Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно или

Описанная окружность

Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно или

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиАВС.

Доказать: около Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиАВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиАВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно или

Точка О равноудалена от вершин Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиАВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно или

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно или

Углы В и Dвписанные, тогда по теореме о вписанном угле: Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВ = Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиАDС, Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиD = Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиАВС, откуда следует Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВ + Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиD = Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиАDС + Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиАВС = Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно или(Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиАDС + Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиАВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиАDС + Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиАВС = 360 0 , тогда Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВ + Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиD = Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно или360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение:

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

Доказательство

Дано: четырехугольник АВСD, Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиBАD + Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиBСD = 180 0 .

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно или

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно или

Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВСDвнешний угол Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиСFD, следовательно, Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиBСD = Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВFD + Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиFDE. (1)

Углы ВFD и FDEвписанные. По теореме о вписанном угле Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВFD = Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВАD и Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиFDE = Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиBСD = Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВАD + Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиЕF = Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно или(Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВАD + Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиЕF), следовательно, Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВСDВокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВАD.

Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиBАD вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиBАD = Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВЕD, тогда Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиBАD + Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиBСDВокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно или(Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВЕD + Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВАD).

Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВЕD + Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВАD = 360 0 , тогда Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиBАD + Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиBСDВокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно или360 0 = 180 0 .

Итак, мы получили, что Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиBАD + Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиBСDВокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно или180 0 . Но это противоречит условию Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиBАD + Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиBСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно или

По теореме о сумме углов треугольника в Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВСF: Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиС + Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВ + Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиF = 180 0 , откуда Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиС = 180 0 — ( Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВ + Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиF). (2)

Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВ вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВ = Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиЕF. (3)

Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиF и Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВFD смежные, поэтому Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиF + Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВFD = 180 0 , откуда Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиF = 180 0 — Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВFD = 180 0 — Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВАD. (4)

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиС = 180 0 — (Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиЕF + 180 0 — Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВАD) = 180 0 — Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиЕF — 180 0 + Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВАD = Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно или(Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВАDВокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиЕF), следовательно, Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиСВокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВАD.

Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиА вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиА = Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВЕD, тогда Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиА + Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиСВокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно или(Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВЕD + Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиВАD). Но это противоречит условию Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиА + Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиС =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и ОКРУЖНОСТЬ | ЕГЭ Математика | @matematikajСкачать

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и ОКРУЖНОСТЬ | ЕГЭ Математика | @matematikaj

Около четырехугольника можно описать окружность

Теорема (свойство вписанного четырёхугольника)

Сумма противолежащих углов вписанного четырёхугольника равна 180°.

Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиДано: ABCD вписан в окр. (O; R)

∠A — вписанный угол, опирающийся на дугу BCD.

∠C — вписанный угол, опирающийся на дугу DAB.

Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то

Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно или

Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно или

Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно или

Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно или

Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно или

Что и требовалось доказать.

Теорема (признак вписанного четырёхугольника)

Около четырёхугольника можно описать окружность, если сумма его противолежащих углов равна 180°.

Дано: ABCD — четырёхугольник,

Доказать: ABCD можно вписать в окружность

Опишем окружность около треугольника ABC и докажем, что точка D лежит на этой окружности.

Доказательство будем вести методом от противного.

Предположим, что точка D не лежит на описанной около треугольника ABD окружности. Тогда D лежит либо внутри этой окружности, либо вне её.

Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиПусть точка D лежит внутри окружности и луч AD пересекает окружность в точке E.

В этом случае четырёхугольник ABCE — вписанный, и сумма его противолежащих углов равна 180°: ∠B+∠E=180°.

По условию, ∠B+∠D=180°. Отсюда следует, что ∠D=∠E.

Но угол D — внешний угол треугольника DCE при вершине D.

Так как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с ним углов, то

∠ADC=∠DEC+∠DCE, то есть угол D не может быть равным углу E. Пришли к противоречию. А значит, точка D не может лежать внутри окружности, описанной около треугольника ABC.

Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно илиПредположим, что точка D лежит вне описанной около треугольника ABC окружности.

Луч AD пересекает окружность в точке E.

Тогда ABCE — вписанный четырёхугольник и ∠B+∠E=180°.

По условию, ∠B+∠D=180°. Получаем, что ∠D=∠E.

Но угол E — внешний угол треугольника ECD при вершине E. А значит,

∠AEC=∠EDC+∠DCE, то есть углы D и E не могут быть равными. Противоречие получили потому, что предположили, что точка D лежит вне окружности.

Так как точка D не может лежать внутри либо вне описанной около треугольника ABC окружности, то D лежит на этой окружности. Это значит, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

Что и требовалось доказать.

На основании свойства и признака вписанного четырёхугольника сформулируем необходимое и достаточное условие вписанного четырёхугольника.

Теорема (Необходимое и достаточное условие вписанного четырёхугольника)

Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма уго противолежащих углов равна 180°.

Видео:Вокруг любого треугольника можно описать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Вокруг любого треугольника можно описать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Вписанные и описанные четырехугольники

Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника.

Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.

На рисунке — вписанные и описанные четырехугольники и их свойства.

Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно или

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Посмотрим, как эти свойства применяются в решении задач ЕГЭ.

. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно или

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна . Пусть угол равен . Тогда напротив него лежит угол в градусов. Если угол равен , то угол равен .

. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен .

Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно или

Пусть сторона равна , равна , а . По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит,

Получается, что равна . Тогда периметр четырехугольника равен . Мы получаем, что , а большая сторона равна .

. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен . Найдите ее среднюю линию.

Вокруг любого четырехугольника можно описать окружность верно или

Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны и , а боковые стороны — и . По свойству описанного четырехугольника,
, и значит, периметр равен .
Получаем, что , а средняя линия равна .

Еще раз повторим свойства вписанного и описанного четырехугольника.

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны .

Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

Докажите эти утверждения. Это задание особенно полезно тем, кто решает задачи второй части профильного ЕГЭ по математике.

🎬 Видео

Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать

Если в четырёхугольник можно вписать окружность

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Как узнать, что около четырехугольника можно описать окружность?😍 #математика #математикаегэ #егэСкачать

Как узнать, что около четырехугольника можно описать окружность?😍 #математика #математикаегэ #егэ

Вокруг любого параллелограмма можно описать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Вокруг любого параллелограмма можно описать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрия

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.

Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)

Окружность, описанная вокруг четырёхугольника | МатематикаСкачать

Окружность, описанная вокруг четырёхугольника | Математика

Геометрия Известно, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность и что продолжениеСкачать

Геометрия Известно, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность и что продолжение

Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4Скачать

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4

Вписанные и описанные окружности в четырёхугольникиСкачать

Вписанные и описанные окружности в четырёхугольники

Окружность, вписанная в четырехугольникСкачать

Окружность, вписанная в четырехугольник

№8. Верно ли утверждение: а) если две точки окружности лежат в плоскостиСкачать

№8. Верно ли утверждение: а) если две точки окружности лежат в плоскости

Построение окружности по трём точкам.Скачать

Построение окружности по трём точкам.

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольника

ОПИСАННЫЕ И ВПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА . §10 геометрия 8 классСкачать

ОПИСАННЫЕ И ВПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА . §10 геометрия 8 класс
Поделиться или сохранить к себе: