Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадают

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадают

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадают

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадают

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадают

Содержание
  1. Свойства трапеции
  2. Свойства и признаки равнобедренной трапеции
  3. Вписанная окружность
  4. Площадь
  5. Равнобедренная трапеция. Формулы, признаки и свойства равнобедренной трапеции
  6. Признаки равнобедренной трапеции
  7. Основные свойства равнобедренной трапеции
  8. Стороны равнобедренной трапеции
  9. Формулы длин сторон равнобедренной трапеции:
  10. Средняя линия равнобедренной трапеции
  11. Формулы длины средней линии равнобедренной трапеции:
  12. Высота равнобедренной трапеции
  13. Формулы определения длины высоты равнобедренной трапеции:
  14. Диагонали равнобедренной трапеции
  15. Формулы длины диагоналей равнобедренной трапеции:
  16. Площадь равнобедренной трапеции
  17. Формулы площади равнобедренной трапеции:
  18. Окружность описанная вокруг трапеции
  19. Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:
  20. Вписанная в равнобедренную трапецию окружность
  21. 📸 Видео

Видео:Радиус описанной окружности трапецииСкачать

Радиус описанной окружности трапеции

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадают

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадают

3. Треугольники Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадаюти Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадают, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия – Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадают

Отношение площадей этих треугольников есть Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадают.

Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадают

4. Треугольники Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадаюти Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадают, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадают

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадают

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадают

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадают

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадают

Видео:Задача 6 №27926 ЕГЭ по математике. Урок 141Скачать

Задача 6 №27926 ЕГЭ по математике. Урок 141

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадают

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадают

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадают

Видео:Основания равнобедренной трапеции равны 72 и 30. Центр окружности, описанной около трапеции... (ЕГЭ)Скачать

Основания равнобедренной трапеции равны 72 и 30. Центр окружности, описанной около трапеции... (ЕГЭ)

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадаюти она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадаюти Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадают, то Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадают

Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадают

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Площадь

Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадаютили Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадаютгде Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадают– средняя линия

Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадают

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Задача про трапецию, описанную около окружностиСкачать

Задача про трапецию, описанную около окружности

Равнобедренная трапеция. Формулы, признаки и свойства равнобедренной трапеции

Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадают
Рис.1

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Признаки равнобедренной трапеции

∠ABC = ∠BCD и ∠BAD = ∠ADC

∠ABD = ∠ACD, ∠DBC = ∠ACB, ∠CAD = ∠ADB, ∠BAC = ∠BDC

∠ABC + ∠ADC = 180° и ∠BAD + ∠BCD = 180°

Видео:Центры вписанной и описанной окружностей ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Центры вписанной и описанной окружностей ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Основные свойства равнобедренной трапеции

∠ABC + ∠BAD = 180° и ∠ADC + ∠BCD = 180°

AC 2 + BD 2 = AB 2 + CD 2 + 2BC · AD

9. Высота (CP), опущенная из вершины (C) на большее основание (AD), делит его на большой отрезок (AP), который равен полусумме оснований и меньший (PD) — равен полуразности оснований:

AP =BC + AD
2
PD =AD — BC
2

Видео:Центры вписанной и описанной окружностей ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Центры вписанной и описанной окружностей ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Стороны равнобедренной трапеции

Формулы длин сторон равнобедренной трапеции:

a = b + 2 h ctg α = b + 2 c cos α

b = a — 2 h ctg α = a — 2 c cos α

c =h=a — b
sin α2 cos α

2. Формула длины сторон трапеции через диагонали и другие стороны:

a =d 1 2 — c 2b =d 1 2 — c 2c = √ d 1 2 — ab
ba

3. Формулы длины основ через площадь, высоту и другую основу:

a =2S— b b =2S— a
hh

4. Формулы длины боковой стороны через площадь, среднюю линию и угол при основе:

с =S
m sin α

5. Формулы длины боковой стороны через площадь, основания и угол при основе:

с =2S
( a + b ) sin α

Видео:Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

Средняя линия равнобедренной трапеции

Формулы длины средней линии равнобедренной трапеции:

m = a — h ctg α = b + h ctg α = a — √ c 2 — h 2 = b + √ c 2 — h 2

2. Формула средней линии трапеции через площадь и сторону:

m =S
c sin α

Видео:Геометрия Задача № 26 Найти радиус вписанной в трапецию окружностиСкачать

Геометрия Задача № 26  Найти радиус вписанной в трапецию окружности

Высота равнобедренной трапеции

Формулы определения длины высоты равнобедренной трапеции:

1. Формула высоты через стороны:

h =1√ 4 c 2 — ( a — b ) 2
2

2. Формула высоты через стороны и угол прилегающий к основе:

h =a — btg β= c sin β
2

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Диагонали равнобедренной трапеции

Формулы длины диагоналей равнобедренной трапеции:

d 1 = √ a 2 + c 2 — 2 ac cos α

d 1 = √ b 2 + c 2 — 2 bc cos β

4. Формула длины диагонали через высоту и основания:

d 1 =1√ 4 h 2 + ( a + b ) 2
2

Видео:Где центр окружности? ТрапецияСкачать

Где центр окружности? Трапеция

Площадь равнобедренной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции:

1. Формула площади через стороны:

S =a + b√ 4 c 2 — ( a — b ) 2
4

2. Формула площади через стороны и угол:

S = ( b + c cos α ) c sin α = ( a — c cos α ) c sin α

3. Формула площади через радиус вписанной окружности и угол между основой и боковой стороной:

S =4 r 2=4 r 2
sin αsin β

4. Формула площади через основания и угол между основой и боковой стороной:

S =ab=ab
sin αsin β

5. Формула площади ранобедренной трапеции в которую можно вписать окружность:

S = ( a + b ) · r = √ ab ·c = √ ab ·m

6. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S =d 1 2· sin γ=d 1 2· sin δ
22

7. Формула площади через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании:

S = mc sin α = mc sin β

8. Формула площади через основания и высоту:

S =a + b· h
2

Видео:ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать

ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 класс

Окружность описанная вокруг трапеции

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =a·c·d 1
4√ p ( p — a )( p — c )( p — d 1)

где

p =a + c + d 1
2

a — большее основание

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Как найти стороны равнобокой трапеции, описанной около трёх попарно касающихся равных окружностей?Скачать

Как найти стороны равнобокой трапеции, описанной около трёх попарно касающихся равных окружностей?

Вписанная в равнобедренную трапецию окружность

Какими свойствами обладает вписанная в равнобедренную трапецию окружность?

1. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин её противоположных сторон равны.

Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадаютТо есть, в трапецию ABCD можно вписать окружность, если AD+BC=AB+CD.

И обратно, если для трапеции ABCD верно равенство AD+BC=AB+CD, то в неё можно вписать окружность.

Таким образом, если трапеция ABCD — равнобедренная, AD||BC, то её боковые стороны равны полусумме оснований:

Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадают

2. Отсюда, по свойству средней линии трапеции, боковые стороны равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равны её средней линии.

Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадаютЕсли MN —

Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадают

3. Высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна среднему пропорциональному (среднему геометрическому) между её основаниями.

Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадаютПо свойству равнобедренной трапеции,

Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадают

Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадают

Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадают

Из прямоугольного треугольника ABF по теореме Пифагора

Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадают

Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадают

Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадают

Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадают

Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадают

Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадают

4. Так как радиус вписанной в трапецию окружности равен половине высоты трапеции, то для равнобедренной трапеции верно равенство

Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадают

5. В равнобедренной трапеции точки касания делят стороны на две группы равных отрезков.

Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадают

6. Центр вписанной в равнобедренную трапецию окружности — точка пересечения её биссектрис.

Центры вписанной и описанной окружности равнобедренной трапеции совпадаютТаким образом, в трапеции ABCD, AD||BC, CO и DO — биссектрисы углов ADC и BCD,

📸 Видео

Занятие 9. Вписанная и описанная окружности. Планиметрия для ЕГЭ и ОГЭСкачать

Занятие 9. Вписанная и описанная окружности. Планиметрия для ЕГЭ и ОГЭ

Вписанная и описанная трапеции. КлассикаСкачать

Вписанная и описанная трапеции. Классика

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

Геометрия 6. Радиусы вписанной и описанной окружностей.Скачать

Геометрия 6. Радиусы вписанной и описанной окружностей.

Геометрия Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой принадлежит одному из основанияСкачать

Геометрия Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой принадлежит одному из основания
Поделиться или сохранить к себе: