Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Углы, связанные с окружностью
Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямойВписанные и центральные углы
Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямойУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямойДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:Свойство вписанного угла, опирающегося на диаметрСкачать

Свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголВпис угол опирающийся на диаметр окружности прямой
Вписанный уголВпис угол опирающийся на диаметр окружности прямойВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголВпис угол опирающийся на диаметр окружности прямойВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголВпис угол опирающийся на диаметр окружности прямойДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголВпис угол опирающийся на диаметр окружности прямойВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаВпис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Видео:Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружностиСкачать

Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиВпис угол опирающийся на диаметр окружности прямойВпис угол опирающийся на диаметр окружности прямой
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаВпис угол опирающийся на диаметр окружности прямойВпис угол опирающийся на диаметр окружности прямой
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияВпис угол опирающийся на диаметр окружности прямойВпис угол опирающийся на диаметр окружности прямой
Угол, образованный касательной и секущейВпис угол опирающийся на диаметр окружности прямойВпис угол опирающийся на диаметр окружности прямой
Угол, образованный двумя касательными к окружностиВпис угол опирающийся на диаметр окружности прямойВпис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой
Формула: Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой
Формула: Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном угле

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

В этом случае справедливы равенства

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

В этом случае справедливы равенства

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104Скачать

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Какое из следующих утверждений верно?

1. Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой.

2. Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой: да, верно.

Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны: нет, неверно; такие треугольники подобны.

Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия: нет, неверно; отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия.

Видео:№655. Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. НайдитеСкачать

№655. Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. Найдите

Вписанный угол, опирающийся на диаметр

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, обладает полезным свойством, вытекающим из теоремы о вписанном угле.

Свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр

(следствие из теоремы о вписанном угле)

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямойДано:

Так как AC- диаметр, то ∠AOC=180º.

∠AOC — центральный, ∠ABC — соответствующий ему вписанный угол.

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямойСледовательно, по теореме о вписанном угле,

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Что и требовалось доказать.

Из этого следует, например, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны — прямой.

Если центр описанной окружности лежит на диагонали четырехугольника, то угол напротив этой диагонали — прямой.

Другой вариант формулировки следствия:

Диаметр виден из любой точки окружности под углом 90º.

Если вписанный угол связать с дугой, то следствие из теоремы о вписанном угле звучит так:

Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой.

📺 Видео

ЗАДАНИЕ 1| ЕГЭ ПРОФИЛЬ|Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 1/5 окружностСкачать

ЗАДАНИЕ 1| ЕГЭ ПРОФИЛЬ|Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 1/5 окружност

Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать

Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математика

ОГЭ Задание 25 Вписанный угол опирается на диаметрСкачать

ОГЭ Задание 25 Вписанный угол опирается на диаметр

Решение задач на тему центральные и вписанные углы.Скачать

Решение задач на тему центральные и вписанные углы.

Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать

Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |

Геометрия, номер 34.1 (вписанный угол)Скачать

Геометрия, номер 34.1 (вписанный угол)

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

Как найти центр и радиус нарисованной окружности #математика #егэ2023 #школа #fyp #shortsСкачать

Как найти центр и радиус нарисованной окружности #математика #егэ2023 #школа #fyp #shorts

ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать

ОГЭ 2019.  Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный Угол

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая Эйлера

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс АтанасянСкачать

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс Атанасян

Вписанный угол равен половине центрального углаСкачать

Вписанный угол равен половине центрального угла
Поделиться или сохранить к себе: