Во всякий четырехугольник можно вписать окружность верно

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны 90° , то эти две прямые параллельны.

2) В любой четырёхугольник можно вписать окружность.

3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны 90° , то эти две прямые параллельны» — верно, по признаку параллельности прямых.

2) «В любой четырёхугольник можно вписать окружность» — неверно, поскольку в выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

3) «Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника» — верно, по свойству треугольника.

Во всякий четырехугольник можно вписать окружность

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

2) В любой четырёхугольник можно вписать окружность.

Проверим каждое из утверждений.

Во всякий четырехугольник можно вписать окружность

Укажите номера неверных утверждений. Выберите 2 варианта из списка.

1) В равнобедренном треугольнике все углы равны.

2) Во всякий четырёхугольник можно вписать окружность.

3) Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

4) Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

1) Неверно. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

2) Неверно. Во всякий выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность.

3) Верно. Так как стороны параллелограмма попарно равны.

4) Верно. Ответ: 12
2 1 7 9 1 4 2

Вписанная окружность

Окружность вписанная в многоугольник — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника. Центр вписанной окружности лежит внутри многоугольника, в который она вписана. Описанный около окружности многоугольник — это многоугольник, в который вписана окружность. На рисунке 1 четырехугольник АВСD описан около окружности с центром О, а четырехугольник АЕКD не является описанным около этой окружности, так как сторона ЕК не касается окружности.

Теорема

В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный АВС.

Доказать: в АВС можно вписать окружность.

Доказательство:

1. Проведем биссектрисы углов А, В и С, которые пересекутся в точке О (следствие из свойства биссектрис). Из точки О проведем перпендикуляры ОК, ОL и ОМ соответственно к сторонам АВ, ВС и СА (Рис. 2).

2. Точка О равноудалена от сторон АВС (свойство биссектрис), поэтому ОК = ОL = ОМ. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки К, L и М. Стороны АВС касаются этой окружности в точках К, L, М, т.к. они перпендикулярны к радиусам ОК, ОL и ОМ. Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в АВС. Теорема доказана.

Замечание 1

В треугольник можно вписать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудален от сторон треугольника и, значит, совпадает с точкой О пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, значит в треугольник можно вписать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной в него окружности.

Доказательство

На рисунке 2 мы видим, что АВС составлен из трех треугольников: АВО, ВСО и САО. Пусть АВ, ВС и АС основания треугольников АВО, ВСО и САО соответственно, тогда высотами данных треугольников окажутся отрезки ОК = ОL = ОМ = r ( r — радиус окружности с центром О). Следовательно, площади этих треугольников вычисляются по формулам: . Тогда, по свойству площадей, площадь треугольника АВС выражается формулой: , где — периметр АВС. Что и требовалось доказать.

Замечание 3

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, прямоугольник, у которого смежные стороны не равны, т.е. прямоугольник, не являющийся квадратом. В такой прямоугольник можно «поместить» окружность, касающуюся трех его сторон (Рис.3), но нельзя «поместить» окружность так, чтобы она касалась всех четырех его сторон, т.к. диаметр окружности меньше большей стороны прямоугольника т.е. нельзя вписать окружность. Что и требовалось доказать.

Если же в четырехугольник можно вписать окружность, то его стороны обладают следующим замечательным свойством:

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, описанный около окружности (Рис. 4).

На рисунке 4 одинаковыми буквами обозначены равные отрезки касательных, т.к. отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Тогда АВ + СD = и ВС + АD = , следовательно, АВ + СD = ВС + АD.

Верно и обратное утверждение:

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Доказательство

Пусть в выпуклом четырехугольнике АВСD

АВ + СD = ВС + АD. (1)

Точка О пересечения биссектрис углов А и В равноудалена от сторон АD, АВ и ВС (свойство биссектрис), поэтому можно провести окружность с центром О, касающуюся указанных трех сторон (Рис. 5).

Докажем, что эта окружность касается также стороны СD и, значит, является вписанной в четырехугольник АВСD.

Предположим, что это не так. Тогда прямая СD либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей. Рассмотрим первый случай (Рис. 6). Проведем касательную С₁D₁, параллельную стороне СD (С₁ и D₁ — точки пересечения касательной со сторонами ВС и АD).

Так как АВС₁D₁ — описанный четырехугольник, то по свойству его противоположных сторон

АВ + С₁D₁ = ВС₁ + AD₁. (2)

Но ВС₁ = ВС — С₁С, АD₁ = АD — D₁D, поэтому из равенства (2) получаем:

С₁D₁ + С₁С + D₁D = ВС + АD — АВ.

Правая часть этого равенства в силу (1) равна СD. Следовательно, приходим к равенству

т.е. в четырехугольник С₁СDD₁ одна сторона равна сумме трех других сторон. Но этого не может быть, т.к. к аждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон. Значит, наше предположение ошибочно. Аналогично можно доказать, что прямая CD не может быть секущей окружности. Следовательно, окружность касается стороны СD. Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях: