Вписанная и описанная окружность параллелограмма

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

  • Треугольник
  • Выпуклый, правильный многоугольник
  • Квадрат
  • Равнобедренная трапеция
  • Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Содержание
  1. Свойства вписанной окружности
  2. В треугольник
  3. В четырехугольник
  4. Примеры вписанной окружности
  5. Верные и неверные утверждения
  6. Окружность вписанная в угол
  7. В параллелограмм вписана окружность
  8. Всё о параллелограммах
  9. Определение параллелограмма
  10. Свойства параллелограмма
  11. Признаки параллелограмма
  12. Теоремы параллелограмма
  13. Параллелограммом является выпуклый четырехугольник
  14. Противоположные стороны и углы попарно равны
  15. Точка пересечения диагоналей разделяет их пополам
  16. Углы параллелограмма
  17. Свойства диагоналей параллелограмма
  18. Как вычислить площадь параллелограмма?
  19. Как вписать параллелограмм в окружность?
  20. Как вписать окружность в параллелограмм?
  21. Как начертить параллелограмм?
  22. Алгоритм построения квадрата
  23. Построение ромба
  24. Как построить прямоугольник
  25. Трапеция — это параллелограмм?
  26. Средняя линия параллелограмма
  27. Параллелограмм, у которого все стороны равны
  28. Ось симметрии параллелограмма
  29. 📺 Видео

Свойства вписанной окружности

В треугольник

  1. В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
  2. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
  3. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
  4. Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

[ S = frac(a+b+c) cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.
  • Точка касания — это точка, в которой соприкасается
    окружность и любая из сторон треугольника.
  • От центра вписанной окружности можно провести
    перпендикуляры к любой точке касания.
  • Вписанная в треугольник окружность делит стороны
    треугольника на 3 пары равных отрезков.
  • Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
    Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

    с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
    R — радиус описанной около треугольника.
    r — радиус вписанной окружности треугольника.

    В четырехугольник

    1. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
    2. Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
      сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
    3. Центр вписанной окружности и середины двух
      диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
    4. Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
    5. Точка касания — это точка, в которой соприкасается
      окружность и любая из сторон четырехугольника.
    6. Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

    [ S = frac(a+b+c+d)cdot r = pr ]

    p — полупериметр четырехугольника.
    r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
    равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.
  • Примеры вписанной окружности

    • Треугольник
      Вписанная и описанная окружность параллелограмма
    • Четырехугольник
      Вписанная и описанная окружность параллелограмма
    • Многоугольник
      Вписанная и описанная окружность параллелограмма

    Примеры описанного четырехугольника:
    равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

    Примеры описанного треугольника:
    равносторонний
    , равнобедренный,
    прямоугольный треугольники.

    Верные и неверные утверждения

    1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
      в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
    2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
    3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
    4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
    5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
    6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
    7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
      углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
    8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
      половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
    9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
    10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
      три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

    Окружность вписанная в угол

    Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
    лежит внутри этого угла и касается его сторон.

    Центр окружности, которая вписана в угол,
    расположен на биссектрисе этого угла.

    К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
    в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

    Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
    измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

    Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

    В параллелограмм вписана окружность

    Если в условии задачи сказано, что в параллелограмм вписана окружность, то что сразу можно сказать об этом параллелограмме?

    Для этого надо вспомнить, когда в четырехугольник можно вписать окружность. Это можно сделать лишь в том случае, если суммы противолежащих сторон четырехугольника равны.

    Это условие выполняется только для тех параллелограммов, у которых все стороны равны, то есть только для ромба (и квадрата, как частного случая ромба).

    Следовательно, если известно, что в параллелограмм можно вписать окружность, сразу можно сделать вывод, что все его стороны равны, и для него справедливы все свойства ромба. Если же дополнительно сказано, что хотя бы один из углов этого параллелограмма прямой, то такой параллелограмм — квадрат.

    Радиус вписанной в ромб окружности можно найти по формуле

    Вписанная и описанная окружность параллелограмма

    где S — площадь ромба, p — его полупериметр;

    или как половину высоты ромба

    Вписанная и описанная окружность параллелограмма

    1) В параллелограмм вписана окружность. Найти периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 10 см.

    Из всех параллелограммов вписать окружность можно только в ромб (и квадрат). У ромба все стороны равны.

    Вписанная и описанная окружность параллелограмма

    2) В параллелограмм вписана окружность. Найти её радиус, если высота параллелограмма равна 12 см.

    Из параллелограммов вписать окружность можно в ромб (и квадрат). Радиус вписанной в ромб (и квадрат) окружности равен половине его высоты:

    Вписанная и описанная окружность параллелограмма

    3) В параллелограмм вписана окружность. Найти её радиус, если диагонали параллелограмма равны 6 см и 8 см.

    Вписанная и описанная окружность параллелограммаИз всех параллелограммов окружность можно вписать в ромб (и квадрат. У квадрата диагонали равны, следовательно, в задаче речь идёт о ромбе).

    Пусть ABCD — ромб, AC=6 см, BD=8 см.

    Рассмотрим треугольник AOB.

    Вписанная и описанная окружность параллелограмма

    Вписанная и описанная окружность параллелограмма

    По теореме Пифагора

    Вписанная и описанная окружность параллелограмма

    Вписанная и описанная окружность параллелограмма

    Вписанная и описанная окружность параллелограмма

    Вписанная и описанная окружность параллелограмма

    полупериметр — p=2a=2∙AB=25=10 см.

    Следовательно, радиус вписанной окружности равен

    Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

    Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

    Всё о параллелограммах

    Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

    Определение параллелограмма

    С этой фигурой знакомы все, освоившие курс школьной программы. Впервые с понятием «параллелограмм» встречаются в 8 классе на уроках геометрии.

    Параллелограмм — геометрическая фигура, являющаяся разновидностью четырехугольника. Противоположные стороны параллельны.

    Стоит отметить, что всем известные фигуры, такие как квадрат, ромб, прямоугольник, являются параллелограммами. Исходя из этого, им можно дать следующие определения:

    • Квадрат — параллелограмм с равными сторонами, пересекающимися под углом 90 градусов.
    • Ромб — параллелограмм с равными между собой сторонами, не пересекающимися под углом 90 градусов.
    • Прямоугольник — параллелограмм с неравными между собой сторонами, но пересекающимися под прямым углом.

    Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

    Построить описанную окружность (Задача 1)

    Свойства параллелограмма

    Для того чтобы определить параллелограмм, нужно обладать знанием о его свойствах. Рассмотрим их на примере четырехугольника MNPK.

    Вписанная и описанная окружность параллелограмма

    • Длина противоположных сторон фигуры одинакова.
    • Противоположные стороны параллельны.
    • Углы, являющиеся противоположными, равны.
    • Сумма всех четырех углов составляет 360 градусов.

    ∠NMK+∠NPK +∠MNP+∠MKP = 360°

    • Сумма двух соседних углов равна 180 градусов.
    • Диагонали разделяют параллелограмм на два треугольника, равные между собой.
    • При пересечении диагоналей образуется точка пересечения, представляющая собой центр симметрии.
    • Диагонали пересекаются и точка их пересечения разделяет каждую диагональ пополам.
    • Биссектриса, проведенная из любого угла, отделает от четырехугольника равнобедренный треугольник.

    Видео:Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

    Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

    Признаки параллелограмма

    Четырехугольник MNPK можно называть параллелограммом при выполнении минимум одного условия:

    1. Противоположные стороны равны парами: MK=NP, MN=PK.
    2. Противоположные углы равны парами: ∠NMK=∠NPK, ∠MNP=∠MKP.
    3. Диагонали пересекаются, и точка их пересечения разделяет каждую диагональ пополам.
    4. Противоположные стороны равны и параллельны между собой: MK=NP, MN|PK.
    5. Сумма квадратов двух диагоналей равняется сумме квадратов четырех его сторон: MP²+NK²=MN²+NP²+PK²+MK².

    Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

    Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

    Теоремы параллелограмма

    Все существующие теоремы доказывают свойства параллелограмма и исходят из определения о том, что это четырехугольник с противоположно расположенными параллельными сторонами.

    Основные теоремы доказывают, что:

    • параллелограммом является выпуклый четырехугольник;
    • противоположные стороны попарно равны;
    • углы, являющиеся противоположными, попарно равны;
    • точка пересечения диагоналей разделает их пополам.

    Параллелограммом является выпуклый четырехугольник

    Многоугольник признается выпуклым при условии отсутствия продления до прямой хотя бы одной из сторон, а все оставшиеся стороны будут располагаться по одну сторону от этой прямой.

    Пусть дан параллелограмм MNPK, сторона MN противоположна PK, а MK противоположна NP. Следовательно, исходя из определения, следует вывод о том, что MN || PK, а MK || NP.

    Параллельные отрезки общих точек соприкосновения не имеют. Следовательно, PK находится со стороной MN по одну сторону. Отрезок NP соединяет точку N отрезка MN с точкой P отрезка PK. Противоположный отрезок MK соединяет оставшиеся две точки отрезков, что дает право утверждать о нахождении отрезков NP и MK по одну сторону от прямой MN. Исходя из всего вышесказанного, можно сделать вывод о том, что три стороны PK, NP и MK располагаются по одну сторону от отрезка MN.

    Аналогичный алгоритм доказательства предположения о нахождении трех других сторон по одну сторону относительно остальных.

    Противоположные стороны и углы попарно равны

    Имеется четырехугольник MNPK, у которого MK=NP, MN=PK, ∠NMK=∠NPK, ∠MNP=∠MKP.

    Параллелограмм — это, как мы знаем, четырехугольник. Следовательно, имеет 2 диагонали. Зная о том, что это выпуклая фигура, делаем вывод о делении фигуры на два треугольника. В нашем случае образовались треугольники MNP и MKP.

    У треугольников имеется общее — сторона MP. ∠NPM=∠PMK, а ∠NMP=∠MPK, так как накрест лежащие углы, пересекая параллельные прямые, равны.

    Следовательно, ΔMNP=ΔMKP, так как одна общая сторона и два равных смежных угла. Отсюда NP=MK, MN=PK.

    ∠NPM=∠PMK и ∠NMP=∠MPK

    Из равенств следует, что ∠NMK=∠NPK.

    Таким образом, теорема о равенстве противоположных углов и сторон доказана.

    Точка пересечения диагоналей разделяет их пополам

    Зная, что параллелограмм представляет собой выпуклый четырёхугольник, можно сказать о наличии двух пересекающихся диагоналей.

    Есть четырехугольник MNPK с диагоналями NK и PM, пересекающимися в точке O. Возьмем два полученных треугольника MNO и PKO.

    Вписанная и описанная окружность параллелограмма

    Из свойства противоположно лежащих сторон параллелограмма следует равенство MN=PK. Угол MNO и угол OKP — накрест лежащие, следовательно, они равны. Аналогично, два других угла — NMO и OPK — являются равными. Делаем вывод о равенстве треугольников MNO и PKO по стороне и двум углам.

    Из рисунка видно, что углы MON и KOP вертикальные, а значит, они равны.

    Зная о равенстве образовавшихся треугольников, можно утверждать и о равенстве всех соответствующих элементов. Сторона MO равна стороне PO, как и сторона NO=OK. Каждая из пар вместе представляет собой диагональ параллелограмма.

    Таким образом, теорема о делении диагоналей пополам доказана.

    Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

    Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

    Углы параллелограмма

    Для углов действует правило, согласно которому смежные углы в сумме дают 180 градусов, а два противоположных равны друг другу. Основываясь на этих утверждениях, значения остальных углов находятся по формуле:

    Видео:8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

    8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

    Свойства диагоналей параллелограмма

    1. Точка пересечения диагоналей разделяет их пополам.
    2. Любая диагональ разделяет фигуру на два треугольника, равные друг другу.
    3. Сумма квадратов его диагоналей равняется сумме квадратов всех его сторон.
    4. Площадь фигуры находится путем умножения длины диагоналей на синус угла, расположенного между ними, разделённый на 1/2.

    Видео:ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

    ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

    Как вычислить площадь параллелограмма?

    Существует несколько вариантов нахождения площади:

    1. По основанию и высоте: S=a*h.
    2. Зная значение двух смежных сторон и угла между ними: S=a*b*sin(α)°.
    3. По длине диагоналей и углу между ними: S=1/2*d1*d2*sin α.

    Разберем подробнее последнюю формулу площади на примере. Дан параллелограмм с диагоналями АС и BD. Точка пересечения — О. Угол пересечения диагоналей в точке O = 60°. Отрезки AO=6 см и OD=5 см Площадь находится по формуле:

    Зная свойство деления диагоналей точкой пересечения пополам, получаем:

    AC=AO*2=12 см и DB=OD*2=10 см

    Подставляем полученные значения в формулу:

    S=1/2 * 12*10*1/2√3=51,962 см 2

    Видео:Вписанная и описанная окружности. ЗадачиСкачать

    Вписанная и описанная окружности. Задачи

    Как вписать параллелограмм в окружность?

    Вписанный параллелограмм — это когда фигура находится внутри окружности.

    Не каждый параллелограмм можно поместить внутрь окружности. Эту манипуляцию можно проделать с той фигурой, у которой два противоположных угла в сумме составляют 180 градусов.

    Из этого можно прийти к выводу, что у вписанного в окружность параллелограмма все четыре угла равны 90°. Параллелограмм бывает трех видов: квадрат, ромб, прямоугольник. Следовательно вписать в окружность можно прямоугольник, квадрат.

    1. Начертить окружность.
    2. Найти ее центр, обозначить буквой O.
    3. Выбрать любую точку на окружности и назвать ее точкой A.
    4. Если вписываем квадрат, то нужно построить два диаметра с углом между ними в 90 градусов. Точки пересечения диагоналей с окружностью соединить прямыми линиями.
    5. Для прямоугольника нужно иметь значения угла между диагоналями или размеры сторон. Зная размеры сторон по теореме Пифагора, высчитываем угол между диагоналями. Проведя один диаметр, обозначить точки пересечения с окружностью. От точки O (центр окружности и середина диагонали) отмерить угол между диагоналями. Провести второй диаметр через центр и новую полученную точку. Соединить полученные точки прямыми.

    Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

    Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.

    Как вписать окружность в параллелограмм?

    В окружность можно вписать параллелограмм при условии равнозначных сумм противолежащих сторон. Из трех вариантов параллелограмма сумма противоположных сторон одинакова только у ромба. Следовательно, если в параллелограмм вписана окружность, то этот параллелограмм является ромбом.

    1. Начертить ромб можно, зная длину минимум одной стороны и одного угла.
    2. Провести горизонтальную линию, равную длине стороны.
    3. Транспортиром отмерить известный угол и провести луч.
    4. На луче отмерить тот же самый размер стороны.
    5. Оставшиеся две стороны нарисовать параллельно имеющимся.
    6. Согласно свойству ромба и вписанной окружности, проводим две биссектрисы из смежных углов (они же диагонали в ромбе).
    7. Пересечение биссектрис отметить точкой О.
    8. Точка О будет центром окружности.
    9. Вписанная окружность должна касаться всех сторон параллелограмма. Следовательно, стороны ромба будут касательными к окружности.
    10. Касательные перпендикулярны радиусу, который проходит к точке касания. Таким образом, из центра окружности (точки О) надо опустить перпендикуляр к любой стороне ромба.
    11. Иголку циркуля поставить в точку О, а ножку — на точку касания перпендикуляра со стороной ромба.
    12. Начертить окружность.
    13. Правильно начерченная фигура будет соприкасаться со всеми сторонами ромба.

    Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

    Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

    Как начертить параллелограмм?

    Рассмотрим схему построения каждого вида по отдельности.

    Алгоритм построения квадрата

    1. Узнать размер одной стороны. Этого достаточно, так как все стороны в квадрате равны.
    2. Один из признаков квадрата — все углы равны 90 градусов.
    3. Чертим прямую, равную длине одной стороны.
    4. С каждой стороны проводим перпендикулярную линию.
    5. На перпендикулярах отмечаем нужную длину и ставим точку.
    6. Соединяем две точки, построенные на перпендикулярных прямых.

    Построение ромба

    1. Начертить ромб можно, зная длину минимум одной стороны и одного угла.
    2. Провести горизонтальную линию, равную длине стороны.
    3. Транспортиром отмерить известный угол и провести луч.
    4. На луче отмерить тот же самый размер стороны.
    5. Оставшиеся две стороны нарисовать параллельно имеющимся.

    Как построить прямоугольник

    1. Нужно знать значения длины и ширины.
    2. Начертить прямую, равную длине.
    3. Провести два перпендикуляра с обеих сторон отрезка.
    4. Отметить на перпендикулярных линиях отрезок равный ширине прямоугольника.
    5. Соединить полученные два отрезка.
    6. При правильном построении полученная линия должны быть перпендикулярна длине (первой начерченной линии).

    Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

    Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

    Трапеция — это параллелограмм?

    Обе фигуры являются четырехугольниками с двумя противоположными сторонами, которые равны. Трапеция по определению имеет 2 непараллельные стороны. В параллелограмме все 4 стороны попарно параллельны.

    Таким образом, трапеция не является параллелограммом.

    Видео:Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

    Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)

    Средняя линия параллелограмма

    Под этим термином понимается отрезок, соединяющий середины противоположных сторон параллелограмма.

    Средняя линия всегда равна параллельной ей стороне

    Свойства средней линии в параллелограмме:

    • точка пересечения диагоналей является точкой пересечения средних линий;
    • точка пересечения делит средние линии пополам;
    • точка пересечения выступает центром симметрии параллелограмма.

    Видео:Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрияСкачать

    Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрия

    Параллелограмм, у которого все стороны равны

    Все четыре стороны имеют равное значение в двух разновидностях фигуры — ромбе и квадрате.

    Видео:ОПИСАННАЯ и ВПИСАННАЯ окружности. §21 геометрия 7 классСкачать

    ОПИСАННАЯ и  ВПИСАННАЯ окружности. §21 геометрия 7 класс

    Ось симметрии параллелограмма

    Под осью симметрии понимается прямая, разделяющая фигуру на две зеркально равные фигуры.

    В прямоугольнике осью симметрии являются прямые, которые проходят через середину противоположной стороны.

    В ромбе оси симметрии представляют собой его 2 диагонали.

    Квадрат, объединяя в себе две предыдущие фигуры, имеет 4 оси симметрии: 2 диагонали и 2 средние линии.

    📺 Видео

    8 класс, 39 урок, Описанная окружностьСкачать

    8 класс, 39 урок, Описанная окружность

    Задание 24 ОГЭ по математике #5Скачать

    Задание 24 ОГЭ по математике #5

    Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать

    Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрия

    Тема 7. Вписанные и описанные окружности треугольникаСкачать

    Тема 7. Вписанные и описанные окружности треугольника
    Поделиться или сохранить к себе: