Длина отрезка между двумя точками на окружности

Расстояния между двумя точками

На данной странице калькулятор поможет рассчитать расстояние между двумя точками онлайн в плоскости и пространстве. Для расчета задайте координаты.

Расстояние между двумя точками — это длина отрезка, которая соединяет эти точки.

Расстояния между двумя точками

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Формула вычисления расстояния между двумя точками A(xa; ya) и B(xb; yb) на плоскости:

Формула вычисления расстояния между двумя точками A(xa; ya; za) и B(xb; yb; zb) в пространстве:

Вывод формулы для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости

Из точек A и B опустим перпендикуляры на оси координат x и y.

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆ABC. Катеты этого треугольника равны:

Спомощью теоремы Пифагора, вычислим длину отрезка AB:

Подставив в это выражение длины отрезков AC и BC, выраженные через координаты точек A и B, получим формулу для вычисления расстояния между точками на плоскости.

Формула для вычисления расстояния между двумя точками в пространстве выводится аналогично.

Видео:"Парадоксальное" среднее расстояние между точками на окружностиСкачать

"Парадоксальное" среднее расстояние между точками на окружности

Расстояние между двумя точками

Видео:Расстояние между двумя точками. Координаты середины отрезка.Скачать

Расстояние между двумя точками. Координаты середины отрезка.

Формулы вычисления расстояния между двумя точками:

  • Формула вычисления расстояния между двумя точками A( xa , ya ) и B( xb , yb ) на плоскости:

Видео:Длина отрезкаСкачать

Длина отрезка

Вывод формулы для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Из точек A и B опустим перпендикуляры на оси координат.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆ABC. Катеты этого треугольника равны:

Воспользовавшись теоремой Пифагора, вычислим длину отрезка AB:

AB = √ AC 2 + BC 2 .

Подставив в это выражение длины отрезков AC и BC, выраженные через координаты точек A и B, получим формулу для вычисления расстояния между точками на плоскости.

Формула для вычисления расстояния между двумя точками в пространстве выводится аналогично.

Видео:Координаты середины отрезкаСкачать

Координаты середины отрезка

Длина отрезка между точками на окружности

Видео:Если ты в 8 классе, посмотри ЭТО ВИДЕО — Формула Длины ОтрезкаСкачать

Если ты в 8 классе, посмотри ЭТО ВИДЕО — Формула Длины Отрезка

Всё про окружность и круг

Окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой заданной точки (центра окружности). Расстояние между любой точкой окружности и ее центром называется радиусом окружности (радиус обозначают буквой R).
Значит, окружность — это линия на плоскости, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от центра окружности.

Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и включающая ее центр.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, представляет собой диаметр. Диаметр окружности равен ее удвоенному радиусу: D = 2R.

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Точка пересечения двух хорд делит каждую хорду на отрезки, произведение которых одинаково: a1a2 = b1b2

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны: AB = AC, центр окружности лежит на биссектрисе угла BAC.

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Центральный угол — это угол, вершина которого совпадает с центром окружности.

Дугой называется часть окружности, заключенная между двумя точками.

Мерой дуги (в градусах или радианах) является центральный угол, опирающийся на данную дугу.

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Вписанный угол это угол, вершина которого лежит на окружности, а cтороны угла пересекают ее.

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Вписанный угол равен половине центрального, если оба угла опираются на одну и ту же дугу окружности.
Внутренние углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Сектором круга называется геометрическая фигура, ограниченная двумя радиусами и дугой, на которую опираются данные радиусы.

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Периметр сектора: P = s + 2R.

Площадь сектора: S = Rs/2 = ПR 2 а/360°.

Сегментом круга называется геометрическая фигура, ограниченная хордой и стягиваемой ею дугой.

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Длина отрезка между двумя точками на окружностиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Длина отрезка между двумя точками на окружностиСвойства хорд и дуг окружности
Длина отрезка между двумя точками на окружностиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Длина отрезка между двумя точками на окружностиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Длина отрезка между двумя точками на окружностиТеорема о бабочке

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Видео:А.5.9 Евклидово расстояние между точками (длина отрезка)Скачать

А.5.9 Евклидово расстояние между точками (длина отрезка)

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьДлина отрезка между двумя точками на окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругДлина отрезка между двумя точками на окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусДлина отрезка между двумя точками на окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаДлина отрезка между двумя точками на окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрДлина отрезка между двумя точками на окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяДлина отрезка между двумя точками на окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяДлина отрезка между двумя точками на окружности

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Окружность
Длина отрезка между двумя точками на окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругДлина отрезка между двумя точками на окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусДлина отрезка между двумя точками на окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаДлина отрезка между двумя точками на окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрДлина отрезка между двумя точками на окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяДлина отрезка между двумя точками на окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяДлина отрезка между двумя точками на окружности

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Расстояние между точками. Геометрия 9 класс.Скачать

Расстояние между точками. Геометрия 9 класс.

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеДлина отрезка между двумя точками на окружностиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыДлина отрезка между двумя точками на окружностиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныДлина отрезка между двумя точками на окружностиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиДлина отрезка между двумя точками на окружностиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыДлина отрезка между двумя точками на окружностиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Длина отрезка между двумя точками на окружности

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыДлина отрезка между двумя точками на окружности

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыДлина отрезка между двумя точками на окружности

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиДлина отрезка между двумя точками на окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныДлина отрезка между двумя точками на окружности

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиДлина отрезка между двумя точками на окружности

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыДлина отрезка между двумя точками на окружности

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Расстояние между двумя точками с заданными координатамиСкачать

Расстояние между двумя точками с заданными координатами

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыДлина отрезка между двумя точками на окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Касательные, проведённые к окружности из одной точкиДлина отрезка между двумя точками на окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиДлина отрезка между двумя точками на окружности

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Секущие, проведённые из одной точки вне кругаДлина отрезка между двумя точками на окружности

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Пересекающиеся хорды
Длина отрезка между двумя точками на окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Длина отрезка между двумя точками на окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Длина отрезка между двумя точками на окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Длина отрезка между двумя точками на окружности
Пересекающиеся хорды
Длина отрезка между двумя точками на окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Видео:Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. 9 класс.

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Тогда справедливо равенство

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Длина отрезка между двумя точками на окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Длина отрезка между двумя точками на окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Длина отрезка между двумя точками на окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:#1 Поиск расстояния между двумя точкамиСкачать

#1 Поиск расстояния между двумя точками

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Длина отрезка между двумя точками на окружности

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Математика 6 класс (Урок№75 - Длина отрезка.)Скачать

Математика 6 класс (Урок№75 - Длина отрезка.)

Нахождение расстояния между двумя точками

В данной публикации мы рассмотрим, чему равно расстояние между двумя точками, и по какой формуле оно считается (на плоскости и в пространстве). Также разберем примеры решения задач по этой теме.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Расчет расстояния между двумя точками

Расстояние между двумя точками — это длина отрезка (d), который получится, если их соединить.

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Если точки и расположены на плоскости, то расстояние между ними считается по формуле:

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Если точки и находятся в трехмерном пространстве, расстояние вычисляется так:

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Видео:Расстояние. Математика. 6 классСкачать

Расстояние. Математика. 6 класс

Примеры задач

Задание 1
На плоскости даны две точки: и . Найдем расстояние между ними.

Решение:
Воспользуемся первой формулой, представленной выше:

Длина отрезка между двумя точками на окружности

Задание 2
Найдем расстояние между точками и .

Решение:
Применим соответствующую формулу, подставив в нее известные нам значения:

💡 Видео

Длина отрезкаСкачать

Длина отрезка

Расстояние между точкамиСкачать

Расстояние между точками

7 класс, 7 урок, Длина отрезкаСкачать

7 класс, 7 урок, Длина отрезка

Определение длины отрезкаСкачать

Определение длины отрезка

Координаты середины отрезка. Формула. Геометрия 9 класс.Скачать

Координаты середины отрезка. Формула. Геометрия 9 класс.

Расстояние между точками по координатам.Скачать

Расстояние между точками по координатам.
Поделиться или сохранить к себе: