Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

где a и b — катеты, c — гипотенуза.

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольникПусть в прямоугольном треугольнике ABC катеты BC=a, AC=b, гипотенуза AB=c.

Проведём радиусы OK, OM, ON к сторонам треугольника.

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

(как отрезки касательных, проведённых из одной точки).

Отсюда следует, что четырёхугольник CKOM — квадрат, стороны которого равны радиусу вписанной в треугольник ABC окружности: CK=CM=OM=OK=r.

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Таким образом, формула радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

№ 47. Докажите, что в прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой.

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник
Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник
Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

что требовалось доказать.

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник Решебник по геометрии за 9 класс (А.В.Погорелов, 2001 год),
задача №47
к главе «§14. Площади фигур».

Выделите её мышкой и нажмите CTRL + ENTER

Большое спасибо всем, кто помогает делать сайт лучше! =)

Нажмите на значок глаза возле рекламного блока, и блоки станут менее заметны. Работает до перезагрузки страницы.

Видео:ОГЭ Задание 25 Окружность вписанная в прямоугольный треугольникСкачать

ОГЭ Задание 25 Окружность вписанная в прямоугольный треугольник

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольникСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольникФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольникВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математике

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Задание 24 Радиус окружности вписанной в прямоугольный треугольникСкачать

Задание 24  Радиус окружности вписанной в прямоугольный треугольник

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник.

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникДокажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник
Равнобедренный треугольникДокажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник
Равносторонний треугольникДокажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник
Прямоугольный треугольникДокажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник.

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник.

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Произвольный треугольник
Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник
Равнобедренный треугольник
Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник
Равносторонний треугольник
Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник
Прямоугольный треугольник
Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник
Произвольный треугольник
Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник.

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник.

Равнобедренный треугольникДокажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Равносторонний треугольникДокажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникДокажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Видео:Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать

Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник– полупериметр (рис. 6).

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

с помощью формулы Герона получаем:

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

Докажите что радиус окружности вписанный в прямоугольный треугольник

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

🌟 Видео

Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольникСкачать

Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146Скачать

Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146

№694. Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если гипотенузаСкачать

№694. Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если гипотенуза

Задание 25 Прямоугольный треугольник Вписанная окружностьСкачать

Задание 25 Прямоугольный треугольник Вписанная окружность

Геометрия Докажите, что сумма радиусов вписанной и описанной окружностей в прямоугольномСкачать

Геометрия Докажите, что сумма радиусов вписанной и описанной окружностей в прямоугольном

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Формулы для радиуса окружности #shortsСкачать

Формулы для радиуса окружности #shorts

№704. Окружность с центром О описана около прямоугольного треугольника, а) ДокажитеСкачать

№704. Окружность с центром О описана около прямоугольного треугольника, а) Докажите

Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.Скачать

Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.

№693. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r. Найдите периметр треугольника,Скачать

№693. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r. Найдите периметр треугольника,

ЕГЭ задание 16 Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника. Разные способы решенияСкачать

ЕГЭ задание 16 Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника. Разные способы решения

Математика ОГЭ Задание 26 Прямоугольный треугольник Описанная и вписанная окружностиСкачать

Математика ОГЭ  Задание 26 Прямоугольный треугольник Описанная и вписанная окружности

№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.Скачать

№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.
Поделиться или сохранить к себе: