Какими свойствами обладает медиана равностороннего треугольника? Как выразить длину медианы через сторону треугольника? Через радиус вписанной и описанной окружностей?
(свойство медианы равностороннего треугольника)
В равностороннем треугольнике медиана, проведённая к любой стороне, является также его биссектрисой и высотой.
Пусть в треугольнике ABC AB=BC=AC.
Проведём медиану BF.
Так как AB=BC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC.
По свойству медианы равнобедренного треугольника, BF является также его биссектрисой и высотой.
Аналогично, так как AB=AC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием BC, AK — его медиана, биссектриса и высота;
так как AC=BC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB, CD — его медиана, биссектриса и высота.
Что и требовалось доказать .
(свойство медиан равностороннего треугольника)
Все три медианы равностороннего треугольника равны между собой.
Пусть в треугольнике ABC AB=BC=AC,
AK, BF, CD — его медианы.
Следовательно, треугольники ABK, BCF и CAK равны (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:
Что и требовалось доказать .
Из 1 и 2 теоремы следует, что все медианы, биссектрисы и высоты равностороннего треугольника равны между собой.
1) Выразим длину медианы равностороннего треугольника через его сторону.
Так как медиана равностороннего треугольника является также его высотой, треугольник ABF- прямоугольный.
Обозначим AB=a, BF=m, тогда AF=a/2.
Таким образом, формула медианы равностороннего треугольника по его стороне:
2) Выразим медиану равностороннего треугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей.
Центр правильного треугольника является центром его вписанной и описанной окружностей.
Так как центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника, а медианы равностороннего треугольника являются также его биссектрисами, в равностороннем треугольнике ABC OF — радиус вписанной, BO — радиус описанной окружностей:
Так как медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то BO:OF=2:1. Таким образом,
Отсюда медиана равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности равна
Видео:Задание 15 ОГЭ. Медиана равностороннего треугольникаСкачать
Найти медиану биссектрису высоту равностороннего треугольника
Формула для вычисления высоты = биссектрисы = медианы.
В равностороннем треугольнике: все высоты, биссектрисы и медианы, равны. Точка их пересечения, является центром вписанной окружности.
L — высота=биссектриса=медиана
a — сторона треугольника
Формула длины высоты, биссектрисы и медианы равностороннего треугольника, ( L ):
Калькулятор — вычислить, найти медиану, биссектрису, высоту
Видео:ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Медиана прямоугольного треугольника. Свойство. Доказательство для 7 класса.Скачать
Определение и свойства медианы равностороннего треугольника
В данной статье мы рассмотрим определение и свойства медианы равностороннего треугольника, а также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.
Видео:НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКАСкачать
Определение медианы
Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника и середину противоположной стороны.
Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны (AB = BC = AC).
Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
Свойства медианы равностороннего треугольника
Свойство 1
Любая медиана в равностороннем треугольнике одновременно является и высотой, и серединным перпендикуляром, и биссектрисой угла, из которого проведена.
- BD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AC, а также биссектриса угла ABC;
Свойство 2
Все три медианы в равностороннем треугольнике равны между собой. Т.е. AF = BD = CE.
Свойство 3
Медианы в равностороннем треугольнике пресекаются в одной точке, которая делит их в отношении 2:1.
Свойство 4
Любая медиана равностороннего треугольника делит его на два равных по площади (равновеликих) прямоугольных треугольника. Т.е. S1 = S2.
Свойство 5
Равносторонний треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих прямоугольных треугольников. Т.е. S1 = S2 = S3 = S4 = S5 = S6.
Свойство 6
Точка пересечения медиан в равностороннем треугольнике является центром описанной вокруг и вписанной окружностей.
- r – радиус вписанной окружности;
- R – радиус описанной окружности;
- R = 2r (следует из Свойства 3).
Свойство 7
Длину медианы равностороннего треугольника можно вычислить по формуле:
a – сторона треугольника.
Видео:Известна биссектриса равностороннего треугольника. Найти сторону этого треугольника. ОГЭ №16Скачать
Примеры задач
Задача 1
Вычислите длину медианы равностороннего треугольника, если известно, что его сторона равна 6 см.
Решение
Для нахождения требуемого значения применим формулу выше:
Задача 2
Самая большая сторона одного из треугольников, образованных в результате пересечения трех медиан в равностороннем треугольнике, равняется 8 см. Найдите длину стороны данного треугольника.
Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.
Из Свойства 5 мы знаем, что в результате пересечения всех медиан образуются 6 прямоугольных треугольников.
- BG = 8 см (самая большая сторона, является гипотенузой △BFG);
- FG = 4 см (катет △BFG, в 2 раза меньше гипотенузы BG – следует из Свойства 3).
Применяем теорему Пифагора, чтобы найти длину второго катета BF:
BF 2 = BG 2 – FG 2 = 8 2 – 4 2 = 48 см 2 .
Следовательно, BF ≈ 6,93 см.
BF равняется половине стороны BC (т.к. медиана делит сторону треугольника пополам), следовательно, BC ≈ 13,86 см.
📹 Видео
Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать
7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
Построение медианы в треугольникеСкачать
ОГЭ 2023. Задание 23. Найти медиану прямоугольного треугольникаСкачать
Длина медианы треугольникаСкачать
Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать
Теорема о свойстве медианы равнобедренного треугольникаСкачать
Построение высоты в треугольникеСкачать
ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 РАЗДЕЛ ГЕОМЕТРИЯ ДАН РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК И ВЫСОТА / НАЙТИ МЕДИАНУСкачать
Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать
ОГЭ 16🔴Скачать
Задание 9 ОГЭ от ФИПИСкачать
№488. Найдите: а) высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 6 см;Скачать
Задача найти сторону равностороннего треугольника по медианеСкачать
8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать
