Вписанная и описанная окружность куба

Вписанная и описанная окружность куба

Куб – правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Все ребра куба равны.

Свойства куба:

1. В кубе $6$ граней и все они являются квадратами.

2. Противоположные грани попарно параллельны.

3. Все двугранные углы куба – прямые.

4. Диагонали равны.

5. Куб имеет $4$ диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

6. Диагональ куба в $√3$ раз больше его ребра

7. Диагональ грани куба в $√2$ раза больше длины ребра.

Пусть $а-$длина ребра куба, $d-$диагональ куба, тогда справедливы формулы:

Площадь полной поверхности: $S_=6а^2=2d^2$

Радиус сферы, описанной около куба: $R=/$

Радиус сферы, вписанной в куб: $r=/$

При увеличении всех линейных размеров куба в $k$ раз, его объём увеличится в $k^3$ раз.

При увеличении всех линейных размеров куба в $k$ раз, площадь его поверхности увеличится в $k^2$ раз.

Прямоугольный параллелепипед

Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

1. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$с$-высота(она же боковое ребро);

$S_$-площадь полной поверхности;

$V=a·b·c$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.

Пирамида

Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) — треугольники, имеющие общую вершину.

Высотой ($h$) пирамиды является перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.

Формулы вычисления объема и площади поверхности правильной пирамиды.

$h_a$ — высота боковой грани (апофема)

В основании лежат правильные многоугольники, рассмотрим их площади:

  1. Для равностороннего треугольника $S=<a^√3>/$, где $а$ — длина стороны.
  2. Квадрат $S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.

Задачи на нахождение объема составного многогранника:

  1. Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
  2. Найти объем каждого параллелепипеда.
  3. Сложить объемы.

Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.

— Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:

Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.

— Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.

Формулы куба

Для расчёта всех основных параметров куба воспользуйтесь калькулятором.

Вписанная и описанная окружность куба

Части куба, свойства, определения

— это часть плоскости, ограниченная сторонами квадрата

  • У куба шесть граней
  • Каждая грань куба пересекается с четырьмя другими гранями под прямым углом и параллельная противоположной грани
  • Грани имеют одинаковую площадь, а так как являются квадратами, то формула площади грани S = a 2

— это отрезок, образованный пересечением двух граней куба.

  • У куба двенадцать рёбер
  • Каждое ребро перпендикулярно по отношению к примыкающим рёбрам
  • Все ребра куба имеет одинаковую длину

— это прямая, проходящая через центр куба и центры двух параллельных граней куба

  • У куба три оси
  • Оси куба взаимно перпендикулярны

— отрезок, который соединяет противоположные вершины куба и проходит через центр куба.

  • куб имеет четыре диагонали;
  • диагонали куба пересекаются под прямым углом и делятся пополам в центре куба;
  • диагонали куба имеют одинаковую длину;

Формулы куба

Диагональ грани куба

  • через длину ребра $$ V = a^3 $$
  • через длину диагонали куба $$ V = <D_K^3 over 3 * sqrt> $$

Площадь поверхности куба

Вписанная и описанная сфера куба

Сфера, вписанная в куб

— это сфера, центр которой совпадает с центром куба и которая касается центров граней куба.

Радиус вписанной сферы через длину ребра

Объем вписанной сферы через длину ребра

Сфера, описанная вокруг куба

— это сфера, центр которой совпадает с центром куба и которая соприкасается с восьмью вершинами

Радиус описанной сферы через длину ребра

Объем сферы описанной вокруг куба V через длину ребра

Объём сферы (шара) через радиус, VC

Площадь поверхности сферы (шара), SC

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Что такое куб: определение, свойства, формулы

В публикации мы рассмотрим определение и основные свойства куба, а также формулы, касающиеся данной геометрической фигуры (расчет площади поверхности, периметра ребер, объема, радиуса описанного/вписанного шара и т.д.).

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Определение куба

Куб – это правильный многогранник, все грани которого являются квадратами.

Вписанная и описанная окружность куба

Примечание: куб является частным случаем параллелепипеда или призмы.

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Свойства куба

Свойство 1

Как следует из определения, все ребра и грани куба равны. Также противоположные грани фигуры попарно параллельны, т.е.:

Свойство 2

Диагонали куба (их всего 4) равны и в точке пересечения делятся пополам.

Вписанная и описанная окружность куба

Свойство 3

Все двугранные углы куба (углы между двумя гранями) равны 90°, т.е. являются прямыми.

Вписанная и описанная окружность куба

Например, на рисунке выше угол между гранями ABCD и AA1B1B является прямым.

Видео:GeoGebra: сфера, вписанная в куб, и сфера, описанная около кубаСкачать

GeoGebra: сфера, вписанная в куб, и сфера, описанная около куба

Формулы для куба

Примем следующие обозначения, которые будут использоваться далее:

  • a – ребро куба;
  • d – диагональ куба или его грани.

Диагональ

Длина диагонали куба равняется длине его ребра, умноженной на квадратный корень из трех.

Вписанная и описанная окружность куба

Диагональ грани

Диагональ грани куба равна его ребру, умноженному на квадратный корень из двух.

Вписанная и описанная окружность куба

Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности куба равняется шести площадям его грани. В формуле может использоваться длина ребра или диагонали.

Вписанная и описанная окружность куба

Периметр ребер

Периметр куба равен длине его ребра, умноженной на 12. Также может рассчитываться через диагональ.

Вписанная и описанная окружность куба

Объем

Объем куба равен длине его ребра, возведенной в куб.

Вписанная и описанная окружность куба

Радиус описанного вокруг шара

Радиус шара, описанного около куба, равняется половине его диагонали.

Вписанная и описанная окружность куба

Радиус вписанного шара

Радиус вписанного в куб шара равен половине длины его ребра.

🌟 Видео

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Вписанная и описанная окружности. ЗадачиСкачать

Вписанная и описанная окружности. Задачи

Вписанная и описанная окружностиСкачать

Вписанная и описанная окружности

Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

КОНТРОЛЬНАЯ РБ 9 класс Вписанные и описанные окружностиСкачать

КОНТРОЛЬНАЯ РБ 9 класс Вписанные и описанные окружности

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Геометрия 9 класс. Вписанные и описанные окружности. Ключевая задача № 4.Скачать

Геометрия 9 класс. Вписанные и описанные окружности. Ключевая задача № 4.

Урок по теме ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬСкачать

Урок по теме ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)
Поделиться или сохранить к себе: