Все формулы по окружности

Окружность

Окружность — геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до центра окружности равно.
Все формулы по окружности

Центр окръжности
Все формулы по окружности

Радиус: расстояние от центра окружности до его границы.
Все формулы по окружности

Диаметр: наибольшее расстояние от одной границы окружности до другой. Диаметр равен двум радиусам.
Все формулы по окружности
$d = 2cdot r$

Периметр (длина окружности): длина границы окружности.
Все формулы по окружности
Длина окружности $= pi cdot$ диаметр $= 2 cdot pi cdot$ радиус
Длина окружности $= pi cdot d = 2 cdot pi cdot r$

$pi$ — pi: число, равное 3,141592. или $approx frac$, то есть отношение $frac<text><text>$ любого окружности.
Все формулы по окружности

Дуга: изогнутая линия, которая является частью окружности.
Все формулы по окружности
Дуги окружности измеряется в градусах или радианах.
Например: 90° или $frac$ — четверть круга,
180° или $pi$ — половина круга.
Сумма всех дуг окружности составляет 360° или $2pi$

Хорда: отрезок прямой, соединяющей две точки на окружности.
Все формулы по окружности

Сектор: похож на часть пирога (клин).
Все формулы по окружности

Касательная к окружности: прямая, перпендикулярна к радиусу, и имеющая ТОЛЬКО одну общую точку с окуржностью.
Все формулы по окружности

Формулы

Длина окружности $=pi cdot text = 2cdot pi cdot text$

Площадь круга $= pi cdot$ радиус 2

Радиус обозначается как r , диаметр как d , длина окружности как P и площадь как S .

Площадь сектора круга

Все формулы по окружности

Площадь сектора круга K : (с центральным углом $theta$ и радиусом $r$).
Если угол $theta$ в градусах, тогда площадь = $frac pi r^2$
Если угол $theta$ в радианах, тогда площадь, тогда площадь = $frac r^2$

Центральный угол

Все формулы по окружности

Если длина дуги составляет $theta$ градуов или радиан, то значение центрального угла также $theta$ (градусов или радиан).

Если вы знаете длину дуги (в дюймах, ярдах, футах, сантиметрах, метрах . ) вы можете найти значение её соответствующего центрального угла ($theta$) по формуле:

Вписанный угол

Вписанный угол это угол с вершиной на окружности и со сторонами, которые содержат хорды окружности.
На рисунке, угол APB это вписанный угол.

Все формулы по окружности

Пример:
$widehat = 84^circ$
$angle APB = frac = 42^circ$

Углы между двумя хордами

Случай 1: два секущие пересекаются внутри окружности.

Все формулы по окружности

Когда две секущие пересекаются внутри окружности, величина образованных угла, в два раза меньше суммы величин дуг, на которые они опираются. На рисунке дуга AB и дуга CD равны 60° и 50° тогда углы 1 и 2 равны $frac(60^circ + 50^circ)=55^circ$

Случай 2: две секущие пересекаются вне окружности.
Все формулы по окружности

Иногда секущие пересекаются за пределами окружности. Когда это случается, величина образующихся углов равна половине разности дуг, на которые они опираются.

$angle ABC =frac(x — y)$

На рисунке дуга AB=80° и дуги CD=30°.
$angle ABC = frac(80 — 30) = frac cdot 50 = 25^circ$

Хорды

Все формулы по окружности
Если две хорды пересекаются внутри окружности, как на рисунке выше, тогда:

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг

Все формулы по окружностиОсновные определения и свойства. Число π
Все формулы по окружностиФормулы для площади круга и его частей
Все формулы по окружностиФормулы для длины окружности и ее дуг
Все формулы по окружностиПлощадь круга
Все формулы по окружностиДлина окружности
Все формулы по окружностиДлина дуги
Все формулы по окружностиПлощадь сектора
Все формулы по окружностиПлощадь сегмента

Все формулы по окружности

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Основные определения и свойства

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Часть круга, ограниченная хордой

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

ФигураРисунокОпределения и свойства
ОкружностьВсе формулы по окружности
ДугаВсе формулы по окружности
КругВсе формулы по окружности
СекторВсе формулы по окружности
СегментВсе формулы по окружности
Правильный многоугольникВсе формулы по окружности
Все формулы по окружности
Окружность
Все формулы по окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

ДугаВсе формулы по окружности

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

КругВсе формулы по окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

СекторВсе формулы по окружности

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

СегментВсе формулы по окружности

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольникВсе формулы по окружности

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Все формулы по окружности

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

Все формулы по окружности

Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Видео:Основные свойства окружности. Формулы связанные с окружностьюСкачать

Основные свойства окружности. Формулы связанные с окружностью

Формулы для площади круга и его частей

Все формулы по окружности,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Все формулы по окружности,

если величина угла α выражена в радианах

Все формулы по окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Все формулы по окружности,

если величина угла α выражена в радианах

Все формулы по окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристикаРисунокФормула
Площадь кругаВсе формулы по окружности
Площадь сектораВсе формулы по окружности
Площадь сегментаВсе формулы по окружности
Площадь круга
Все формулы по окружности

Все формулы по окружности,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектораВсе формулы по окружности

Все формулы по окружности,

если величина угла α выражена в радианах

Все формулы по окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегментаВсе формулы по окружности

Все формулы по окружности,

если величина угла α выражена в радианах

Все формулы по окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Тригонометрическая окружность. Как выучить?

Формулы для длины окружности и её дуг

где R – радиус круга, D – диаметр круга

если величина угла α выражена в радианах

Все формулы по окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристикаРисунокФормула
Длина окружностиВсе формулы по окружности
Длина дугиВсе формулы по окружности
Длина окружности
Все формулы по окружности

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Длина дугиВсе формулы по окружности

если величина угла α выражена в радианах

Все формулы по окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Видео:Формулы приведения с нуля за 15 минут!Скачать

Формулы приведения с нуля за 15 минут!

Площадь круга

Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).

Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .

Все формулы по окружности

Все формулы по окружности

Все формулы по окружности

Все формулы по окружности

Все формулы по окружности

Все формулы по окружности

Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .

Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна

Видео:Окружность и круг, 6 классСкачать

Окружность и круг, 6 класс

Длина окружности

Все формулы по окружности

Все формулы по окружности

Все формулы по окружности

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

Все формулы по окружности

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :

Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Все формулы по окружности

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

Все формулы по окружности

из которой вытекает равенство:

Все формулы по окружности

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

Все формулы по окружности

из которой вытекает равенство:

Все формулы по окружности

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

Площадь сектора

Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Все формулы по окружности

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

Все формулы по окружности

из которой вытекает равенство:

Все формулы по окружности

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

Все формулы по окружности

из которой вытекает равенство:

Все формулы по окружности

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Все формулы по окружности

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

Все формулы по окружности

Все формулы по окружности

Все формулы по окружности

В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

Как искать точки на тригонометрической окружности.

Геометрия. Урок 5. Окружность

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Все формулы по окружности

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

  • Определение окружности
  • Отрезки в окружности

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Определение окружности

Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Эта точка называется центром окружности .

Все формулы по окружности

Видео:Физика - движение по окружностиСкачать

Физика - движение по окружности

Отрезки в окружности

Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.

Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).

O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.

Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.

Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.

Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).

Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Видео:Уравнение окружности (1)Скачать

Уравнение окружности (1)

Дуга в окружности

Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности .

Например, хорда A B стягивает две дуги: ∪ A M B и ∪ A L B .

Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.

Если A B = C D , то ∪ A B = ∪ C D

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Углы в окружности

В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.

∠ A O B – центральный.

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается . ∪ A B = ∠ A O B = α

Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.

Градусная мара всей окружности равна 360 ° .

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

∠ A C B – вписанный.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается . ∠ A C B = ∪ A B 2 = α 2 ∪ A B = 2 ⋅ ∠ A C B = α

Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны .

∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2

Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90 ° .

∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Формулы ПриведенияСкачать

18+ Математика без Ху!ни. Формулы Приведения

Длина окружности, длина дуги

Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360 ° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α .

Градусная мера дуги ∪ A B равна градусной мере дуги ∪ C D и равна α .

Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.

Длина окружности находится по формуле:

Длина дуги окружности , на которую опирается центральный угол α равна:

l α = π R 180 ∘ ⋅ α

Видео:Формулы механики 2, движение по окружности, центростремительное ускорениеСкачать

Формулы механики 2, движение по окружности, центростремительное ускорение

Площадь круга и его частей

Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.

Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.

Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.

Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.

Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.

Площадь круга находится по формуле: S = π R 2

Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.

Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.

Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.

Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.

S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Теорема синусов

Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.

Видео:Урок 2. Тайные техники тригонометрической окружности.когда не надо учить все формулы.Скачать

Урок 2. Тайные техники тригонометрической окружности.когда не надо учить все формулы.

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.

📸 Видео

Все о вписанных и описанных окружностях с нуля | PARTAСкачать

Все о вписанных и описанных окружностях с нуля | PARTA

Вся Тригонометрия для Чайников, 10 класс, урок 1Скачать

Вся Тригонометрия для Чайников, 10 класс, урок 1
Поделиться или сохранить к себе: