Все формулы треугольника для егэ

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
Содержание
  1. Типы треугольников
  2. По величине углов
  3. По числу равных сторон
  4. Вершины углы и стороны треугольника
  5. Свойства углов и сторон треугольника
  6. Теорема синусов
  7. Теорема косинусов
  8. Теорема о проекциях
  9. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  10. Медианы треугольника
  11. Свойства медиан треугольника:
  12. Формулы медиан треугольника
  13. Биссектрисы треугольника
  14. Свойства биссектрис треугольника:
  15. Формулы биссектрис треугольника
  16. Высоты треугольника
  17. Свойства высот треугольника
  18. Формулы высот треугольника
  19. Окружность вписанная в треугольник
  20. Свойства окружности вписанной в треугольник
  21. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  22. Окружность описанная вокруг треугольника
  23. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  24. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  25. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  26. Средняя линия треугольника
  27. Свойства средней линии треугольника
  28. Периметр треугольника
  29. Формулы площади треугольника
  30. Формула Герона
  31. Равенство треугольников
  32. Признаки равенства треугольников
  33. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  34. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  35. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  36. Подобие треугольников
  37. Признаки подобия треугольников
  38. Первый признак подобия треугольников
  39. Второй признак подобия треугольников
  40. Третий признак подобия треугольников
  41. ЕГЭ формулы, шпаргалки — Элементарная геометрия. Треугольники.
  42. — формула Герона .
  43. Треугольник
  44. Треугольник произвольный
  45. Свойства
  46. Признаки равенства треугольников
  47. Биссектриса, высота, медиана
  48. Средняя линия треугольника
  49. Вписанная окружность
  50. Описанная окружность
  51. Соотношение сторон в произвольном треугольнике
  52. Площадь треугольника

Типы треугольников

По величине углов

Все формулы треугольника для егэ

Все формулы треугольника для егэ

Все формулы треугольника для егэ

По числу равных сторон

Все формулы треугольника для егэ

Все формулы треугольника для егэ

Все формулы треугольника для егэ

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Все формулы треугольника для егэ

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c= 2R
sin αsin βsin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Все формулы треугольника для егэ

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Биссектрисы треугольника

Все формулы треугольника для егэ

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2 bc cos α 2 b + c

lb = 2 ac cos β 2 a + c

lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Все формулы треугольника для егэ

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Все формулы треугольника для егэ

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Окружность описанная вокруг треугольника

Все формулы треугольника для егэ

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

Все формулы треугольника для егэ

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Все формулы треугольника для егэ

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Все формулы треугольника для егэ

Формула Герона

S =a · b · с
4R

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

Все формулы треугольника для егэ

∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

ЕГЭ формулы, шпаргалки — Элементарная геометрия. Треугольники.

— формула Герона .

Все формулы треугольника для егэ

где a, b, c — стороны треугольника, ha, hb, hc — высоты, опущенные на стороны a, b, c, Все формулы треугольника для егэ— полупериметр, R – радиус окружности, описанной около треугольника, r — радиус окружности, вписанной в треугольник, Все формулы треугольника для егэ— углы, противолежащие сторонам a, b, c соответственно, ra, rb, rc — радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон a, b, c.

Все формулы треугольника для егэ

Все формулы треугольника для егэ

Теорема тангенсов:

Все формулы треугольника для егэ

Все формулы треугольника для егэ

Формулы Мольвейде:

Все формулы треугольника для егэ

Линии в треугольнике.

Все формулы треугольника для егэ

Все формулы треугольника для егэ

Все формулы треугольника для егэ

Равносторонни треугольник (со стороной a).

Все формулы треугольника для егэ

Радиус описанной окружности:

Все формулы треугольника для егэ

Радиус вписанной окружности:

Все формулы треугольника для егэ

Прямоугольный треугольник (с катетами a и b и гипотенузой c).

Все формулы треугольника для егэ

Радиус описанной окружности:

Все формулы треугольника для егэ

Свойства прямоугольного треугольника:

Полный список всех формул, шпаргалок для ЕГЭ по математике тут: ЕГЭ математика — формулы, шпаргалки.

Треугольник

Треугольник произвольный

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (тремя углами).

Виды треугольников :+ показать

Остроугольный треугольник – треугольник, у которого все углы острые (то есть меньше 90˚).

Тупоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов тупой (больше 90˚).

Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов прямой (равен 90˚).

Все формулы треугольника для егэ

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми , третья сторона называется основанием .

Равносторонний (правильный) треугольник – треугольник, у которого все три стороны равны.

Все формулы треугольника для егэ

Свойства

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

3. Сумма углов треугольника равна 180 º .

4. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,
не смежных с ним: Все формулы треугольника для егэ

(Внешний угол образуется в результате продолжения одной из сторон треугольника).

Все формулы треугольника для егэ

5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Признаки равенства треугольников

1. Треугольники равны, если у них соответственно равны две стороны и угол между ними.

Все формулы треугольника для егэ

2 . Треугольники равны, если у них соответственно равны два угла и прилегающая к ним сторона.

Все формулы треугольника для егэ

3. Треугольники равны, если у них соответственно равны три стороны.

Все формулы треугольника для егэ

Биссектриса, высота, медиана

Здесь подробно о биссектрисе, высоте, медиане треугольника.

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Все формулы треугольника для егэ

Вписанная окружность

Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис треугольника.

Все формулы треугольника для егэ

Все формулы треугольника для егэ

Описанная окружность

Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров.

Все формулы треугольника для егэ

Все формулы треугольника для егэ

Соотношение сторон в произвольном треугольнике

Теорема косинусов: Все формулы треугольника для егэ

Все формулы треугольника для егэ

Теорема синусов: Все формулы треугольника для егэ

Все формулы треугольника для егэ

Площадь треугольника

Все формулы треугольника для егэЧерез сторону и высоту

Все формулы треугольника для егэ

Через две стороны и угол между ними

Все формулы треугольника для егэ

Через радиус описанной окружности

Все формулы треугольника для егэ

Через радиус вписанной окружности

Все формулы треугольника для егэ, где Все формулы треугольника для егэ– полупериметр

Все формулы треугольника для егэ, где Все формулы треугольника для егэ– полупериметр

Все формулы треугольника для егэ

Смотрите также площадь треугольника здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Есть пара ошибок в формулах. В частности в формуле вычисления площади через 2 стороны и угол между ними, в теореме Синусов, в разделе “свойства”.
А вообще отличные статьи, очень выручают, всё понятно и доступно, премного благодарен 😉

Анатолий, спасибо!
В разделе “свойства” ошибок не нашла…
В теореме синусов, – да… не пропечаталась буква гамма. Подправила.
В формуле площади треугольника, вы правы – картинка не соответствовала формуле. Исправила.
К сожалению, ошибки сразу не всегда замечаются.
Благодарю еще раз!

В разделе свойства: Все формулы треугольника для егэ

Да, не хватало значка «Все формулы треугольника для егэ» у А. Спасибо! 😉

Здраствуйте! Мне нужна ваша помощь!
Задача: ВЕРШИНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ДЕЛЯТ ОПИСАННУЮ ОКОЛО НЕГО ОКРУЖНОСТЬ НА ТРИ ДУГИ, ДЛИНЫ КОТОРЫХ ОТНОСЯТСЯ КАК 6:7:33. НАЙДИТЕ РАДИУС ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ МЕНЬШАЯ ИЗ СТОРОН РАВНА 11.

Подозреваю, у вас опечатка в условии…
Если длины дуг (а значит и их градусные меры) находятся в отношении Все формулы треугольника для егэ, то выходим на уравнение Все формулы треугольника для егэОткуда Все формулы треугольника для егэЗначит угол треугольника, что напротив меньшей стороны, есть Все формулы треугольника для егэ
Применяем теорему синусов: Все формулы треугольника для егэ, откуда Все формулы треугольника для егэ

спасибо я так и думал а то не могу решить и всё
СПАСИБО!

Здравствуйте. Пожалуйста, объясните, как решить задачу:
Вписанная в теругольник ABC окружность касается сторон AB, BC и AC в точках K,L и М соответственно.Найдите KL, если AM=2, МС=3 и угол С=π/3

Очевидно, Все формулы треугольника для егэ
Примите Все формулы треугольника для егэза Все формулы треугольника для егэ.
Примените к треугольнику Все формулы треугольника для егэтеорему косинусов:
Все формулы треугольника для егэ
Найдете Все формулы треугольника для егэ, далее можно найти угол Все формулы треугольника для егэи из треугольника Все формулы треугольника для егэнайти Все формулы треугольника для егэ

Спасибо большое за ваш сайт. Очень радует, тот факт, что когда люди не понимают какую-нибудь задачу, вы помогаете решить. Спасибо. Побольше бы таких сайтов, всё понятно и доступно

Поделиться или сохранить к себе: