- Определение
- Формулы
- Радиус вписанной окружности в треугольник
- Радиус описанной окружности около треугольника
- Площадь треугольника
- Периметр треугольника
- Сторона треугольника
- Средняя линия треугольника
- Высота треугольника
- Свойства
- Доказательство
- Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
- Типы треугольников
- По величине углов
- По числу равных сторон
- Вершины углы и стороны треугольника
- Свойства углов и сторон треугольника
- Теорема синусов
- Теорема косинусов
- Теорема о проекциях
- Формулы для вычисления длин сторон треугольника
- Медианы треугольника
- Свойства медиан треугольника:
- Формулы медиан треугольника
- Биссектрисы треугольника
- Свойства биссектрис треугольника:
- Формулы биссектрис треугольника
- Высоты треугольника
- Свойства высот треугольника
- Формулы высот треугольника
- Окружность вписанная в треугольник
- Свойства окружности вписанной в треугольник
- Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
- Окружность описанная вокруг треугольника
- Свойства окружности описанной вокруг треугольника
- Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
- Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
- Средняя линия треугольника
- Свойства средней линии треугольника
- Периметр треугольника
- Формулы площади треугольника
- Формула Герона
- Равенство треугольников
- Признаки равенства треугольников
- Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
- Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
- Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
- Подобие треугольников
- Признаки подобия треугольников
- Первый признак подобия треугольников
- Второй признак подобия треугольников
- Третий признак подобия треугольников
- Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов
- 📺 Видео
Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Определение
Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.
На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.
ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.
O — центр вписанной в треугольник окружности.
Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать
Формулы
Радиус вписанной окружности в треугольник
r — радиус вписанной окружности.
- Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известна площадь и все стороны:
Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:
Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:
Радиус описанной окружности около треугольника
R — радиус описанной окружности.
- Радиус описанной окружности около треугольника,
если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:
Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:
Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:
Площадь треугольника
S — площадь треугольника.
- Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:
[ S = fracab cdot sin angle C ]
Периметр треугольника
P — периметр треугольника.
- Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны все стороны:
Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:
Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:
Сторона треугольника
a — сторона треугольника.
- Сторона треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и косинус угла между ними:
Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:
Средняя линия треугольника
l — средняя линия треугольника.
- Средняя линия треугольника вписанного
в окружность, если известно основание:
Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:
Высота треугольника
h — высота треугольника.
- Высота треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и основание:
Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:
[ h = b cdot sin alpha ]
Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Свойства
- Центр вписанной в треугольник окружности
находится на пересечении биссектрис. - В треугольник, вписанный в окружность,
можно вписать окружность, причем только одну. - Для треугольника, вписанного в окружность,
справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
и Теорема Пифагора. - Центр описанной около треугольника окружности
находится на пересечении серединных перпендикуляров. - Все вершины треугольника, вписанного
в окружность, лежат на окружности. - Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
- Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
формуле Герона.
Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Доказательство
Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.
окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.
окружность описана
около треугольника.
- Проведем серединные
перпендикуляры — HO, FO, EO. - O — точка пересечения серединных
перпендикуляров равноудалена от
всех вершин треугольника. - Центр окружности — точка пересечения
серединных перпендикуляров — около
треугольника описана окружность — O,
от центра окружности к вершинам можно
провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.
окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.
Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.
Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать
Типы треугольников
По величине углов
По числу равных сторон
Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать
Вершины углы и стороны треугольника
Свойства углов и сторон треугольника
Сумма углов треугольника равна 180°:
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:
если α > β , тогда a > b
если α = β , тогда a = b
Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:
a + b > c
b + c > a
c + a > b
Теорема синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
a | = | b | = | c | = 2R |
sin α | sin β | sin γ |
Теорема косинусов
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α
b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β
c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ
Теорема о проекциях
Для остроугольного треугольника:
a = b cos γ + c cos β
b = a cos γ + c cos α
c = a cos β + b cos α
Формулы для вычисления длин сторон треугольника
Видео:Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать
Медианы треугольника
Свойства медиан треугольника:
В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)
Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части
Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
Формулы медиан треугольника
Формулы медиан треугольника через стороны
ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2
mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2
mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2
Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать
Биссектрисы треугольника
Свойства биссектрис треугольника:
Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.
Формулы биссектрис треугольника
Формулы биссектрис треугольника через стороны:
la = 2√ bcp ( p — a ) b + c
lb = 2√ acp ( p — b ) a + c
lc = 2√ abp ( p — c ) a + b
где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника
Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:
la = 2 bc cos α 2 b + c
lb = 2 ac cos β 2 a + c
lc = 2 ab cos γ 2 a + b
Видео:Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать
Высоты треугольника
Свойства высот треугольника
Формулы высот треугольника
ha = b sin γ = c sin β
hb = c sin α = a sin γ
hc = a sin β = b sin α
Видео:Треугольники и их свойстваСкачать
Окружность вписанная в треугольник
Свойства окружности вписанной в треугольник
Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )
Видео:Решали пол-урока, а оказалось очень простоСкачать
Окружность описанная вокруг треугольника
Свойства окружности описанной вокруг треугольника
Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
R = S 2 sin α sin β sin γ
R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ
Видео:Треугольники. 7 класс.Скачать
Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
Средняя линия треугольника
Свойства средней линии треугольника
MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC
MN || AC KN || AB KM || BC
Видео:9 класс. Геометрия. Вписанный угол и его свойства. 15.05.2020.Скачать
Периметр треугольника
Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон
Видео:54. Геометрия на ЕГЭ по математике. Вписанный четырехугольник и его свойства.Скачать
Формулы площади треугольника
Формула Герона
S = | a · b · с |
4R |
Видео:Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.Скачать
Равенство треугольников
Признаки равенства треугольников
Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
Видео:11 класс, 44 урок, Описанный четырехугольникСкачать
Подобие треугольников
∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,
где k — коэффициент подобия
Признаки подобия треугольников
Первый признак подобия треугольников
Второй признак подобия треугольников
Третий признак подобия треугольников
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Видео:11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольникСкачать
Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов
Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.
Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.
Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.
Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.
Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.
Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?
В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.
Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.
Вот еще две формулы для площади.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.
— радиус окружности, вписанной в треугольник.
Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :
где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.
Для любого треугольника верна теорема синусов:
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .
Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .
Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:
Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .
В ответ запишем .
. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.
По теореме синусов,
Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .
. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.
, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем . Тогда .
Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .
📺 Видео
Геометрия. 9 класс. Вписанный угол и его свойства /13.04.2021/Скачать