Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать
Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница
В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.
Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.
Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).
Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.
Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Свойства касательной к окружности
Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.
Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.
Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:
окружность с центральной точкой А;
прямая а — касательная к ней;
радиус АВ, проведенный к касательной.
Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ.
Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.
В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.
Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.
Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Задача
У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.
Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.
Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.
Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.
Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.
Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.
Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.
Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.
Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.
Задача 1
У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.
Решение
Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.
∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).
Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:
∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°
Итак, угол между касательными составляет 60°.
Задача 2
К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.
Решение
Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.
Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.
∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°
Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.
Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.
Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.
Задача 1
Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.
Решение
Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.
Найдем длину внешней части секущей:
МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)
МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64
Задача 2
Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.
Решение
Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.
В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.
Поскольку МВ = 2 МА, значит:
МА = МВ : 2 = (у + R) : 2
Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.
(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)
Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:
Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).
Ответ: MO = 10 см.
Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.
Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.
Задача 1
Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.
Решение
Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.
АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°
Задача 2
У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.
Решение
Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:
КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°
Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.
∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2
Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:
∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Треугольник вписанный в окружность
Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать
Определение
Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.
На рисунке 1 изображена окружность, описанная около треугольника и окружность, вписанная в треугольник.
ВD= FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.
O — центр вписанной в треугольник окружности.
Видео:8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать
Формулы
Радиус вписанной окружности в треугольник
r — радиус вписанной окружности.
Радиус вписанной окружности в треугольник, если известна площадь и все стороны:
Радиус вписанной окружности в треугольник, если известны площадь и периметр:
Радиус вписанной окружности в треугольник, если известны полупериметр и все стороны:
Радиус описанной окружности около треугольника
R — радиус описанной окружности.
Радиус описанной окружности около треугольника, если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:
Радиус описанной окружности около треугольника, если известны все стороны и площадь:
Радиус описанной окружности около треугольника, если известны все стороны и полупериметр:
Площадь треугольника
S — площадь треугольника.
Площадь треугольника вписанного в окружность, если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:
Площадь треугольника вписанного в окружность, если известен полупериметр:
Площадь треугольника вписанного в окружность, если известен высота и основание:
Площадь треугольника вписанного в окружность, если известна сторона и два прилежащих к ней угла:
Площадь треугольника вписанного в окружность, если известны две стороны и синус угла между ними:
[ S = fracab cdot sin angle C ]
Периметр треугольника
P — периметр треугольника.
Периметр треугольника вписанного в окружность, если известны все стороны:
Периметр треугольника вписанного в окружность, если известна площадь и радиус вписанной окружности:
Периметр треугольника вписанного в окружность, если известны две стороны и угол между ними:
Сторона треугольника
a — сторона треугольника.
Сторона треугольника вписанного в окружность, если известны две стороны и косинус угла между ними:
Сторона треугольника вписанного в окружность, если известна сторона и два угла:
Средняя линия треугольника
l — средняя линия треугольника.
Средняя линия треугольника вписанного в окружность, если известно основание:
Средняя линия треугольника вписанного в окружность, если известныдве стороны, ни одна из них не является основанием, и косинус угламежду ними:
Высота треугольника
h — высота треугольника.
Высота треугольника вписанного в окружность, если известна площадь и основание:
Высота треугольника вписанного в окружность, если известен сторона и синус угла прилежащего к этой стороне, и находящегося напротив высоты:
[ h = b cdot sin alpha ]
Высота треугольника вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности и две стороны, ни одна из которых не является основанием:
Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать
Свойства
Центр вписанной в треугольник окружности находится на пересечении биссектрис.
В треугольник, вписанный в окружность, можно вписать окружность, причем только одну.
Для треугольника, вписанного в окружность, справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов и Теорема Пифагора.
Центр описанной около треугольника окружности находится на пересечении серединных перпендикуляров.
Все вершины треугольника, вписанного в окружность, лежат на окружности.
Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и треугольника, в который вписана окружность, можно найти по формуле Герона.
Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
Доказательство
Около любого треугольника, можно описать окружность притом только одну.
окружность и треугольник, которые изображены на рисунке 2.
окружность описана около треугольника.
Проведем серединные перпендикуляры — HO, FO, EO.
O — точка пересечения серединных перпендикуляров равноудалена от всех вершин треугольника.
Центр окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров — около треугольника описана окружность — O, от центра окружности к вершинам можно провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.
окружность описана около треугольника, что и требовалось доказать.
Подводя итог, можно сказать, что треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, в котором все серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке, и эта точка равноудалена от всех вершин треугольника.
Окружность
Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.
Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.
Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.
Видео:Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать
Основные термины
Касательная
Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
Свойства касательной
Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
Хорда
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.
Свойства хорд
Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.
Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.
Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M , то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.
Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать
Свойства окружности
Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку ( касательная ); иметь с ней две общие точки ( секущая ).
Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.
Теорема о касательной и секущей
Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC 2 = MA•MB .
Теорема о секущих
Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.
Видео:САМЫЙ СТРАННЫЙ ПРИМЕР 3 задания проф. ЕГЭ по математикеСкачать
Углы в окружности
Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.
Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.
Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.
Свойства углов, связанных с окружностью
Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.
Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.
Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.
Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Длины и площади
Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле:
Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле:
Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом ,измеренным в радианах, вычисляется по формуле:
Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в радиан вычисляется по формуле:
Видео:Секретная теорема из учебника геометрииСкачать
Вписанные и описанные окружности
Окружность и треугольник
центр вписанной окружности — точка пересечения биссектристреугольника, ее радиус r вычисляется по формуле:
где S — площадь треугольника, а — полупериметр;
центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, ее радиус R вычисляется по формуле:
здесь a, b, c — стороны треугольника, — угол, лежащий против стороны a , S — площадь треугольника;
центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;
центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный.
Окружность и четырехугольники
около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:
в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:
около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;
около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне;
в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.
📽️ Видео
Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать
Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать
