Вписанный угол окружности — это угол, образованный двумя хордами, исходящими из одной точки, то есть вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности.
Угол ABC — вписанный угол. ∠ABC опирается на дугу AC, заключённую между его сторонами.
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Теорема о вписанном угле
Теорема:
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Это следует понимать так: вписанный угол содержит в два раза меньше градусов, чем дуга, на которую он опирается:
| ∠ABC = | 1 |  AC. |
| 2 |
При доказательстве этой теоремы следует рассмотреть три возможных случая расположения вписанного угла относительно центра окружности.
Первый случай. Сторона вписанного угла проходит через центр окружности.
Соединим точку A с центром круга (точкой O). Получим равнобедренный треугольник AOB, в котором AO = OB, как радиусы одной окружности. Следовательно, ∠A = ∠B, как углы при основании равнобедренного треугольника.
Так как ∠AOC — внешний угол равнобедренного треугольника, то:
а так как углы A и B равны, то
| ∠B = | 1 | ∠AOC. |
| 2 |
Но ∠AOC — центральный угол, значит ∠AOC = AC, следовательно ∠B измеряется половиной дуги AC:
| ∠ABC = ∠B = | 1 | AC. |
| 2 |
Второй случай. Центр окружности лежит между сторонами вписанного угла.
Проведём диаметр BD. Угол ABC разбился на два угла: ∠1 и ∠2.
Точка D разделяет дугу AC на две дуги: AD и DC. По доказательству, рассмотренному в первом случае:
| ∠1 = | 1 | AD и ∠2 = | 1 | DC. |
| 2 | 2 |
Следовательно, весь угол ABC будет измеряться половиной дуги AC:
| ∠1 + ∠2 = | 1 | AD + | 1 | DC |
| 2 | 2 |
| ∠ABC = | 1 | AC. |
| 2 |
Третий случай. Центр окружности лежит вне вписанного угла.
Проведём диаметр BD.
Но ∠ABD измеряется половиной дуги AD , а ∠CBD измеряется половиной дуги CD. Следовательно,
| ∠ABC = | 1 | (AD — CD), |
| 2 |
| ∠ABC = | 1 | AC. |
| 2 |
Видео:Угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Следствия из теоремы
1. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой, так как они измеряются половиной одной и той же дуги.
2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой, так как он опирается на половину окружности.
Половина окружности содержит 180°, значит, угол, опирающийся на диаметр, содержит 90°.
Видео:Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Вписанный угол, опирающийся на диаметр
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, обладает полезным свойством, вытекающим из теоремы о вписанном угле.
Свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр
(следствие из теоремы о вписанном угле)
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.
Дано:
Так как AC- диаметр, то ∠AOC=180º.
∠AOC — центральный, ∠ABC — соответствующий ему вписанный угол.
Следовательно, по теореме о вписанном угле,
Что и требовалось доказать.
Из этого следует, например, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны — прямой.
Если центр описанной окружности лежит на диагонали четырехугольника, то угол напротив этой диагонали — прямой.
Другой вариант формулировки следствия:
Диаметр виден из любой точки окружности под углом 90º.
Если вписанный угол связать с дугой, то следствие из теоремы о вписанном угле звучит так:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой.
Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать
Центральные и вписанные углы
О чем эта статья:
Видео:Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружностиСкачать
Центральный угол и вписанный угол
Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.
Определение центрального угла:
Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF
Определение вписанного угла:
Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.
Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.
На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC
Видео:23 Угол, опирающийся на диаметрСкачать
Свойства центральных и вписанных углов
Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.
- Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:
Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.
- Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:
- Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:
ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.
- Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:
ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.
Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:
На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.
Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.
- Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.
AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.
- Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.
ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.
- Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.
ㄥBAC + ㄥBDC = 180°
Видео:Свойство вписанного угла, опирающегося на диаметрСкачать
Примеры решения задач
Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.
Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?
Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°
Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.
Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°
Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?
СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°
🎦 Видео
Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104Скачать
Один на миллион 😍 Филдер Кросс в Моделисте ⛰️ Полный привод 🚙Скачать
Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать
Вписанный угол, опирающийся на диаметр (полуокружность). Геометрия 8-9 классСкачать
Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать
№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВССкачать
Вписанный угол, который опирается на диаметрСкачать
Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать
Вписанный угол и диаметр ▶ (Мини-ликбез №7)Скачать
8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать
Вписанный угол опирающийся на полуокружность пряомой док-во за 10 секундСкачать
Теорема Фалеса об угле, опирающемся на диаметрСкачать
ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать
