Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.
Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.
Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.
Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.
Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.
Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?
В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.
Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.
Вот еще две формулы для площади.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.
— радиус окружности, вписанной в треугольник.
Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :
где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.
Для любого треугольника верна теорема синусов:
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .
Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .
Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:
Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .
В ответ запишем .
. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.
По теореме синусов,
Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .
. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.
, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем . Тогда .
Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .
- Треугольник: вписанная и описанная окружности
- Окружность, вписанная в треугольник
- Окружность, описанная около треугольника
- Окружность, описанная около треугольника. Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
- Серединный перпендикуляр к отрезку
- Окружность, описанная около треугольника
- Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
- Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности
- 📺 Видео
Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Треугольник: вписанная и описанная окружности
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Окружность, вписанная в треугольник
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.
Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать
Окружность, описанная около треугольника
Окружность, проходящая через все вершины треугольника, называется описанной около треугольника окружностью.
- Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника;
- Радиус описанной окружности можно найти из теоремы синусов : a sin α = b sin β = c sin γ = 2 R frac=frac=frac=2R sin α a = sin β b = sin γ c = 2 R .
Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать
Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
 Серединный перпендикуляр к отрезку |
| Окружность описанная около треугольника |
| Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов |
| Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности |
Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Серединный перпендикуляр к отрезку
Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).
Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.
Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.
Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.
Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .
Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,
Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.
Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,
Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2
Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать
Окружность, описанная около треугольника
Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .
Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
| Фигура | Рисунок | Свойство | |
| Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника |  | Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке. Посмотреть доказательство | |
| Окружность, описанная около треугольника |  | Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника. Посмотреть доказательство | |
| Центр описанной около остроугольного треугольника окружности | Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника. | ||
| Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности |  | Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы. Посмотреть доказательство | |
| Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности |  | Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника. | |
| Теорема синусов |  | ||
| Площадь треугольника |  | ||
| Радиус описанной окружности | |
| Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника |
|
Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):
,
где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.
Для любого треугольника справедливо равенство:
где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.
Для любого треугольника справедливо равенство:
где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.
Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать
Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности
Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).
Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
Следовательно, справедливо равенство:
откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.
Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).
При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:
из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.
Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)
.
Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:
| l = 2Rsin φ . | (1) |
Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).
Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.
Формула (1) доказана.
Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):
📺 Видео
8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать
Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрияСкачать
Вписанные и описанные окружности (в треугольник)Скачать
Тема 7. Вписанные и описанные окружности треугольникаСкачать
Радиус описанной окружностиСкачать
Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать
Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать
Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать
Геометрия 9 класс. Вписанные и описанные окружности. Ключевая задача № 4.Скачать
Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать
Вписанная и описанная окружностиСкачать
Вписанная и описанная окружности треугольника, 7 классСкачать
