Длина дуг кривых окружность

Задачи на вычисление длины дуги кривой — однотипные. Существуют чёткие схемы для решения таких задач по формулам, которые отличаются в зависимости от того, какими и сколькими уравнениями задана кривая. Формулы представляют собой интегралы от корня, под которым в тех или иных сочетаниях присутствуют производные функций, которыми задана кривая. Следовательно, для того, чтобы вычислять длину дуги кривой, требуется уметь вычислять производные и интегралы. При вычислении интегралов возможны типичные трудности, связанные, например, с выбором подходящей подстановки. Эти задачи будем решать в примерах к данному уроку.

Вычисление длины дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах

Пусть в прямоугольных координатах на плоскости уравнением y = f(x) задана кривая.

Найдём длину дуги AB этой кривой, заключённой между вертикальными прямыми x = a и x = b (рисунок ниже).

Возьмём на дуге AB точки A, M 1 , M 2 , . M i , . B с абсциссами x 0 = a, x 1 , x 2 , . x i , . b = x n и проведём хорды AM 1 , M 1 M 2 , . M n-1 B , длины которых обозначим соответственно через Δs 1 , Δs 2 , . Δs n . Тогда получим ломаную AM 1 M 2 . M n-1 B , вписанную в дугу AB. Длина ломаной равна

.

Длиной s дуги AB называется тот предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина её наибольшего звена стремится к нулю:

.

Этот предел интегральной суммы равен определённому интегралу

(1).

Формула выше и есть формула для вычисления дуги кривой.

Пример 1. Найти длину дуги кривой , если .

Решение. Находим производную данной функции:

Используем формулу (1), подставляя найденную производную:

Ответ: длина дуги кривой равна 74.

Пример 2. Найти длину окружности .

Решение. Вычислим сначала длину четвёртой части окружности, лежащей в первом квадранте. Тогда уравнение дуги будет:

,

откуда находим производную функции:

Используем формулу (1) подставляя в неё производную, получаем:

Ответ: длина всей окружности равна .

Если в прямоугольных координатах уравнениями z = x(x) и y = y(x) задана пространственная кривая, то длина её дуги вычисляется по формуле:

. (2)

Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрически

Найдём теперь длину дуги кривой в том случае, когда кривая задана параметрическими уравнениями:

В этом случае длину дуги кривой следует находить по формуле

(3).

Пример 3. Найти длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями

если .

Решение. Рассчитаем интервал, в котором будет меняться значение t, если :

Вычислим производные функций x и y:

Используем формулу (3):

.

Ответ: длина дуги кривой равна 26.

Если параметрическими уравнениями

задана пространственная кривая, то длина её дуги вычисляется по формуле:

. (4)

Пример 4. Найти длину дуги винтовой линии, заданной параметрическими уравнениями

Решение. Вычислим производные функций x, y и z:

Используем формулу (4):

Вычисление длины дуги кривой, заданной в полярных координатах

Пусть кривая задана в полярных координатах:

Длина её дуги вычисляется по формуле:

(5).

Пример 5. Найти длину дуги кривой, заданной в полярных координатах .

Решение. Вычислим производную функции:

.

Заданная кривая — кардиоида (рисунок выше). Так как она симметрична, вычислим только ту часть длины дуги, у которой и и умножим её на 2. Используем формулу (5):

.

Длина дуги кривой — определение и вычисление с примерами решения

Длина дуги кривой:

Определение 1. Рассмотрим простую кривую L на плоскости (см. § 30), заданную параметрически в виде

Разобьем отрезок

Кривая называется спрямлякмой, если множество – длин всевозможных вписанных в кривую ломаных – ограничено, при этом – называется длиной кривой L.

Замечание. Эквивалентное утверждение: число l называется длиной кривой L, если такое, что ∀ разбиения диаметром Δ

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Вычисление длин дуг кривых

Понятие спрямляемой кривой

В школьном курсе математики рассматривался вопрос о вычислении длин отрезков прямой, длины окружности, а также различных ее частей. В приложениях математики возникает потребность в вычислении длин дуг произвольных кривых. Но, чтобы вычислить длину произвольной кривой, надо быть уверенным в том, что рассматриваемая кривая имеет конечную длину.

В средней школе длиной окружности называют предел последовательности периметров вписанных в окружность правильных многоугольников (при неограниченном удвоении числа сторон). Однако это определение неприменимо к произвольным кривым.

Дадим общее определение понятия длины кривой. Пусть задана жорданова кривая

Напомним, что функции и непрерывны на отрезке. Разобьем отрезок на части числами

Каждому числу соответствует точка кривой . Проводя отрезки , получим ломаную линию , вписанную в кривую . Обозначим ее длину через .

Определение. Жорданова кривая (1) называется спрямляемой (имеющей длину), если множество длин вписанных в эту кривую ломаных у ограничено сверху. Точная верхняя граница множества называется длиной кривой и обозначается

Докажем, что длина спрямляемой кривой обладает свойством аддитивности.

Пусть жорданова кривая разбита на кривые и . Если эти кривые спрямляемы, то кривая спрямляема, причем .

В самом деле, пусть — любая ломаная, вписанная в кривую , и пусть —точка, разбивающая на и . Добавляя эту точку к вершинам ломаной , получим ломаную , длина которой не меньше длины ломаной . Но ломаная состоит из двух частей и , вписанных соответственно в кривые и , причем и . Поэтому

Это неравенство показывает, что число является одной из верхних границ для множества длин ломаных, вписанных в кривую . Но для любого 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAAQBAMAAACb51DZAAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAEHRSTlMA/QHAQSFZiDGh0BCgsXHgm/CxLgAAALNJREFUGNNjYCAecHtgF8+vWYFNmEWCoX4DnOcOZ/IuYAhMANJMCiAem00AVFzRgEHxAlDAULYBJKsCk3C8wKD4iYFhborzA4i5xg4Q8QIGRSEGjglwK1gnOyGJm5VvQEgkwMVZPy8OgIufT4CaL8TA3IAw5zDYnI0GICe1w4VVDkPs1QK6/wFD1yalPIhzLKE61UQZHgYwsEsZgl3EZgmzhqn+uRiQCsuAhAPcdibVZxsYAOHLKP4AljeRAAAAAElFTkSuQmCC» /> найдутся ломаные и , вписанные в и , такие, что

Объединяя и , получаем ломаную , вписанную в и такую, что

А это и значит, что — точная верхняя граница множества , т. е. ‘ (Г) = / (Гх) + / (Г2).

Достаточное условие спрямляемости кривой

Назовем жорданову кривую , регулярной, если функции и имеют на отрезке непрерывные производные. Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Всякая регулярная жорданова кривая спрямляема.

Доказательство. Разобьем отрезок на части точками и впишем в кривую ломаную, соответствующую этому разбиению. Рассмотрим одно звено этой ломаной, (рис. 49). Длина этого звена равна

Но по теореме Лагранжа найдутся такие и , что

Значит, длина всей ломаной выражается формулой

По условию производные и непрерывны на отрезке . Поэтому для и на отрезке есть наибольшие значения. Обозначим их и

Но тогда , а потому в силу (3)

Поскольку , то для всех ломаных, вписанных в кривую ,

Поэтому кривая спрямляема.

Отметим, что из равенства (3) вытекает также оценка длины ломаной снизу:

где и — наименьшие значения для и на отрезке .

Из неравенств (4) и (5) вытекают аналогичные неравенства для длины кривой

Неравенство (7) следует из неравенства (5) и из того, что . Чтобы доказать неравенство (6), заметим, что в силу неравенства (4) является одной из верхних границ для длин вписанных в ломаных, число же — точная верхняя граница для этих длин, т. е. наименьшая из верхних границ. Отсюда и следует неравенство (6).

Необходимое и достаточное условие спрямляемости кривой

Данное ранее условие спрямляемости кривой является достаточным, но не необходимым (например, любая ломаная спрямляема, но не регулярна, так как имеет точки излома). Чтобы сформулировать необходимое и достаточное условие спрямляемости кривой, нам понадобится понятие: функция с ограниченным изменением.

Рассмотрим функцию , определенную на отрезке , и произвольное разбиение этого отрезка:

Для каждого частичного промежутка разбиения образуем разность — приращение функции на этом промежутке. Эта разность может быть как положительной, так и отрицательной. Заменим все эти разности их модулями и сложим их. Получим сумму

Полученная сумма называется изменением функции , соответствующим разбиению отрезка .

Рассмотрим множество изменений функции , соответствующих всевозможным разбиениям отрезка . Если это множество ограничено сверху, то говорят, что функция имеет ограниченное изменение на отрезке , а точную верхнюю границу этого множества называют изменением функции на отрезке и обозначают . Таким образом,

Теперь мы можем сформулировать и доказать необходимое и достаточное условие спрямляемости жордановой кривой.

Теорема 3. Для того чтобы жорданова кривая спрямляемой, необходимой достаточно, чтобы непрерывные функции и имели ограниченное изменение на отрезке .

Доказательство. Покажем сначала, что ограниченность изменения функций и на отрезке является необходимым условием спрямляемости кривой . В самом деле, если кривая спрямляема, то множество длин вписанных в нее ломаных ограничено сверху некоторым числом . Это означает, что для любой вписанной в ломаной имеем:

Но из рисунка 54 видно, что и , а потому

Эти неравенства можно переписать следующим образом:

Они показывают, что для любого разбиения отрезка имеем и , т. е. функции и имеют ограниченное изменение на отрезке .

Теперь докажем, что если функции и имеют ограниченное изменение на отрезке , то кривая спрямляема на этом отрезке. В самом деле, в этом случае существует такое число , что

Иными словами, и . Но из рисунка 54 видно, что

Поэтому для любой ломаной , вписанной в кривую , имеем:

Значит, множество ограничено сверху числом , и потому кривая спрямляема.