Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
Серединный перпендикуляр к отрезку |
Окружность описанная около треугольника |
Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов |
Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности |
- Серединный перпендикуляр к отрезку
- Окружность, описанная около треугольника
- Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
- Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности
- Вокруг всякого треугольника можно описать окружность то есть
- Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов
- 📽️ Видео
Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
Серединный перпендикуляр к отрезку
Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).
Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.
Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.
Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.
Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .
Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,
Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.
Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,
Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2
Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Окружность, описанная около треугольника
Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .
Видео:Вокруг любого треугольника можно описать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Фигура | Рисунок | Свойство | |
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника | Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке. Посмотреть доказательство | ||
Окружность, описанная около треугольника | Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника. Посмотреть доказательство | ||
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности | Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника. | ||
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности | Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы. Посмотреть доказательство | ||
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности | Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника. | ||
Теорема синусов | |||
Площадь треугольника | |||
Радиус описанной окружности |
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника |
Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):
,
где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.
Для любого треугольника справедливо равенство:
где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.
Для любого треугольника справедливо равенство:
где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.
Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать
Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности
Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).
Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
Следовательно, справедливо равенство:
откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.
Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).
При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:
из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.
Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)
.
Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:
l = 2Rsin φ . | (1) |
Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).
Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.
Формула (1) доказана.
Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):
Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать
Вокруг всякого треугольника можно описать окружность то есть
Какие из следующих утверждений верны?
1) Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.
2) В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.
3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.
4) Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.
Проверим каждое из утверждений.
1) «Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.» — верно, oколо треугольника можно описать окружность, притом только одну.
2) «В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.» — верно, в любой треугольник можно вписать окружность.
3) «Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.» — неверно, центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника.
4) «Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.» — неверно, центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис треугольника.
Выражение «не более одной» означает, что окружностей не может быть больше одной. Выражение «не менее одной» означает, что окружностей не может быть меньше одной. В частности, «ровно одна окружность» удовлетворяет как условию «не более одной», так и условию «не менее одной».
Утверждение «В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности» можно сформулировать так: «В любой треугольник можно вписать хотя бы одну окружность». Если бы это утверждение было неверным, это означало бы, что существуют треугольники, в которые нельзя вписать хотя бы одну окружность, но таких треугольников не существует, поэтому утверждение является верным.
Видео:Треугольник и окружность #shortsСкачать
Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов
Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.
Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.
Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.
Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.
Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.
Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?
В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.
Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.
Вот еще две формулы для площади.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.
— радиус окружности, вписанной в треугольник.
Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :
где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.
Для любого треугольника верна теорема синусов:
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .
Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .
Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:
Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .
В ответ запишем .
. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.
По теореме синусов,
Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .
. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.
, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем . Тогда .
Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .
📽️ Видео
№708. Докажите, что можно описать окружность: а) около любого прямоугольника; б) около любойСкачать
Вокруг любого параллелограмма можно описать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Окружность и треугольникСкачать
Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)Скачать
Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Как найти диаметр окружности, описанной около равнобедренного треугольникаСкачать
Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать
В любой треугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать
8 класс, 39 урок, Описанная окружностьСкачать
Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать
4K Как описать окружность вокруг треугольника, видео 2023 годСкачать
Как узнать, что около четырехугольника можно описать окружность?😍 #математика #математикаегэ #егэСкачать
Геометрия Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб является квадратомСкачать