- Углы, связанные с окружностью
- Вписанные и центральные углы
- Теоремы о вписанных и центральных углах
- Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими
- Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью
- Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямой
- Вписанный угол, опирающийся на диаметр
- 💥 Видео
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Углы, связанные с окружностью
 Вписанные и центральные углы |
| Углы, образованные хордами, касательными и секущими |
| Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью |
Видео:Свойство вписанного угла, опирающегося на диаметрСкачать
Вписанные и центральные углы
Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).
Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).
Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.
Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.
Видео:Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружностиСкачать
Теоремы о вписанных и центральных углах
| Фигура | Рисунок | Теорема | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Вписанный угол |  | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Вписанный угол |  | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Вписанный угол |  | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Вписанный угол |  | Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Вписанный угол |  | Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Окружность, описанная около прямоугольного треугольника |  |
| Вписанный угол | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| Окружность, описанная около прямоугольного треугольника | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| Фигура | Рисунок | Теорема | Формула |
| Угол, образованный пересекающимися хордами |  |  | |
| Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне круга |  |  | |
| Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания |  |  | |
| Угол, образованный касательной и секущей |  | | |
| Угол, образованный двумя касательными к окружности |  |  |
| Угол, образованный пересекающимися хордами хордами |
|
| Формула: |
| Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга |
| Формула: |
Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами |
| Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания |
|
| Формула: |
| Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей |
| Формула: |
Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами |
| Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности |
| Формулы: |
Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами Видео:Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104Скачать  Доказательства теорем об углах, связанных с окружностьюТеорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).
Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана. Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).
В этом случае справедливы равенства
и теорема 1 в этом случае доказана. Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).
В этом случае справедливы равенства
что и завершает доказательство теоремы 1. Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.
Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства
что и требовалось доказать. Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла. Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.
Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства
что и требовалось доказать. Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.
Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства
что и требовалось доказать Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла. Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.
Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства
что и требовалось доказать. Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.
Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство Видео:Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать  Впис угол опирающийся на диаметр окружности прямойКакое из следующих утверждений верно? 1. Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой. 2. Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны. 3. Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия. В ответ запишите номер выбранного утверждения. Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой: да, верно. Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны: нет, неверно; такие треугольники подобны. Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия: нет, неверно; отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия. Видео:ЗАДАНИЕ 1| ЕГЭ ПРОФИЛЬ|Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 1/5 окружностСкачать  Вписанный угол, опирающийся на диаметрВписанный угол, опирающийся на диаметр, обладает полезным свойством, вытекающим из теоремы о вписанном угле. Свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр (следствие из теоремы о вписанном угле) Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой. Так как AC- диаметр, то ∠AOC=180º. ∠AOC — центральный, ∠ABC — соответствующий ему вписанный угол.
Что и требовалось доказать. Из этого следует, например, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны — прямой. Если центр описанной окружности лежит на диагонали четырехугольника, то угол напротив этой диагонали — прямой. Другой вариант формулировки следствия: Диаметр виден из любой точки окружности под углом 90º. Если вписанный угол связать с дугой, то следствие из теоремы о вписанном угле звучит так:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой. 💥 Видео№655. Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. НайдитеСкачать  Геометрия, номер 34.1 (вписанный угол)Скачать  ОГЭ Задание 25 Вписанный угол опирается на диаметрСкачать  Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать  Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать  Решение задач на тему центральные и вписанные углы.Скачать  Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать  Как найти центр и радиус нарисованной окружности #математика #егэ2023 #школа #fyp #shortsСкачать  ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать  ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать  #207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать  Вписанный угол равен половине центрального углаСкачать  ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс АтанасянСкачать  |
Дано:
Следовательно, по теореме о вписанном угле,
