Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Центральные и вписанные углы

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

О чем эта статья:

Содержание
  1. Центральный угол и вписанный угол
  2. Свойства центральных и вписанных углов
  3. Примеры решения задач
  4. Вписанный в окружность угол равен 60 градусов?
  5. Найдите величину вписанного угла окружности, если центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол, равен 132 градуса?
  6. Угол, вписанный в окружность, равен 22 градуса и 30 мин?
  7. Дано : вписанный в окружность угол АВС опирается на дугу АС, равную 57 градусов?
  8. Угол, вписанный в окружность, равен 22 градусов 30 минут?
  9. Центральный угол на 12 градусов больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности?
  10. Центральный угол на 21 градус больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности?
  11. Угол вписанный в окружность равен 22 градуса 30 минут?
  12. Вписанный угол на 36 градусов меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности?
  13. Центральный угол AOB на 30 градусов больше угла?
  14. Найдите величину вписанного угла окружности, если центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол, равен 132 градуса?
  15. Углы, связанные с окружностью
  16. Вписанные и центральные углы
  17. Теоремы о вписанных и центральных углах
  18. Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими
  19. Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью
  20. 🎦 Видео

Видео:2041 четырёхугольник ABCD вписан в окружность угол abd равен 38 угол cаd равен 54 Найдите угол ABCСкачать

2041 четырёхугольник ABCD вписан в окружность угол abd равен 38 угол cаd равен 54 Найдите угол ABC

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

  • Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

  • Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

  • Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

  • Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

  • Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

  • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

  • Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

Видео:Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов?

Геометрия | 5 — 9 классы

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов.

Вычислите величину вписанного угла опирающегося на ту же дугу.

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Видео:Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Найдите величину вписанного угла окружности, если центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол, равен 132 градуса?

Найдите величину вписанного угла окружности, если центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол, равен 132 градуса.

Ответ дайте в градусах.

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Видео:Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Угол, вписанный в окружность, равен 22 градуса и 30 мин?

Угол, вписанный в окружность, равен 22 градуса и 30 мин.

Определите величину дуги, на которую опирается этот угол.

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Видео:Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104Скачать

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104

Дано : вписанный в окружность угол АВС опирается на дугу АС, равную 57 градусов?

Дано : вписанный в окружность угол АВС опирается на дугу АС, равную 57 градусов.

Найти : величину угла АВС.

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Угол, вписанный в окружность, равен 22 градусов 30 минут?

Угол, вписанный в окружность, равен 22 градусов 30 минут.

Определите величину дуги, на которую опирается этот угол.

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Видео:Геометрия В острый угол, равный 60, вписаны две окружности, извне касающиеся друг друга. РадиусСкачать

Геометрия В острый угол, равный 60, вписаны две окружности, извне касающиеся друг друга. Радиус

Центральный угол на 12 градусов больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности?

Центральный угол на 12 градусов больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности.

Найдите вписанный угол.

Ответ дайте в градусах.

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Видео:Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

Центральный угол на 21 градус больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности?

Центральный угол на 21 градус больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности.

Найдите вписанный угол.

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Видео:Геометрия Один из углов ромба равен 60, а большая диагональ равна 24 см. Найдите радиус окружностиСкачать

Геометрия Один из углов ромба равен 60, а большая диагональ равна 24 см. Найдите радиус окружности

Угол вписанный в окружность равен 22 градуса 30 минут?

Угол вписанный в окружность равен 22 градуса 30 минут.

Определите величину дуги, на которую опирается этот угол.

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Видео:Задача 6 №27862 ЕГЭ по математике. Урок 105Скачать

Задача 6 №27862 ЕГЭ по математике. Урок 105

Вписанный угол на 36 градусов меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности?

Вписанный угол на 36 градусов меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности.

Найдите вписанный угол!

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Видео:Построить угол 60°Скачать

Построить угол 60°

Центральный угол AOB на 30 градусов больше угла?

Центральный угол AOB на 30 градусов больше угла.

Вписанного в окружность и опирающегося на дугу AB.

Найдите величины этих ушлов.

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Видео:Диагностическая работа-1 в формате ОГЭ. Задача-25Скачать

Диагностическая работа-1 в формате ОГЭ. Задача-25

Найдите величину вписанного угла окружности, если центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол, равен 132 градуса?

Найдите величину вписанного угла окружности, если центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол, равен 132 градуса.

Ответ дайте в градусах.

Вы находитесь на странице вопроса Вписанный в окружность угол равен 60 градусов? из категории Геометрия. Уровень сложности вопроса рассчитан на учащихся 5 — 9 классов. На странице можно узнать правильный ответ, сверить его со своим вариантом и обсудить возможные версии с другими пользователями сайта посредством обратной связи. Если ответ вызывает сомнения или покажется вам неполным, для проверки найдите ответы на аналогичные вопросы по теме в этой же категории, или создайте новый вопрос, используя ключевые слова: введите вопрос в поисковую строку, нажав кнопку в верхней части страницы.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Углы, связанные с окружностью

Вписанный в окружность угол равен 60 градусовВписанные и центральные углы
Вписанный в окружность угол равен 60 градусовУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Вписанный в окружность угол равен 60 градусовДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:Из точки A проведены две касательные к окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Из точки A проведены две касательные к окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Геометрия, номер 34.1 (вписанный угол)Скачать

Геометрия, номер 34.1 (вписанный угол)

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголВписанный в окружность угол равен 60 градусов
Вписанный уголВписанный в окружность угол равен 60 градусовВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголВписанный в окружность угол равен 60 градусовВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголВписанный в окружность угол равен 60 градусовДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголВписанный в окружность угол равен 60 градусовВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаВписанный в окружность угол равен 60 градусов

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Видео:Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать

Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математика

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиВписанный в окружность угол равен 60 градусовВписанный в окружность угол равен 60 градусов
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаВписанный в окружность угол равен 60 градусовВписанный в окружность угол равен 60 градусов
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияВписанный в окружность угол равен 60 градусовВписанный в окружность угол равен 60 градусов
Угол, образованный касательной и секущейВписанный в окружность угол равен 60 градусовВписанный в окружность угол равен 60 градусов
Угол, образованный двумя касательными к окружностиВписанный в окружность угол равен 60 градусовВписанный в окружность угол равен 60 градусов

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Вписанный в окружность угол равен 60 градусов
Формула: Вписанный в окружность угол равен 60 градусов
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Вписанный в окружность угол равен 60 градусов
Формула: Вписанный в окружность угол равен 60 градусов
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

В этом случае справедливы равенства

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

В этом случае справедливы равенства

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Вписанный в окружность угол равен 60 градусов

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

🎦 Видео

Нафиг теорему синусов 3 задание проф. ЕГЭ по математике (часть II)Скачать

Нафиг теорему синусов 3 задание проф. ЕГЭ по математике (часть II)
Поделиться или сохранить к себе: