Внутренняя точка равностороннего треугольника (2 видео)

Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Содержание

Определение равностороннего треугольника
Свойства равностороннего треугольника
Свойство 1
Свойство 2
Свойство 3
Свойство 4
Свойство 5
Свойство 6
Пример задачи
Конспект по математике «Геометрия правильного треугольника»
Математика, которая мне нравится
Теорема Вивиани, элегантная и простая
🌟 Видео

Видео:Доказать, что сумма расстояний от внутренней точки правильного треугольника до его сторон постояннаСкачать

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.

Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.

Видео:Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

Свойство 2

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

Свойство 4

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.

Свойство 5

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

R – радиус описанной окружности;
r – радиус вписанной окружности;
R = 2r.

Свойство 6

В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:

1. Высоту/медиану/биссектрису:

2. Радиус вписанной окружности:

3. Радиус описанной окружности:

4. Периметр:

5. Площадь:

Видео:Простое решение задачи о внутренней точке правильного треугольникаСкачать

Пример задачи

Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.

Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:

Видео:Равносторонний треугольник в окружностиСкачать

Конспект по математике «Геометрия правильного треугольника»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Геометрия является самым могущественным

средством для изощрения наших умственных

способностей и дает нам возможность

правильно мыслить и рассуждать

Среди огромного количества самых разнообразных книг, по геометрии начиная от школьных учебников и кончая олимпиадными сборниками c ложно объединить известные или малоизвестные нам свойства геометрических фигур и их элементов. Поэтому появилось желание поглубже и повнимательнее рассмотреть, доказать иногда очевидное, иногда поразительное, а иногда просто фантастические, изумительные свойства привычных нам фигур.

На создание работы натолкнула старинная задача:

Сколько равносторонних треугольников изображено на знаменитой печати царя Соломона, изображенной на его гробнице?

Изучая школьный курс по планиметрии, мы часто сталкиваемся с понятием равностороннего треугольника ,знаем его определение ,основные свойства, формулы, умеем строить с помощью циркуля и линейки. Родилась идея собрать и доказать неизвестные в школьном курсе теоремы ,найти интересные задачи, связанные с равносторонним треугольником.

Объект исследования— изучение различных свойств равностороннего треугольника и задач, связанных с ним.

Предмет исследования –подбор задач и теорем.

Цели исследования— расширение и углубление теоретического материала, изученного на уроках математики, а также развитие умений применять полученные знания к решению нестандартных задач, формирование определенной культуры работы над задачами.

Для достижения этой цели необходимо было решить следующие задачи:

1) самостоятельно исследовать известные свойства равностороннего треугольника;

2) изучить дополнительную литературу с целью ознакомления с другими интересными свойствами;

3) объединить и обобщить свойства и теоремы из различных источников;

4) провести анализ различных способов решения и доказательства;

5) исследовать значимость данных задач в школьном курсе математии и для подготовки при поступлении в вузы;

6) пропагандировать необходимость изучения данной темы в школьном курсе математики.

Гипотеза: сколько существует свойств равностороннего треугольника?

Методы исследования: анализ, синтез, сравнение.

1.Анализ литературы и источников Интернет по заявленной теме.

3.Создание презентации исследования.

4.Представление результатов на НПК.

5.Обсуждение вопросов исследования на конференции.

Актуальность и практическая значимость:

— исследованные теоремы и задачи способствуют эффективному и рациональному решению задач;

-её могут использовать школьники и взрослые при решении определенных задач;

-учителя при проведении уроков математики и факультативных занятий;

-данное исследование будет полезно учащимся при самостоятельной подготовке к выпускным и вступительным экзаменам;

-полезно ученикам, для которых математика не просто школьный предмет.

С надеждой отмечаю, что знание этих свойств, многие из которых составляют содержания известных теорем, а другие еще не попали в школьные учебники, являются вполне достаточным условием для решения задач по планиметрии.

2.1 Основные свойства и теоремы

Определение 1. Если все три стороны треугольника равны, то такой треугольник называется равносторонним.
Он является частным видом равнобедренного треугольника.

Свойство 1. Высота равностороннего треугольника, опущенная на строну, одновременно является биссектрисой угла между сторонами, медианой и осью симметрии стороны.
Свойство 2. В равностороннем треугольнике совпадают все замечательные точки: центр тяжести, центры вписанной и описанной окружностей, точка пересечения высот (называемая ортоцентром треугольника).

Свойство 3. Из всех треугольников с заданным периметром равносторонний треугольник имеет наибольшую площадь.

Свойство 4. Из всех треугольников с заданной площадью равносторонний треугольник имеет наименьший периметр

Таблица зависимости между элементами равностороннего треугольника

2.2 Произвольная точка внутри треугольника

1. Сумма расстояний от любой точки внутри правильного треугольника до его сторон равна высоте этого треугольника

Действительно, соединяем точку P с вершинами ∆ABC S _ABP =AB•PK

S _CPB = •PL•BC

S _APC = •AC•PM

S _ABC = •AC•h

a•h= a•PM+ a•PL+ a•PM

2. Из некоторой точки М внутри правильного ∆АВС опущены перпендикуляры МН, МК и МР на стороны АВ, ВС и СА соответственно. Справедливы следующие соотношения:

а)

1) Соединим точку М с вершинами ∆АВС

2) Рассмотрим ∆АМН

3) Рассмотрим ∆MBK

4) Рассмотрим ∆PMC

5) Аналогично для ∆HMB, ∆MKC, ∆APM

HB 2 + KC 2 + PA 2 = BM 2 — MN 2 + CM 2 – MK 2 + AM 2 – PM 2

6)вычтя первое равенство из второго, получим

HB 2 + KC 2 + PA 2 = CP 2 +BK 2 + AH 2

б) AH + BK + CP = HB + KC + PA .

1) Проведём через M прямые, параллельные сторонам ∆ABC

5) ∆QMR, ∆FMN, ∆LME – равносторонние

6) MP, MH, MK – высоты, медианы, биссектриса

AK+BK+CP=HB+KC+PA AF+FH+BL+LK+CR+RP=HN+NB+KE+EC+PQ+RA

AH + BK + CP = HB + KC + PA

3.Если из любой точки внутри равностороннего треугольника, опустить перпендикуляры на стороны и соединить с вершинами, то сумма площадей трех из шести треугольников через одного равна сумме оставшихся.

Проведем через эту точку прямые параллельные сторонам. Заметим, что теперь получились 12 треугольников, которые попарно равныплощади их тоже равнытакже каждый из двух равных треугольников не входит в одинаковую тройкуплощадь каждой тройки состоит из 6 разных маленьких площадейплощадь троек равна

4. Через точку О внутри равностороннего треугольника проведены прямые, проходящие через его вершины. В результате получилось 6 треугольников, 3 из которых через один заштриховали. Д-ть, что если сумма площадей заштрихованных треугольников равна половине площади равностороннего треугольника, то точка О лежит на одной из медиан этого треугольника.

Примем сторону равностороннего треугольника равной 2 и обозначим длины отрезков АС₁, ВА₁ и СВ₁ через 1+а, 1+b и 1+с соответственно. Тогда длины отрезков С₁В, А₁С и В₁А соответственно равны 1-а, 1-b и 1-с. Заметим, что сумма площадей треугольников АВВ₁, ВСС₁ и САА₁ равна полутора площадям треугольника АВС. Если обозначить высоту треугольника АВС через h, то это равенство можно записать:

С другой стороны, отношение площадей треугольников АОС и ВОС равно

, т.к. у них общее основание ОС, а высоты относятся, как . Аналогично отношение площадей треугольников ВОА и АОС, ВОС и АОВ равно и соответственно. Перемножим эти отношения и заметим, что площадь каждого из трех треугольников АОВ, АОС и ВОС по одному разу встречается в числителе и знаменателе, т.е. это произведение равно 1.Отсюда:

Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим:

Но =0, . Это означает, что хотя бы одно из чисел a,b,c равно 0, т.е. точка О лежит на одной из медиан.

2.3 Правильный треугольник и описанная окружность

1. Если вокруг правильного ∆АВС описать окружность, и на дуге ВС взять точку М, то справедливо равенство

По теореме Птолемея для четырехугольника ABMC :

Т . к AB=BC=AC=a, то

а •|AM| = а •|BM| + а •|CM|

2. Теорема Помпея.

Пусть ∆АВС – правильный и М – произвольная точка плоскости, не лежащая на описанной окружности. Докажем, что существует треугольник со сторонами AM, BM и CM|

Отметим точки пересечения хорды А₁С₁ с ∆АВС – E и F.

, т.к. равен ,аналогично

∆ BFA₁ – равнобедренный BF=FA₁,но тогда BF = FA ₁= EF = BE , т.е .∆EBF – равносторонний

BF=EF FA₁=EF. Аналогично получаем, что C₁E=EF.

3 . Если на стороне ВС правильного ∆АВС, как на диаметре вовне построить полуокружность, на которой взять точки К и L, делящих ее на равные части, то прямые АК и АL делят сторону ВС также на равные части.

1)Отметим точку О так, что BO=OC. Проводим OK и OL. OK=OL=BO=OC=R ∆BOK и ∆OLC равнобедренные. Но BOK равен дуге BK, а OBK равен полудуге и KLC и равен дуге BK (аналогично для ∆OLC) ∆OBK равен ∆OCL – они оба равносторонние.

2) ∆ALC равен ∆ABK (ABK = ALC

AB = AC и BK = LC )

∆ PKO =∆ OLQ ( KOB = LOC и QAC = PAB , OK = OL )

OP=OQ и BO – OP=OC-OQ

3) OL||AC, т . к , LOC= ACO

AQC= ALO

∆ AQC подобен ∆OAL

OL=1/2•AC OQ=1/2•QC

2OQ=OC=PQ

2.4 Правильный треугольник и произвольная окружность

1 Если окружность делит каждую из сторон треугольника на три равные части (A A₂=C₁ A₂=C C₁ ; A₁B₂=B₂B= AA₁; ВВ₁=В₁С₂=С₂С), то треугольник – правильный.

По свойству двух секущих к окружности:

a (a+a)=b(b+b)

a 2 =b 2

Аналогично b=c=a

2. Внутри окружности построен правильный ∆AB C , его стороны продлены до пересечения с окружностью в A ₁, A ₂, B ₁, B ₂, C ₁ и C ₂. Тогда AA₁+B B ₁+ CC ₁= AA₂+B B ₂+ CC ₂

Пусть AB = a . По свойству двух хорд в окружности:

Из этих трех равенств получаем:

3. Окружность высекает на сторонах правильного ∆ ABC равные отрезки Тогда

По свойству двух секущих к окружности:

Что возможно только при АА₁=АА₂.

Заметим, что данное равенство свойственно любому произвольному треугольнику .

2.5 Высоты в треугольнике

1. Если ортоцентр остроугольного треугольника делит его высоты в одном и том же отношении, то треугольник – правильный.

1.Рассмотрим ∆AKL и ∆BK N .

AK L = BK N ,т.к. они вертикальные ;

KLA = B N К =90°

∆ AKL и ∆BK N подобны.

по условию- ;

Из п.1 ;

, по условию AK=z•KN,

AK=KB;

KL= NK

BL= AN , также для ∆LKC и ∆PKB.

2.Если в остроугольном треугольнике АВС угол В=60 0 , АМ и С N – его высоты, а Q – середина стороны АС, то треугольник MNQ – равносторонний.

Т.к. АМ и С N – высоты, то точки N и M, лежат на полуокружности с диаметром АС и центром в точке Q.

=30 0

, т.к. опираются на одну дугу NM , — центр.

QM = QN = NM

— равносторонний

3. Медианы разбивают треугольник АВС на шесть треугольников. Оказалось, что четыре из окружностей, вписанных в эти треугольники, равны. Доказать, что треугольник правильный.

Площади всех шести треугольников, на которые разбивается данный треугольник его медианами, равны.

В силу этого равенства радиусов вписанных окружностей и формулы S = pr следует равенство периметров четырех из таких треугольников.

Так как два из них примыкают к одной стороне, скажем к АВ, то АМ=МВ, поэтому МК – медиана и высота АМВ и АС=ВС.

Если равны радиусы окружностей, вписанных в ALM и AKM , то эти треугольники равны (как треугольники с равными площадями, периметрами и основаниями), причем AL = AK , т.е. АС=АВ и АВС правильный.

Если равны периметры CLM и КМВ, то, пользуясь равенством длин отрезков касательной, проведенных из одной точки, получим: CL + LM + CM =2. CL +2 x =2.ВК+2х (х – расстояние от точки М до точки касания с соответствующей окружностью). Отсюда следует, что АС=АВ.

2.6 Интересные задачи

1.Возьмем внутри квадрата ABCD такую точку N, что NDC=NCD=15°. Тогда ∆ANB – правильный.

NDC = NCD=. Решим обратную задачу.

Построим на стороне AB квадрата равносторонний ∆ABN, чтобы вершина N лежала внутри квадрата. Тогда ∆CNB равнобедренный. Его угол при вершине равен , следовательно, угол при основании равен. Отсюда DCN== . Аналогично получаемCND =.По условию DCM= CDM= . Значит, точка N лежит на луче СМ и на луче DM, следовательно, совпадает с М.

3.Если равносторонние треугольники АВС и PQR расположены так, что вершина С лежит на стороне PQ, а вершина R – на стороне АВ, то четырехугольник ABPQ – трапеция.

около четырехугольника ARCQ можно описать окружность.

около четырехугольника B RC P можно описать окружность.

, и поэтому

4.Чему будет равняться угол между двумя лучами, выпущенными из вершин при основании равностороннего треугольника, если площадь треугольника APC равна площади четырехугольника BMPN?

, т.к. — общая площадь

AC = BC ,

, образован поворотом вокруг т.А и сдвигом на

Угол поворота равен 120 0

Угол между CN и AM тоже 120 0

2.7 Построения при помощи линейки и шаблона в форме равностороннего треугольника

1. Пользуясь односторонней линейкой и шаблоном имеющим форму правильного треугольника, разделите данный отрезок на 2 равных отрезка.

С помощью линейки продолжим отрезок АВ за точки А и В, затем с помощью шаблона по разные стороны прямой АВ построим два равносторонних треугольника. Отрезок, соединяющих вершины этих треугольников, пересекает отрезок АВ в его середине.

2. Пользуясь односторонней линейкой и шаблоном, имеющим форму правильного треугольника, разделите данный отрезок на три равных отрезка.

Выполнив построения показанные на рисунке получим точки C и D, делящие отрезок АВ на три равные части.

2.8 Исторические задачи

Теоремы Наполеона

Пусть ∆ABC — произвольный треугольник, и пусть на его сторонах построены равносторонние ∆ABX, ∆BCY и ∆CAZ (точки X, Y и Z лежат вне треугольника ABC). Тогда центры ∆ABX, ∆BCY и ∆CAZ являются вершинами равностороннего треугольника

Часто для доказательства теоремы Наполеона использует комплексные числа, мы же нашли красивое геометрическое доказательство.

Лемма. Окружности, описанные около ∆ABX, ∆BCY и ∆CAZ, пересекаются в одной точке.

.Пусть P — точка пересечения окружностей, описанных около ∆BCY и ∆CAZ. Предположим, что точка P лежит внутри ∆ABC (другие случаи рассматриваются аналогично). Тогда из свойства вписанного четырехугольника вытекает, что углы BPC и CPA равны 120°. Следовательно, APB также равен 120° и точка P лежит также на окружности описанной около ∆ABX.

Обозначим через K, L и M центры ∆ABX, ∆BCY и ∆CAZ соответственно. Как известно, прямая, соединяющая центры пересекающихся окружностей, перпендикулярна их общей хорде. Отсюда следует, что KL перпендикулярно BP, LM перпендикулярно CP и MK перпендикулярно AP. В доказательстве леммы мы установили, что APB, BPC и CPA равны 120° (в случае, если точка P лежит внутри ∆ABC). По свойству углов с перпендикулярными сторонами отсюда вытекает, что KLM, LMK и MKL равны 60°, что и требовалось доказать.

2.Задача Тарталя

На данном отрезке АВ при помощи данного раствора циркуля (не равного АВ) и линейки построить равносторонний треугольник.

Из т. А данным радиусом на прямой АВ делаем засечку D . Далее, из т. В тем же радиусом, на той же прямой АВ делаем другую засечку С. Затем на отрезке СВ строим равносторонний треугольник СКВ а на отрезке А D – равносторонний треугольник А D Н. Точка пересечения сторон ВК и АН – точка М – даёт третью вершину искомого треугольника АМВ.

На данной конечной прямой АВ построить равносторонний треугольник.

Приняв A за центр, опишем окружность радиусом, равным данному отрезку. Далее, приняв В за центр опишем другую окружность с тем же радиусом. Обозначив одну из точек пересечения окружности через С и соединив ее прямыми с А и В, получим треугольник АВС, Который, как легко проверить, есть искомый.

В результате выполнения работы у меня расширились знания по математике.

Кроме известных свойств равностороннего треугольника ,узнал много интересных и полезных свойств, познакомился с историческими задачами, которые решали известные люди.

Считаю, что применение изложенного выше материала можно применять как в своей учебной деятельности ,так и в реальных ситуациях на экзаменах.

Применение новых свойств ускоряет решение некоторых задач в планиметрии.

Предложенный материал можно использовать на уроках математики, на факультативных занятиях с учащимися 7-11 классов.

Учителям – с целью подготовки к олимпиадам ,турнирам , различным интеллектуальным конкурсам.

Работа изложена доступным языком ,чтобы каждый любознательный ученик и продвинутый учитель ,которому это интересно, мог самостоятельно получить дополнительные знания по изумительным свойствам привычных нам фигур.

1.А. А. Фомин, Г. М. Кузнецова (сост.). Международные математические олимпиады- Дрофа, 1998.

2.Агаханов Н. X. Математика. Всероссийские олимпиады. Вып. 2 / Н. X. Агаханов, О. К. Подлипский; [под общ. ред. С. И. Демидовой, И. И. Колисниченко]. — М. : Просвещение, 2009. — 159 с.

3.Балаян Э.Н. 1001 олимпиадная и занимательная задачи по математике.

3-е изд. — Ростов н/Д : Феникс, 2008. — 364с.

4.Васильев Н.Б., Савин А.П., Егоров А.А. Избранные олимпиадные задачи. Математика. — М.: Бюро Квантум, 2007. — 160 с.

5.Математика. Всероссийские олимпиады. Вып. 1 / [Н. X. Агаханов, И. И. Богданов, П. А. Кожевников и др.]. — М. : Просвещение, 2008. — 192 с. ил.

Видео:НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКАСкачать

Математика, которая мне нравится

Математика для школьников и студентов, обучение и образование

Видео:Лекция 1. Точка на прямой. Метод прямоугольного треугольникаСкачать

Теорема Вивиани, элегантная и простая

Теорема Вивиани. Сумма расстояний от точки , находящейся внутри правильного треугольника, до трех сторон треугольника равна высоте треугольника независимо от выбора точки .

Эта теорема названа в честь итальянского математика Винченцо Вивиани (1622-1703), уроженца Флоренции. Галилео Галилей был настолько впечатлен талантом Вивиани, что стал работать с ним как с соавтором, когда тому было только 17 лет. Работали они вместе на вилле Арчетри, где он жил, выйдя в отставку будучи осужденным церковью, до своей смерти в 1642 году.

После смерти Галилея, в 1655 году, Вивиани составил и опубликовал свою работу, а также написал биографию Галилея, которая была опубликована уже после его смерти, в 1717 году.

В Музее Истории Флоренции на картине Тито Лесси можно увидеть Галилео Галилея со своим ассистентом Винченцо Вивиани.

В 1690 году Вивиани опубликовал итальянский перевод Евклида и переводы работ Архимеда и Аполлония.

Кроме того, он изучал инженерное дело и сопротивление материалов. Совместно с Борелли он рассчитал скорость звука в воздухе, получив результат м/с. Это приближение было гораздо лучше, чем полученное ранее — м/с, в то время как в действительности скорость звука составляет м/с.

Галилей и Вивиани

Кроме того, одна кривая названа кривой Вивиани. Она определяется как пересечение цилиндра со сферой, радиус которой равен диаметру цилиндра, при условии, что цилиндр проходит через центр сферы.

Теорема Вивиани интересна многочисленными ее доказательствами, а также она полезна при обучении геометрии. Существуют различные интересные задачи, требующие применения этой теоремы. Например, такая: остров имеет форму равностороннего треугольника, где нужно разместить кабинку для переодевания, чтобы сумма расстояний до трех пляжей была минимальной?…. Удивительно, что неважно, в каком месте. Все точки треугольника удовлетворяют требуемому свойству.

А теперь приведу доказательство теоремы Вивиани.

Доказательство. Пусть — внутренняя точка равностороннего треугольника со стороной . Высоту треугольника обозначим через . Рассмотрим треугольники и .