- Треугольник произвольный
- Свойства
- Признаки равенства треугольников
- Биссектриса, высота, медиана
- Средняя линия треугольника
- Вписанная окружность
- Описанная окружность
- Соотношение сторон в произвольном треугольнике
- Площадь треугольника
- Основные факты о треугольниках
- Готовьтесь к экзамену вместе с образовательным порталом «Школково»
- Все, что нужно знать о треугольнике
- ТРЕУГОЛЬНИК.
- Площадь треугольника.
- Медиана треугольника
- Биссектриса треугольника
- Высота треугольника
- Теорема синусов:
- Прямоугольный треугольник
- Соотношение элементов в прямоугольном треугольнике:
- Равнобедренный треугольник.
- Правильный треугольник
- Средняя линия треугольника
- Внешний угол треугольника
- Признаки равенства треугольников:
- Признаки подобия треугольников:
- Теорема Менелая
- 💥 Видео
Треугольник произвольный
Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (тремя углами).
Виды треугольников :+ показать
Остроугольный треугольник – треугольник, у которого все углы острые (то есть меньше 90˚).
Тупоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов тупой (больше 90˚).
Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов прямой (равен 90˚).
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми , третья сторона называется основанием .
Равносторонний (правильный) треугольник – треугольник, у которого все три стороны равны.
Свойства
1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.
3. Сумма углов треугольника равна 180 º .
4. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,
не смежных с ним:
(Внешний угол образуется в результате продолжения одной из сторон треугольника).
5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Признаки равенства треугольников
1. Треугольники равны, если у них соответственно равны две стороны и угол между ними.
2 . Треугольники равны, если у них соответственно равны два угла и прилегающая к ним сторона.
3. Треугольники равны, если у них соответственно равны три стороны.
Биссектриса, высота, медиана
Здесь подробно о биссектрисе, высоте, медиане треугольника.
Средняя линия треугольника
Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.
Вписанная окружность
Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис треугольника.
Описанная окружность
Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров.
Соотношение сторон в произвольном треугольнике
Теорема косинусов:
Теорема синусов:
Площадь треугольника
Через сторону и высоту
Через две стороны и угол между ними
Через радиус описанной окружности
Через радиус вписанной окружности
, где – полупериметр
, где – полупериметр
Смотрите также площадь треугольника здесь.
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
Есть пара ошибок в формулах. В частности в формуле вычисления площади через 2 стороны и угол между ними, в теореме Синусов, в разделе “свойства”.
А вообще отличные статьи, очень выручают, всё понятно и доступно, премного благодарен 😉
Анатолий, спасибо!
В разделе “свойства” ошибок не нашла…
В теореме синусов, – да… не пропечаталась буква гамма. Подправила.
В формуле площади треугольника, вы правы – картинка не соответствовала формуле. Исправила.
К сожалению, ошибки сразу не всегда замечаются.
Благодарю еще раз!
В разделе свойства:
Да, не хватало значка «» у А. Спасибо! 😉
Здраствуйте! Мне нужна ваша помощь!
Задача: ВЕРШИНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ДЕЛЯТ ОПИСАННУЮ ОКОЛО НЕГО ОКРУЖНОСТЬ НА ТРИ ДУГИ, ДЛИНЫ КОТОРЫХ ОТНОСЯТСЯ КАК 6:7:33. НАЙДИТЕ РАДИУС ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ МЕНЬШАЯ ИЗ СТОРОН РАВНА 11.
Подозреваю, у вас опечатка в условии…
Если длины дуг (а значит и их градусные меры) находятся в отношении , то выходим на уравнение Откуда Значит угол треугольника, что напротив меньшей стороны, есть
Применяем теорему синусов: , откуда
спасибо я так и думал а то не могу решить и всё
СПАСИБО!
Здравствуйте. Пожалуйста, объясните, как решить задачу:
Вписанная в теругольник ABC окружность касается сторон AB, BC и AC в точках K,L и М соответственно.Найдите KL, если AM=2, МС=3 и угол С=π/3
Очевидно,
Примите за .
Примените к треугольнику теорему косинусов:
Найдете , далее можно найти угол и из треугольника найти
Спасибо большое за ваш сайт. Очень радует, тот факт, что когда люди не понимают какую-нибудь задачу, вы помогаете решить. Спасибо. Побольше бы таких сайтов, всё понятно и доступно
Видео:ЕГЭ 2024. ВСЁ ПРО ТРЕУГОЛЬНИКИ за 15 минутСкачать
Основные факты о треугольниках
Определения
Угол – это геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, выходящих из этой точки. Градусная мера угла может принимать значения от (0^circ) до (180^circ) включительно.
Угол (alpha) называется острым, если (0^circ , прямым – если (alpha=90^circ) , тупым – если (90^circ , и развернутым – если (alpha=180^circ) .
Биссектриса угла – это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.
Смежные углы – это два угла, у которых общая вершина и одна общая сторона, а две другие стороны образуют прямую.
Вертикальные углы – это два угла, образованные пересечением двух прямых и не являющиеся смежными.
Теорема
Смежные углы (alpha) и (beta) в сумме дают (180^circ) .
Вертикальные углы равны: (alpha=gamma) .
Определения
Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой (называемых вершинами треугольника), и отрезков, соединяющих эти точки (называемых сторонами треугольника). Треугольник со своей внутренностью будем сокращенно называть также треугольником.
Угол (внутренний) треугольника – угол, образованный вершиной треугольника и двумя его сторонами.
Теоремы: признаки равенства треугольников
1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
2. Если сторона и два прилежащих угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Определение
Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен (90^circ) .
Перпендикуляр из точки к прямой – это отрезок, соединяющий данную точку с точкой на прямой, проведенный под углом (90^circ) .
Высота треугольника – это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Замечание
Если в треугольнике один угол тупой, то высоты, опущенные из вершин острых углов, упадут не на сторону, а на продолжение стороны (рис. 1).
Теорема
В любом треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке (рис. 1 и 2), биссектрисы пересекаются в одной точке (рис. 3), медианы пересекаются в одной точке (рис. 4).
Определение
Две различные прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Замечание
Заметим, что на плоскости существует три вида взаимного расположения прямых: совпадают, пересекаются и параллельны.
Аксиома параллельных прямых
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной.
Следствия из аксиомы
1. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.
2. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.
Теоремы: признаки параллельности прямых
1. Если при пересечении двух прямых (a) и (b) секущей (c) накрест лежащие углы равны: (angle 1=angle 2) , то такие прямые параллельны.
2. Если при пересечении двух прямых (a) и (b) секущей (c) сумма односторонних углов (angle 1) и (angle 3) равна (180^circ) , то такие прямые параллельны.
3. Если при пересечении двух прямых (a) и (b) секущей (c) соответственные углы равны: (angle 1=angle 4) , то такие прямые параллельны.
Теоремы: свойства параллельных прямых
1. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна (180^circ) .
3. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
Определения
Треугольник называется остроугольным, если все его углы острые.
Треугольник называется тупоугольным, если один его угол тупой (остальные — острые).
Треугольник называется прямоугольным, если один его угол прямой (остальные — острые).
Теорема
Сумма внутренних углов треугольника равна (180^circ) .
Доказательство
Рассмотрим произвольный треугольник (ABC) и покажем, что (angle A + angle B + angle C = 180^circ) .
Проведём через вершину (B) прямую (a) , параллельную стороне (AC) .
Углы (1) и (4) являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых (a) и (AC) секущей (AB) , а углы (3) и (5) – накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей (BC) . Поэтому [begin &angle 4 = angle 1, angle 5 = angle 3. qquad qquad qquad (1) end]
Очевидно, сумма углов (4, 2) и (5) равна развёрнутому углу с вершиной (B) , то есть (angle 4 + angle 2 + angle 5 = 180^circ) . Отсюда, учитывая равенства ((1)) , получаем: (angle 1 + angle 2 + angle 3 = 180^circ) .
Определение
Внешний угол треугольника – это угол, смежный с каким-нибудь внутренним углом треугольника.
Теорема
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним: (angle BCD=angle BAC+angle ABC) .
Доказательство
Угол (4) – внешний угол треугольника, смежный с углом (3) . Так как (angle 4 + angle 3 = 180^circ) , а по теореме о сумме углов треугольника (angle 1 + angle 2 + angle 3 = 180^circ) , то (angle 4 = angle 1 + angle 2) , что и требовалось доказать.
Определения
Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
Эти стороны называются боковыми сторонами треугольника, а третья сторона — основанием.
Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.
Равносторонний треугольник, очевидно, является и равнобедренным.
Теорема
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.
Доказательство
Пусть (ABC) – равнобедренный треугольник, (AB = BC) , (BD) – биссектриса (проведённая к основанию).
Рассмотрим треугольники (ABD) и (BCD) : (AB = BC) , (angle ABD = angle CBD) , (BD) – общая. Таким образом, (triangle ABD = triangle BCD) по двум сторонам и углу между ними.
Из равенства этих треугольников следует, что (AD = DC) , следовательно, (BD) – медиана.
Кроме того, в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а (AB = BC) , следовательно, [begin &angle ADB = angle CDB, qquad qquad qquad (2) end] но (angle ADB + angle CDB = angle ADC) – развёрнутый, следовательно, (angle ADB + angle CDB = 180^circ) , откуда при учёте ((2)) : (angle ADB = 90^circ = angle CDB) , то есть (BD) – высота.
Верны и другие утверждения:
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Теорема
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Доказательство
Проведем биссектрису (BD) (см. рисунок из предыдущей теоремы). Тогда (triangle ABD=triangle CBD) по первому признаку, следовательно, (angle A=angle C) .
Теоремы: признаки равнобедренного треугольника
1. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный.
2. Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой, то треугольник равнобедренный.
Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Теорема: неравенство треугольника
В треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны.
Другая формулировка: в треугольнике разность любых двух сторон меньше третьей стороны.
Определения
В прямоугольном треугольнике большая сторона (то есть сторона, лежащая напротив прямого угла) называется гипотенузой.
Две другие стороны называются катетами.
Теоремы: свойства прямоугольного треугольника
1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна (90^circ) .
2. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла (30^circ) , равен половине гипотенузы.
Верно и обратное: если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла (30^circ) .
Подготовка выпускников к сдаче ЕГЭ, как правило, начинается с повторения базовой теории по планиметрии, в том числе и по теме «Треугольники». Знакомство учащихся с этим разделом геометрии начинается еще в средней школе. Неудивительно, что потребность в повторении основных правил и теории по теме «Треугольник» возникает у многих выпускников. При этом решать планиметрические задачи обязательно должны уметь все учащиеся. Подобные задания включены как в базовый, так и в профильный уровень аттестационного испытания. Разобравшись с теорией и практическими упражнениями, в том числе и на вычисление вертикальных углов треугольника, старшеклассники смогут решать задачи с любым количеством действий и рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи ЕГЭ.
Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать
Готовьтесь к экзамену вместе с образовательным порталом «Школково»
Занимаясь перед сдачей ЕГЭ, многие учащиеся сталкиваются с проблемой поиска базовой теории по геометрии о треугольниках. Школьных учебников в нужный момент может просто не оказаться под рукой. А найти необходимые формулы иногда оказывается достаточно сложно даже в Интернете.
Вместе с образовательным порталом «Школково» выпускники смогут качественно подготовиться к сдаче аттестационного испытания. Вся базовая теория о равнобедренных и прямоугольных треугольниках систематизирована и изложена нашими специалистами с учетом богатого опыта в максимально доступной форме. Изучив представленную информацию, школьники смогут вспомнить материал, который вызывает определенные затруднения.
Чтобы хорошо подготовиться к экзамену, учащимся, проживающим в Москве и других городах России, необходимо не только повторить теорию о прямоугольных и равнобедренных треугольниках, но и попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Задачи по данной теме вы можете найти в разделе «Каталог». Для каждого задания наши специалисты прописали подробный ход решения и указали правильный ответ. Последовательно выполняя простые и более сложные упражнения по данной теме, учащиеся смогут научиться применять на практике теоремы равенства треугольников и другую теорию, которую необходимо усвоить при подготовке к ЕГЭ. Перечень заданий в соответствующем разделе постоянно дополняется и обновляется.
Попрактиковаться в решении задач, в которых применяется теория смежных углов и другие теоремы, школьники могут в режиме онлайн.
По желанию учащегося любое упражнение можно сохранить в «Избранное». Еще раз повторив базовую теорию о прямоугольных и равнобедренных треугольниках, выпускник может в дальнейшем вернуться к заданию, которое вызвало затруднения, и обсудить алгоритм его решения с преподавателем.
Видео:Всё про прямоугольный треугольник за 15 минут | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !Скачать
Все, что нужно знать о треугольнике
При решении геометрических задач полезно следовать такому алгоритму. Во время чтения условия задачи необходимо
- Сделать чертеж. Чертеж должен максимально соответствовать условию задачи, так его основная задача помочь найти ход решения
- Нанести все данные из условия задачи на чертеж
- Выписать все геометрические понятия, которые встречаются в задаче
- Вспомнить все теоремы, которые относятся к этим понятию
- Нанести на чертеж все соотношения между элементами геометрической фигуры, которые следуют из этих теорем
Например, если в задаче встречается слова биссектриса угла треугольника, нужно вспомнить определение и свойства биссектрисы и обозначить на чертеже равные или пропорциональные отрезки и углы.
В этой статье вы найдете основные свойства треугольника, которые необходимо знать для успешного решения задач.
ТРЕУГОЛЬНИК.
Площадь треугольника.
1. ,
здесь — произвольная сторона треугольника, — высота, опущенная на эту сторону.
2. ,
здесь и — произвольные стороны треугольника, — угол между этими сторонами:
3. Формула Герона:
— здесь — длины сторон треугольника, — полупериметр треугольника,
4. ,
здесь — полупериметр треугольника, — радиус вписанной окружности.
Пусть — длины отрезков касательных.
Тогда формулу Герона можно записать в таком виде:
5.
6. ,
здесь — длины сторон треугольника, — радиус описанной окружности.
Если на стороне треугольника взята точка, которая делит эту сторону в отношении m:n, то отрезок, соединяющий эту точку с вершиной противолежащего угла делит треугольник на два треугольника, площади которых относятся как m:n:
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Медиана треугольника
— это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.
Точка пересечения медиан правильного треугольника делит медиану на два отрезка, меньший из которых равен радиусу вписанной окружности, а больший — радиусу описанной окружности.
Радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности: R=2r
Длина медианы произвольного треугольника вычисляется по формуле:
,
здесь — медиана, проведенная к стороне , — длины сторон треугольника.
Биссектриса треугольника
— это отрезок биссектрисы любого угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с противоположной стороной.
Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.
Все точки биссектрисы угла равноудалены от сторон угла.
Высота треугольника
— это отрезок перпендикуляра, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону, или ее продолжение. В тупоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины острого угла лежит вне треугольника.
Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.
Чтобы найти высоту треугольника, проведенную к стороне , нужно любым доступным способом найти его площадь, а затем воспользоваться формулой:
Центр окружности, описанной около треугольника, лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.
Радиус описанной окружности треугольника можно найти по таким формулам:
— здесь — длины сторон треугольника, — площадь треугольника.
,
где — длина стороны треугольника, — противолежащий угол. (Эта формула вытекает из теоремы синусов).
Неравенство треугольника
Каждая сторона треугольника меньше суммы и больше разности двух других.
Сумма длин любых двух сторон всегда больше длины третьей стороны:
c» title=»a+b>c»/>
Напротив большей стороны лежит больший угол; напротив большего угла лежит большая сторона:
Если , то и наоборот.
Теорема синусов:
стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:
Теорема косинусов:
квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:
Прямоугольный треугольник
— это треугольник, один из углов которого равен 90°.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
Гипотенуза — это сторона, которая лежит против угла 90°. Гипотенуза является наибольшей стороной.
Теорема Пифагора:
квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен
,
здесь — радиус вписанной окружности, — катеты, — гипотенуза:
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы:
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Определение синуса, косинуса , тангенса и котангенса прямоугольного треугольника смотрите здесь.
Соотношение элементов в прямоугольном треугольнике:
Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, равен произведению проекций катетов на гипотенузу:
Квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию катета на гипотенузу:
:
Катет, лежащий против угла равен половине гипотенузы:
Равнобедренный треугольник.
Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию является медианой и высотой.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
— угол при вершине.
и — боковые стороны,
и — углы при основании.
— высота, биссектриса и медиана.
Внимание! Высота, биссектриса и медиана, проведенные к боковой стороне не совпадают.
Правильный треугольник
(или равносторонний треугольник ) — это треугольник, все стороны и углы которого равны между собой.
Площадь правильного треугольника равна
,
где — длина стороны треугольника.
Центр окружности, вписанной в правильный треугольник, совпадает с центром окружности, описанной около правильного треугольника и лежит в точке пересечения медиан.
Точка пересечения медиан правильного треугольника делит медиану на два отрезка, меньший из которых равен радиусу вписанной окружности, а больший — радиусу описанной окружности.
Если один из углов равнобедренного треугольника равен 60°, то этот треугольник правильный.
Средняя линия треугольника
— это отрезок, соединяющий середины двух сторон.
На рисунке DE — средняя линия треугольника ABC.
Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине: DE||AC, AC=2DE
Внешний угол треугольника
— это угол, смежный какому либо углу треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.
Тригонометрические функции внешнего угла:
Признаки равенства треугольников:
1 . Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
2 . Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
3 Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Важно: поскольку в прямоугольном треугольнике два угла заведомо равны, то для равенства двух прямоугольных треугольников требуется равенство всего двух элементов: двух сторон, или стороны и острого угла.
Признаки подобия треугольников:
1 . Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, заключенные между этими сторонами равны, то эти треугольники подобны.
2 . Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники подобны.
3 . Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то эти треугольники подобны.
Важно: в подобных треугольниках сходственные стороны лежат против равных углов.
Теорема Менелая
Пусть прямая пересекает треугольник , причем – точка ее пересечения со стороной , – точка ее пересечения со стороной , и – точка ее пересечения с продолжением стороны . Тогда
💥 Видео
Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать
Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 классСкачать
Планиметрия с нуля и до уровня ЕГЭ 2023 за 4 часа | Вся теория по №1,16 | Математика профильСкачать
Треугольники №1 в ЕГЭ | Профильная математика ЕГЭ 2024 | УмскулСкачать
Вся геометрия треугольника в одной задаче. Планиметрия. ЕГЭ 2023 математика задача 16Скачать
На ЕГЭ 2021 по математике все ТРЕУГОЛЬНИКИ будут РАВНОБЕДРЕННЫЕСкачать
ЕГЭ 2023 по математике. Планиметрия: вся теория для №1 из ЕГЭ по профильной математикеСкачать
Все факты о медиане треугольника для ЕГЭСкачать
Как найти сторону равностороннего треугольника #shorts | ЕГЭ 2022 по профильной математике | ЭйджейСкачать
Как найти площадь треугольника? #треугольник #математика #егэ #shorts #подготовкакегэ #огэ #площадьСкачать
Все типы 1 задание ЕГЭ по математике профиль 2024Скачать
Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие ТреугольниковСкачать
ВЫСОТА ТРЕУГОЛЬНИКА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать
Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать
СВОЙСТВО БИССЕКТРИСЫ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать
Все о вписанных и описанных окружностях с нуля | PARTAСкачать
Свойство медианы в прямоугольном треугольнике #shortsСкачать