружности

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Все свойства хорд и углов окружности

Все свойства хорд и углов окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Все свойства хорд и углов окружности

Все свойства хорд и углов окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Все свойства хорд и углов окружности

Все свойства хорд и углов окружности

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Все свойства хорд и углов окружности

Все свойства хорд и углов окружности

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Все свойства хорд и углов окружности

Все свойства хорд и углов окружности

Все свойства хорд и углов окружности

Все свойства хорд и углов окружности

Все свойства хорд и углов окружности

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Все свойства хорд и углов окружности

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Окружность

Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Видео:Угол между хордой и касательнойСкачать

Угол между хордой и касательной

Основные термины


Касательная

Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства касательной


  1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Хорда

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Свойства хорд


  1. Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M , то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.

Видео:Окружность, касательная, секущая и хорда | МатематикаСкачать

Окружность, касательная, секущая и хорда | Математика

Свойства окружности


  1. Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку ( касательная ); иметь с ней две общие точки ( секущая ).
  2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
  3. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

Теорема о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC 2 = MA•MB .

Теорема о секущих

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

Видео:Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

Углы в окружности

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.

Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Свойства углов, связанных с окружностью


  1. Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.

Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

Видео:Свойства углов в окружности, о которых все забываютСкачать

Свойства углов в окружности, о которых все забывают

Длины и площади


  1. Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле:

Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле:

Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом ,измеренным в радианах, вычисляется по формуле:

Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в радиан вычисляется по формуле:

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Вписанные и описанные окружности


Окружность и треугольник


  • центр вписанной окружности — точка пересечения биссектристреугольника, ее радиус r вычисляется по формуле:

где S — площадь треугольника, а — полупериметр;

центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, ее радиус R вычисляется по формуле:

здесь a, b, c — стороны треугольника, — угол, лежащий против стороны a , S — площадь треугольника;

  • центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;
  • центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный.
  • Окружность и четырехугольники


    • около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:

    в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:

    • около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;
    • около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне;
    • в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

    Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

    Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

    Хорда окружности — определение, свойства, теорема

    Все свойства хорд и углов окружности

    Видео:ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать

    ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный Угол

    Хорда в геометрии

    Каждая хорда имеет свою длину. Ее можно определить с помощью теоремы синусов. То есть длина хорды окружности зависит от радиуса и вписанного угла, опирающегося на данный отрезок. Формула для определения длины выглядит следующим образом: B*A = R*2 * sin α, где R — радиус, AB — это хорда, α — вписанный угол. Также длину можно вычислить через другую формулу, которая выводится из теоремы Пифагора: B*A = R*2 * sin α/2 , где AB — это хорда, α — центральный угол, который опирается на данный отрезок, R — радиус.

    Все свойства хорд и углов окружности

    Если рассматривать хорды в совокупности с дугами, то получаются новые объекты. Например, в кругу можно дополнительно выделить две области: сектор и сегмент. Сектор образуется с помощью двух радиусов и дуги. Для сектора можно вычислить площадь, а если он является частью конуса, то еще и высоту. Сегмент, в свою очередь, это область, состоящая из отрезка и дуги.

    Для того чтобы проверить правильность своего решения в нахождении длины, можно обратиться к онлайн-калькуляторам в интернете. Они представлены в виде таблицы, в которую нужно вписать только известные параметры, а программа сама выполнит необходимые вычисления.

    Это очень полезная функция, так как не приходится вспоминать различные уравнения и производить сложные расчеты.

    Свойства отрезка окружности

    Для решения геометрических задач необходимо знать свойства хорды окружности. Для нее характерны такие показатели:

    Все свойства хорд и углов окружности

    1. Это отрезок с наибольшей длиною в окружности это диаметр. Он обязательно будет проходить через центр круга.
    2. Если есть две равные дуги, то их отрезки, которые их стягивают, будут равны.
    3. Хорда, которая перпендикулярна диаметру, будет делить этот отрезок и его дугу на две одинаковые части (справедливо и обратное утверждение).
    4. Самый маленький отрезок в окружности это точка.
    5. Хорды будут равны, если они находятся на одном расстоянии от центра окружности (справедливо и обратное утверждение).
    6. При сравнении двух отрезков в кругу большая из них окажется ближе к центру окружности.
    7. Дуги, которые находятся между двумя параллельными хордами, равны.

    Помимо основных свойств отрезка круга, нужно выделить еще одно важное свойство. Оно отражено в теореме о пересекающихся хордах.

    Ключевая теорема

    Все свойства хорд и углов окружности

    Имеется круг с центром в точке O и радиусом R. Для теоремы нужно в круг вписать две прямые, пускай это будут хорды BA и CD, которые пересекаются в точке E. Перед тем как перейти к доказательству, нужно сформулировать определение теоремы. Оно звучит следующим образом: если хорды пересекаются в некоторой точке, которая делит их на отрезки, то произведения длин отрезков первой хорды равно произведению длин отрезков второй хорды. Для наглядности можно записать эту формулу: AE*BE= EC*ED. Теперь можно перейти к доказательству.

    Все свойства хорд и углов окружности

    Проведем отрезки CB и AD. Рассмотрим треугольники CEB и DEA. Известно, что углы CEB и DEA равны как вертикальные углы, DCB и BAD равны за следствием с теоремы про вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу. Треугольники CEB и DEA подобны (первый признак подобия треугольников). Тогда выходит пропорциональное соотношение BE/ED = EC/EA. Отсюда AE*BE= EC*ED.

    Помимо взаимодействия с внутренними элементами окружности, для хорды еще существуют свойства при пересечении с секущейся и касательными прямыми. Для этого необходимо рассмотреть понятия касательная и секущая и определить главные закономерности.

    Касательная — это прямая, которая соприкасается с кругом только в одной точке. И если к ней провести радиус круга, то они будут перпендикулярны. В свою очередь, секущая — это прямая, которая проходит через две точки круга. При взаимодействии этих прямых можно заметить некоторые закономерности.

    Видео:Это Свойство Поможет Решить Задачи по Геометрии — Хорда, Окружность, Секущая (Геометрия)Скачать

    Это Свойство Поможет Решить Задачи по Геометрии — Хорда, Окружность, Секущая (Геометрия)

    Касательная и секущая

    Существует теорема о двух касательных, которые проведены с одной точки. В ней говорится о том, что если есть две прямые OK и ON, которые проведены с точки O, будут равны между собой. Перейдем к доказательству теоремы.

    Все свойства хорд и углов окружности

    Рассмотрим два прямоугольных треугольника AFD и AED. Поскольку катеты DF и DE будут равны как радиусы круга, а AD — общая гипотенуза, то между собой данные треугольники будут равны за признаком равенства треугольников, с чего выходит, что AF = AE.

    Если возникает ситуация, когда пересекаются касательная и секущая, то в этом случае также можно вывести закономерность. Рассмотрим теорему и докажем, что AB 2 = AD*AC.

    Все свойства хорд и углов окружности

    Предположим у нас есть касательная AB и секущая AD, которые берут начало с одной точки A. Обратим внимание на угол ABC, он спирается на дугу BC, значит, за свойством значение его угла будет равно половине градусной меры дуги, на которую он опирается. За свойством вписанного угла, величина угла BDC также будет равно половине дуги BC. Таким образом, треугольники ABD и ABC будут подобны за признаком подобия треугольников, так как угол A — общий, а угол ABC равен углу BDC. Опираясь на теорию, получаем соотношение: AB/CA = DA/AB, переписав это соотношение в правильную форму, получаем равенство AB 2 = AD*AC, что и требовалось доказать.

    Как есть теорема про две касательные, так есть и теорема про две секущие. Она так же просто формулируется, как и остальные теоремы. Поэтому рассмотрим доказательство и убедимся, что AB*AC = AE*AD.

    Все свойства хорд и углов окружности

    Проведем две прямые через точку A, получим две секущие AC и AE. Дорисуем две хорды, соединяя точки C и B, B и D. Получим два треугольника ABD И CEA. Обратим внимание на вписанный четырехугольник BDCE. За свойством вписанных четырехугольников узнаем, что значения углов BDE и ECB в сумме будут давать 180 градусов. И сумма значений углов BDA и BDE также равна 180, за свойством смежных углов.

    Отсюда можно получить два уравнения, из которых будет выведено, что углы ECB и BDA будут равны: BDA + BDE = 180; BDE + ECB = 180. Все это записываем в систему уравнений, отнимаем первое от второго, получаем результат, что ECB = BDA.

    Если вернутся к треугольникам ABD И CEA, то теперь можно сказать, что они подобны, так как угол А — общий, а углы ECA и BDA — равны. Теперь можно записать соотношение сторон: AB/AE = AD/AC. В итоге получим, что AB*AC = AE*AD.

    Видео:Теорема об отрезках хорд и секущихСкачать

    Теорема об отрезках хорд и секущих

    Решение задач

    При решении задач, связанных с окружностью, хорда часто выступает главным элементом, опираясь на который можно найти остальные неизвестные элементы. В каждой второй задаче задаются два параметра, чтобы найти третий неизвестный. В задачах, которые, связанные с кругом, хорда — это обязательный элемент:

    Все свойства хорд и углов окружности

    • Найти высоту детали, которая была получена путем сгибания заготовки в дугу. В начальных данных обязательно присутствует хорда и длина дуги.
    • Дана развертка, нужно найти длину части кольца. Задается хорда и диаметр.
    • Также можно находить длину хорды. В случае если заданы уравнения прямой и окружности, которые пересекаются.

    Для решения задач с отрезком в окружности удобно использовать схематические рисунки. Их рисуют с помощью линейки и циркуля, и принцип решения задач становится более наглядным.

    📸 Видео

    Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать

    Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |

    Угол между хордой и касательнойСкачать

    Угол между хордой и касательной

    Углы в окружности | ФормулыСкачать

    Углы в окружности | Формулы

    Свойство хорд, пересекающихся внутри окружностиСкачать

    Свойство хорд, пересекающихся внутри окружности

    Угол между хордой и касательной. 9 класс.Скачать

    Угол между хордой и касательной. 9 класс.

    Вписанные углы в окружностиСкачать

    Вписанные углы в окружности
    Поделиться или сохранить к себе: