Оси треугольника рассматриваемого бутом (4 видео)

Построение диаграмм состояния трехкомпонентных систем

Состав двухкомпонентной системы можно было представить точкой на оси составов, а любое свойство системы откладывать на оси ординат и тем самым получать плоские диаграммы (так мы поступали ранее). Состав трехкомпонентной системы можно передать точкой на плоскости, а любое свойство системы (Р, Гит. п.) откладывать по оси аппликат, таким образом, диаграммы трехкомпонентных систем объемные, они изображаются в трехмерном пространстве.

Сначала научимся выражать состав трехкомпонентной системы на плоскости. Пусть система состоит из компонентов А, В и С, их молярные доли в сумме должны составлять единицу: Х_А + Х_в + Х_с = 1. Следовательно, мы должны построить такую диаграмму, которая автоматически гарантировала бы выполнение этого условия. Как впервые показал Гиббс, требуемое свойство имеет равносторонний треугольник. Из элементарной геометрии известно, что сумма расстояний от любой точки до трех сторон равна высоте треугольника [1] . На рис. 4.30 это проиллюстрировано для равностороннего треугольника с высотой 1. Если молярные доли Х_А, Х_в и Х_с изобразить тремя расстояниями по вертикали до сторон треугольника, то смесь любого состава можно представить в виде точки внутри треугольника.

Сторона АВ соответствует Х_с = 0, то же справедливо для двух других сторон. Таким образом, три стороны треугольника соответствуют трем бинарным системам (А, В), (В, С) и (С, А). Стороны треугольника делят на 100 (или 10) частей и через точки деления проводят прямые, параллельные соответствующим сторонам.

Представим треугольник (рис. 4.30), размеченный такими линиями, тогда высота над основанием представляет собой молярную долю компонента, указанного у противоположной вершины. Так, на рисунке точка Р соответствует молярным долям компонентов: Х_А = 0,50, = 0,10, Х_с = 0,4.

Рис. 4.30. Представление состава трехкомпонентной системы в виде треугольника Гиббса

Важное свойство треугольной диаграммы заключается в смысле прямой линии, связывающей вершину с точкой на противоположной стороне (см. рис. 4.30). Любая точка на указанной линии соответствует составу с постепенным возрастанием количества А при переходе от Р’ через Р к Р», но смысл состоит в том, что В и С остаются в той же начальной пропорции. Это обусловлено свойствами подобных треугольников. Поэтому, если мы хотим представить изменение состава системы при добавлении в нее компонента А, необходимо лишь провести линию из вершины А в точку на ВС, соответствующую составу начальной бинарной системы. Любая тройная система, образующаяся при добавлении А, будет соответствовать некоторой точке на этой линии.

Приведем и другие закономерности, связанные с представлением состава на треугольной диаграмме:

1) при движении точки, характеризующей состав системы, в сторону от вершины треугольника концентрация компонента, соответствующего этой вершине, уменьшается. Например, движение по линии АР’Р» в направлении к основанию треугольника означает уменьшение содержания компонента А;
2) любая прямая, параллельная стороне треугольника, противоположной данной вершине, представляет собой линию постоянной концентрации компонента, которому эта вершина соответствует.

Перпендикуляры к плоскости треугольника образуют координату любого свойства системы — температуры плавления или кипения, давления пара, плотности, поверхностного натяжения и т. п. Таким образом, трехмерная диаграмма, например, «состав — температура», представляется в виде прямой трехгранной призмы, основанием которой служит равносторонний треугольник состава, а ее высотой — ось, на которой откладываются значения температуры, давления и т. п.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Правило А.К. Верещагина

Для балок и стержневых систем, состоящих из прямых стержней, внутренние усилия единичных состояний N., М_к и Q_kявляются линейными функциями или на всем протяжении каждого стержня, или на его отдельных участках. Внутренние усилия грузового состояния N_р, М_р и Q_p могут иметь произвольные законы изменения по длине стержней. Если балки и стержни имеют при этом постоянные или ступенчато-постоянные жесткости EF, EJw GF, то вычисление интегралов в формуле Мора может быть произведено с помощью эпюр внутренних усилий.

Рассмотрим, например, эпюры изгибающих моментов М_р и М_к в прямом стержне постоянной жесткости (рис. 10.10). Грузовая эпюра М_р произвольна, а единичная эпюра М_к является линейной. Начало отсчета координат поместим в точке пересечения линии эпюры М_к с осью Ох. При этом изгибающий момент М_к изменяется по закону М_к—х tg а. Выносим постоянную величину tg а /EJ в формуле (10.13) из-под знака интеграла и производим интегрирование по длине стержня:

Величина M_pdx = dQ является элементом площади грузовой эпюры Мр При этом сам интеграл можно рассматривать как статический момент площади эпюры М_р относительно оси Оу, который равен

где Q._p — площадь эпюры М_р и х_с — абсцисса ее центра тяжести.

Учитывая, что jc_ctg а =У_С, получаем окончательный результат:

гдеу_с — ордината в линейной эпюре М_к под центром тяжести площади нелинейной эпюры М_р (см. рис. 10.10).

Способ вычисления интегралов в формуле Мора с помощью формулы (10.14) называется правилом А.К. Верещагина или правилом «перемножения» эпюр. Согласно формуле (10.14) результат «перемножения» двух эпюр равен произведению площади нелинейной эпюры на ординату под ее центром тяжести в линейной эпюре. Если обе эпюры на рассматриваемом участке являются линейными, то при «перемножении» можно подставить площадь любой из них. Результат «перемножения» однозначных эпюр является положительным, а разнозначных — отрицательным.

При использовании правила А.К. Верещагина сложные эпюры надо разбить на простые фигуры, у которых известны площадь и положение центра тяжести. Чаще всего элементами разбиения являются треугольники и квадратные параболы (в случае действия равномерно распределенных нагрузок). Примеры разбиения эпюр приведены на рис. 10.11.

Однозначные или разнозначные трапеции можно разбить на два треугольника (рис. 10.11, а). Квадратная парабола с ординатами а и b в начале и конце участка разбивается на два однозначных или разнозначных треугольника и квадратную параболу с нулевыми начальным и конечным значениями (рис. 10.11, б).

Сведения о площадях и координатах центра тяжести простых эпюр (фигур) даны в табл. 10.1.

Результат «перемножения» двух трапеций (рис. 10.12) можно представить в виде следующей формулы:

Правило А.К. Верещагина нельзя применять в случае, когда обе эпюры являются нелинейными (например, для стержней с криволинейной осью). В этом случае при определении перемещений с помощью метода Мора производится аналитическое или численное вычисление интегралов в формуле (10.11). Для численного интегрирования часто используется формула Симпсона.

Пример 10.2. Для консольной балки постоянной жесткости EJ (рис. 10.13, а) определим прогиб в сечении В и угол поворота сечения С.

Строим эпюру изгибающих моментов М_р от действия заданных нагрузок (рис. 10.13, б). Для определения искомых перемещений приложим в сечении В единичную силу, в сечении С — единичный

Схема балки и нагрузки, характер эпюры

Площадь эпюры и координата ее центра тяжести

момент и построим единичные эпюры М, и М₂ (рис. 10.13, в, г). Эпюры М_р и М_< на первом участке представляют собой трапеции, а на втором — треугольники.

Вычислим интегралы Мора с помощью правила А. К. Верещагина. При «перемножении» трапеций используем формулу (10.15). В результате вычислений получим

Результаты «перемножения» эпюр оказались положительными. Это означает, что направления перемещений соответствуют направлениям действия единичных нагрузок, то есть прогиб балки в сечении В происходит вниз, а сечение С поворачивается по ходу часовой стрелки.

Пример 10.3. Для рамы на рис. 10.14 определим вертикальное перемещение сечения D, горизонтальное перемещение сечения В и угол поворота сечения на опоре А. Изгибная жесткость вертикального стержня в два раза больше, чем жесткость горизонтального стержня.

Определяем опорные реакции в раме от действия заданных нагрузок и строим эпюру М_р (рис. 10.15, а). Приложим по направлению искомых перемещений единичные нагрузки и построим единичные эпюры изгибающих моментов. Эти эпюры приведены на рис. 10.15, б, в, г.

Разобьем грузовую эпюру М_р в пределах стержня АВ на квадратную параболу и треугольник, а в пределах стержня ВС — на два разнозначных треугольника (на рис. 10.15, а эти разбиения показаны пунктиром). «Перемножая» эпюру М_р с единичными эпюрами, определяем величины искомых перемещений:

Вертикальное перемещение сечения D происходит в направлении, противоположном направлению действия единичной силы, то есть вверх. Направления других перемещений совпадают с направлениями действия соответствующих единичных нагрузок.

Видео:Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекцииСкачать

В равнобедренном треугольнике проведены биссектрисы углов, прилежащих к основанию. Определи длину биссектрисы угла ∡A, если длина биссектрисы угла ∡C равна 11 см.
Рассмотрим треугольникиΔDAC и Δ.
(все углы и стороны нужно записывать большими латинскими буквами)

1. Углы, прилежащие к основанию равнобедренного треугольника,
. Так как данный треугольник равнобедренный, то∡B??=∡BCA.
2. Так как проведены биссектрисы этих углов, справедливо, что ∡ =∡DAC=∡DCE= ∡.
3. У рассматриваемых треугольников общая сторона .
Значит треугольники равны по второму признаку равенства треугольников.
У равных треугольников равны все соответствующие элементы, в том числе стороны
? = ?
Длина искомой биссектрисы
?см.