Все правила по треугольникам

Треугольник. Формулы определения и свойства треугольников.

В данной статье мы расскажем о классификаци и свойствах основной геометрической фигуры — треугольника. А также разберем некоторе примеры решения задач на треугольники.

Содержание:

Содержание
  1. Определение треугольника
  2. Классификация треугольников
  3. 1.Разносторонний – треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.
  4. 2. Равнобедренный – треугольник, у которого длины двух сторон равны. Они называются боковыми сторонами AB и BC. Третья сторона называется основание СА. В данном треугольнике углы при основании равны ∠ α = ∠ β
  5. 3.Равносторонний (или правильный) – треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. Также все его углы равны 60°.
  6. 4.Остроугольный – треугольник, у которого все три угла острые, т.е. меньше 90°
  7. 5.Тупоугольный – треугольник, в котором один из углов больше 90°. Два остальных угла – острые.
  8. 6. Прямоугольный – треугольник, в котором один из углов является прямым, т.е. равен 90°. В такой фигуре две стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами (AB и BC). Третья сторона, расположенная напротив прямого угла – это гипотенуза (CА).
  9. Свойства треугольника
  10. 1.Свойства углов и сторон треугольника.
  11. 2.Теорема синусов.
  12. 3. Теорема косинусов.
  13. 4. Теорема о проекциях
  14. Медианы треугольника
  15. Свойства медиан треугольника:
  16. Формулы медиан треугольника
  17. math4school.ru
  18. Треугольники
  19. Основные свойства
  20. Равенство треугольников
  21. Подобие треугольников
  22. Медианы треугольника
  23. Биссектрисы треугольника
  24. Высоты треугольника
  25. Серединные перпендикуляры
  26. Окружность, вписанная в треугольник
  27. Окружность, описанная около треугольника
  28. Расположение центра описанной окружности
  29. Равнобедренный треугольник
  30. Равносторонний треугольник
  31. Прямоугольный треугольник
  32. Вневписанные окружности
  33. Теоремы синусов, косинусов, тангенсов; формулы Мольвейде
  34. Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
  35. Типы треугольников
  36. По величине углов
  37. По числу равных сторон
  38. Вершины углы и стороны треугольника
  39. Свойства углов и сторон треугольника
  40. Теорема синусов
  41. Теорема косинусов
  42. Теорема о проекциях
  43. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  44. Медианы треугольника
  45. Свойства медиан треугольника:
  46. Формулы медиан треугольника
  47. Биссектрисы треугольника
  48. Свойства биссектрис треугольника:
  49. Формулы биссектрис треугольника
  50. Высоты треугольника
  51. Свойства высот треугольника
  52. Формулы высот треугольника
  53. Окружность вписанная в треугольник
  54. Свойства окружности вписанной в треугольник
  55. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  56. Окружность описанная вокруг треугольника
  57. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  58. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  59. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  60. Средняя линия треугольника
  61. Свойства средней линии треугольника
  62. Периметр треугольника
  63. Формулы площади треугольника
  64. Формула Герона
  65. Равенство треугольников
  66. Признаки равенства треугольников
  67. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  68. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  69. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  70. Подобие треугольников
  71. Признаки подобия треугольников
  72. Первый признак подобия треугольников
  73. Второй признак подобия треугольников
  74. Третий признак подобия треугольников

Видео:Бестселлер Все правила по геометрии за 7 классСкачать

Бестселлер Все правила по геометрии за 7 класс

Определение треугольника

Треугольник — это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами. В геометрических задачах треугольник обычно изображают специальным симовлом — △, после которго пишут названия вершин треугольника напр. △ABC.

Все правила по треугольникам

Треугольник ABC (△ABC)

  • Точки A, B и C — вершины треугольника. Принято писать их большими буквами.
  • Отрезки AB, BC и СА — стороны треугольника. Обычно сторонам присваивают свои названия маленькими буквами. Имя выбирают по первой вершине каждой стороны. Напр. у стороны AB первая вершина А поэтому эта сторона называется а. Тоесть AB = a, BC = b, CА = c.
  • Стороны треугольника в местах соединения образуют три угла, которым обычно дают названия буквами греческого алфавита α, β, γ. Причем напротив стороны a лежит угол α, b — β, с — γ.

Углы треугольника, также, можно обозначать специальным символом — . После которого пишут вершины треугольника в таком порядке чтобы вершина обозначающегося угла была в серединке. Например:

Видео:ВСЕ ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ😉 #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #shorts #геометрия #образованиеСкачать

ВСЕ ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ😉 #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #shorts #геометрия #образование

Классификация треугольников

Все треугольники можно разделить на несколько видов, различающихся между собой величиной углов или длинами сторон. Такая классификация позволяет выделить особенности каждого из них.

1.Разносторонний – треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.

Все правила по треугольникам

2. Равнобедренный – треугольник, у которого длины двух сторон равны. Они называются боковыми сторонами AB и BC. Третья сторона называется основание СА. В данном треугольнике углы при основании равны ∠ α = ∠ β

Все правила по треугольникам

3.Равносторонний (или правильный) – треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. Также все его углы равны 60°.

Все правила по треугольникам

4.Остроугольный – треугольник, у которого все три угла острые, т.е. меньше 90°

Все правила по треугольникам

5.Тупоугольный – треугольник, в котором один из углов больше 90°. Два остальных угла – острые.

Все правила по треугольникам

6. Прямоугольный – треугольник, в котором один из углов является прямым, т.е. равен 90°. В такой фигуре две стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами (AB и BC). Третья сторона, расположенная напротив прямого угла – это гипотенуза (CА).

Все правила по треугольникам

Видео:ЕГЭ 2024. ВСЁ ПРО ТРЕУГОЛЬНИКИ за 15 минутСкачать

ЕГЭ 2024. ВСЁ ПРО ТРЕУГОЛЬНИКИ за 15 минут

Свойства треугольника

1.Свойства углов и сторон треугольника.

Все правила по треугольникам

  • Сумма всех углов треугольника равна 180°:
  • Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:
  • В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

2.Теорема синусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c
sin αsin βsin γ

3. Теорема косинусов.

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

4. Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)

Медианы треугольника

Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Все правила по треугольникам

Свойства медиан треугольника:

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке O. (Точка пересечения медиан называется центроидом)

2. В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

AO=BO=CO=2
ODOEOF1

3. Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие по площади части

4. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

5. Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.

Все правила по треугольникам

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны:

Видео:Опорная задача о подобных треугольниках при пересечении высот | Планиметрия 84 | mathus.ru #егэ2024Скачать

Опорная задача о подобных треугольниках при пересечении высот | Планиметрия 84 | mathus.ru #егэ2024

math4school.ru

Все правила по треугольникам

Все правила по треугольникам

Все правила по треугольникам

Все правила по треугольникам

Все правила по треугольникам

Все правила по треугольникам

Все правила по треугольникам

Все правила по треугольникам

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Треугольники

Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Основные свойства

Все правила по треугольникам

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой (вершин треугольника) и трёх отрезков с концами в этих точках (сторон треугольника).

Углами (внутренними углами) треугольника называются три угла, каждый из которых образован тремя лучами, выходящими из вершин треугольника и проходящими через две другие вершины.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный внутреннему углы треугольника.

Сумма углов треугольника равна 180°:

Все правила по треугольникам

Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, и больше любого внутреннего, с ним не смежного:

Все правила по треугольникам

Длина каждой стороны треугольника больше разности и меньше суммы длин двух других сторон:

Все правила по треугольникам

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол:

Все правила по треугольникам

Все правила по треугольникам

Средней линией треугольника называется отрезок, который соединяет середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине:

Все правила по треугольникам

Видео:Треугольники. 7 класс.Скачать

Треугольники. 7 класс.

Равенство треугольников

Все правила по треугольникам

Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны:

Все правила по треугольникам

У равных треугольников все соответствующие элементы равны (стороны, углы, высоты, медианы, биссектрисы, средние линии и т.д.)

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов – равные стороны.

Все правила по треугольникам

Первый признак равенства треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны:

Все правила по треугольникам

Все правила по треугольникам

Второй признак равенства треугольников.

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны:

Все правила по треугольникам

Все правила по треугольникам

Третий признак равенства треугольников.

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны:

Все правила по треугольникам

Видео:Как влюбить в себя любого. Методика спецслужб.Скачать

Как влюбить в себя любого. Методика спецслужб.

Подобие треугольников

Все правила по треугольникам

Подобными называются треугольники, у которых соответствующие стороны пропорциональны.

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия:

Все правила по треугольникам

Два треугольника подобны, если:

  • Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
  • Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, и углы, образованные этими сторонами, равны.
  • Стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого.

У подобных треугольников соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны:

Все правила по треугольникам

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Все правила по треугольникам

Прямая, пересекающая две стороны треугольника, и параллельная третьей, отсекает треугольник, подобный данному:

Все правила по треугольникам

Все правила по треугольникам

Три средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника, подобные данному, с коэффициентом подобия ½:

Все правила по треугольникам

Видео:Геометрия 7 класса в одной задаче. Геометрия 7 класс кратко | МатематикаСкачать

Геометрия 7 класса в одной задаче. Геометрия 7 класс кратко | Математика

Медианы треугольника

Все правила по треугольникам

Медианой треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, делящей медианы в отношении 2:1, считая от вершины:

Все правила по треугольникам

  • Медиана делит треугольник на два равновеликих (с равными площадями) треугольника.
  • Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников:

Все правила по треугольникам

Все правила по треугольникам

Длины медиан, проведённых к соответствующим сторонам треугольника, равны:

Все правила по треугольникам

Видео:1С:Специалист-консультант ДО 3.0 Роли исполнителей, обработка видов документов, правила коммуникацииСкачать

1С:Специалист-консультант ДО 3.0 Роли исполнителей, обработка видов документов, правила коммуникации

Биссектрисы треугольника

Все правила по треугольникам

Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.

Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, находящейся внутри треугольника, равноудалённой от трёх его сторон, которая является центром окружности, вписанной в данный треугольник.

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую углу сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:

Все правила по треугольникам

Длина биссектрисы угла А :

Все правила по треугольникам

Все правила по треугольникам

Биссектрисы внутреннего и смежного с ним внешнего угла перпендикулярны.

Биссектриса внешнего угла треугольника делит (внешне) противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

BL – биссектриса угла В ;

ВЕ – биссектриса внешнего угла СВК :

Все правила по треугольникам

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Высоты треугольника

Все правила по треугольникам

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на продолжение стороны.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.

Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:

Все правила по треугольникам

Длина высоты, проведённой к стороне а :

Все правила по треугольникам

Видео:ТРИ ПРИЗНАКА РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ НА ЕГЭ #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ #геометрияСкачать

ТРИ ПРИЗНАКА РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ НА ЕГЭ #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ #геометрия

Серединные перпендикуляры

Все правила по треугольникам

Серединный перпендикуляр – это прямая, которая проходит через середину стороны треугольника перпендикулярно к ней.

Три серединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около данного треугольника.

Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром противолежащей стороны лежит на окружности, описанной около данного треугольника.

Видео:Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Признаки равенства треугольников. 7 класс.

Окружность, вписанная в треугольник

Все правила по треугольникам

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Точки касания вписанной окружности сторон треугольника отсекают от его сторон три пары равных между собой отрезков:

Все правила по треугольникам

Радиус вписанной в треугольник окружности – расстояние от её центра до сторон треугольника:

Все правила по треугольникам

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

Окружность, описанная около треугольника

Все правила по треугольникам

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Радиус описанной окружности:

Все правила по треугольникам

Видео:Запомни: все формулы для площади треугольникаСкачать

Запомни: все формулы для площади треугольника

Расположение центра описанной окружности

Все правила по треугольникамВсе правила по треугольникамВсе правила по треугольникамЦентр описанной окружности остроугольного треугольника расположен внутри треугольника.Центр описанной окружности прямоугольного треугольника совпадает с серединой его гипотенузы.Центр описанной окружности тупоугольного треугольника расположен вне треугольника.

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Равнобедренный треугольник

Все правила по треугольникам

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью – основанием равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠ A = ∠ C.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и биссектрисой, и высотой: BL – медиана, биссектриса, высота.

Все правила по треугольникам

Основные формулы для равнобедренного треугольника:

Все правила по треугольникам

Видео:ВСЯ ТЕОРИЯ по ГЕОМЕТРИИ ЗА 7 КЛАСС с примерамиСкачать

ВСЯ ТЕОРИЯ по ГЕОМЕТРИИ ЗА 7 КЛАСС с примерами

Равносторонний треугольник

Все правила по треугольникам

Треугольник у которого все стороны равны называется равносторонним или правильным треугольником.

Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

Все углы равностороннего треугольника равны:

Все правила по треугольникам

Каждая медиана равностороннего треугольника совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины:

Все правила по треугольникам

Основные соотношения для элементов равностороннего треугольника

Все правила по треугольникам

Видео:Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

Формулы равностороннего треугольника #shorts

Прямоугольный треугольник

Все правила по треугольникам

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, противолежащая прямому углу – гипотенузой.

Прямоугольные треугольники равны если у них равны:

  • два катета;
  • катет и гипотенуза;
  • катет и прилежащий острый угол;
  • катет и противолежащий острый угол;
  • гипотенуза и острый угол.
  • одному острому углу;
  • из пропорциональности двух катетов;
  • из пропорциональности катета и гипотенузы.

Все правила по треугольникам

Все правила по треугольникам

Все правила по треугольникам

Все правила по треугольникам

Все правила по треугольникам

Все правила по треугольникам

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:

Все правила по треугольникам

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:

Все правила по треугольникам

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, может быть определена через катеты и их проекции на гипотенузу:

Все правила по треугольникам

Медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы:

Все правила по треугольникам

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит данный треугольник на два треугольника, подобные данному:

Все правила по треугольникам

Площадь прямоугольного треугольника можно определить

через катеты: Все правила по треугольникам

через катет и острый угол: Все правила по треугольникам

через гипотенузу и острый угол: Все правила по треугольникам

Все правила по треугольникам

Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.

Радиус описанной окружности:

Все правила по треугольникам

Все правила по треугольникам

Радиус вписанной окружности:

Все правила по треугольникам

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№10 - Первый признак равенства треугольников.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№10 - Первый признак равенства треугольников.)

Вневписанные окружности

Все правила по треугольникам

Три окружности, каждая из которых касается одной стороны (снаружи) и продолжений двух других сторон треугольника, называются вневписанными.

Центр вневписанной окружности лежит не пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах.

Так точка О1 , центр одной из вневписанных окружностей Δ ABC , лежит на пересечении биссектрисы ∠ A треугольника ABC и биссектрис BО1 и C О1 внешних углов Δ ABC при вершинах B и C .

Таким образом, шесть биссектрис треугольника – три внутренние и три внешние – пересекаются по три в четырёх точках – центрах вписанной и трёх вневписанных окружностей.

Δ ABC является ортоцентричным в Δ О1О2О3 (точки A , B и C – основания высот в Δ О1О2О3 ).

В Δ ABC углы равны 180°–2 О1 , 180°–2 О2 , 180°–2 О3 .

Радиус окружности, описанной около Δ О1О2О3 , равен 2 R , где R – радиус окружности, описанной около Δ ABC .

Δ ABC имеет наименьший периметр среди всех треугольников, вписанных в Δ О1О2О3 .

Если ra , rb , rс – радиусы вневписанных окружностей в Δ ABC , то в Δ ABC верно:

для rВсе правила по треугольникам

для R – Все правила по треугольникам

для S – Все правила по треугольникам

для самих ra , rb , rсВсе правила по треугольникам

Теоремы синусов, косинусов, тангенсов; формулы Мольвейде

Все правила по треугольникам

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:

Все правила по треугольникам

Все правила по треугольникам

  • если c 2 > a 2 +b 2 , то угол γ – тупой ( cos γ
  • если c 2 2 +b 2 , то угол γ – острый ( cos γ > 0 );
  • если c 2 = a 2 +b 2 , то угол γ – прямой ( cos γ = 0 ).

Все правила по треугольникам

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной окружности:

Все правила по треугольникам

Теорема тангенсов (формула Региомонтана):

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Типы треугольников

По величине углов

Все правила по треугольникам

Все правила по треугольникам

Все правила по треугольникам

По числу равных сторон

Все правила по треугольникам

Все правила по треугольникам

Все правила по треугольникам

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Все правила по треугольникам

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c= 2R
sin αsin βsin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Все правила по треугольникам

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Биссектрисы треугольника

Все правила по треугольникам

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2 bc cos α 2 b + c

lb = 2 ac cos β 2 a + c

lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Все правила по треугольникам

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Все правила по треугольникам

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Окружность описанная вокруг треугольника

Все правила по треугольникам

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

Все правила по треугольникам

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Все правила по треугольникам

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Все правила по треугольникам

Формула Герона

S =a · b · с
4R

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

Все правила по треугольникам

∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Поделиться или сохранить к себе: