Внутренняя точка равностороннего треугольника

Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Видео:Доказать, что сумма расстояний от внутренней точки правильного треугольника до его сторон постояннаСкачать

Доказать, что сумма расстояний от внутренней точки правильного треугольника до его сторон постоянна

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.

Внутренняя точка равностороннего треугольника

Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.

Видео:Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

Формулы равностороннего треугольника #shorts

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

Внутренняя точка равностороннего треугольника

Свойство 2

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

Внутренняя точка равностороннего треугольника

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

Внутренняя точка равностороннего треугольника

Свойство 4

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.

Внутренняя точка равностороннего треугольника

Свойство 5

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

Внутренняя точка равностороннего треугольника

  • R – радиус описанной окружности;
  • r – радиус вписанной окружности;
  • R = 2r.

Свойство 6

В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:

1. Высоту/медиану/биссектрису:
Внутренняя точка равностороннего треугольника

2. Радиус вписанной окружности:
Внутренняя точка равностороннего треугольника

3. Радиус описанной окружности:
Внутренняя точка равностороннего треугольника

4. Периметр:
Внутренняя точка равностороннего треугольника

5. Площадь:
Внутренняя точка равностороннего треугольника

Видео:Простое решение задачи о внутренней точке правильного треугольникаСкачать

Простое решение задачи о внутренней точке правильного треугольника

Пример задачи

Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.

Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:

Видео:Равносторонний треугольник в окружностиСкачать

Равносторонний треугольник в окружности

Конспект по математике «Геометрия правильного треугольника»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Геометрия является самым могущественным

средством для изощрения наших умственных

способностей и дает нам возможность

правильно мыслить и рассуждать

Среди огромного количества самых разнообразных книг, по геометрии начиная от школьных учебников и кончая олимпиадными сборниками c ложно объединить известные или малоизвестные нам свойства геометрических фигур и их элементов. Поэтому появилось желание поглубже и повнимательнее рассмотреть, доказать иногда очевидное, иногда поразительное, а иногда просто фантастические, изумительные свойства привычных нам фигур.

На создание работы натолкнула старинная задача:

Сколько равносторонних треугольников изображено на знаменитой печати царя Соломона, изображенной на его гробнице?

Внутренняя точка равностороннего треугольника

Изучая школьный курс по планиметрии, мы часто сталкиваемся с понятием равностороннего треугольника ,знаем его определение ,основные свойства, формулы, умеем строить с помощью циркуля и линейки. Родилась идея собрать и доказать неизвестные в школьном курсе теоремы ,найти интересные задачи, связанные с равносторонним треугольником.

Объект исследования— изучение различных свойств равностороннего треугольника и задач, связанных с ним.

Предмет исследования –подбор задач и теорем.

Цели исследования— расширение и углубление теоретического материала, изученного на уроках математики, а также развитие умений применять полученные знания к решению нестандартных задач, формирование определенной культуры работы над задачами.

Для достижения этой цели необходимо было решить следующие задачи:

1) самостоятельно исследовать известные свойства равностороннего треугольника;

2) изучить дополнительную литературу с целью ознакомления с другими интересными свойствами;

3) объединить и обобщить свойства и теоремы из различных источников;

4) провести анализ различных способов решения и доказательства;

5) исследовать значимость данных задач в школьном курсе математии и для подготовки при поступлении в вузы;

6) пропагандировать необходимость изучения данной темы в школьном курсе математики.

Гипотеза: сколько существует свойств равностороннего треугольника?

Методы исследования: анализ, синтез, сравнение.

1.Анализ литературы и источников Интернет по заявленной теме.

3.Создание презентации исследования.

4.Представление результатов на НПК.

5.Обсуждение вопросов исследования на конференции.

Актуальность и практическая значимость:

— исследованные теоремы и задачи способствуют эффективному и рациональному решению задач;

-её могут использовать школьники и взрослые при решении определенных задач;

-учителя при проведении уроков математики и факультативных занятий;

-данное исследование будет полезно учащимся при самостоятельной подготовке к выпускным и вступительным экзаменам;

-полезно ученикам, для которых математика не просто школьный предмет.

С надеждой отмечаю, что знание этих свойств, многие из которых составляют содержания известных теорем, а другие еще не попали в школьные учебники, являются вполне достаточным условием для решения задач по планиметрии.

2.1 Основные свойства и теоремы

Внутренняя точка равностороннего треугольникаОпределение 1. Если все три стороны треугольника равны, то такой треугольник называется равносторонним.
Он является частным видом равнобедренного треугольника.

Свойство 1. Высота равностороннего треугольника, опущенная на строну, одновременно является биссектрисой угла между сторонами, медианой и осью симметрии стороны.
Свойство 2. В равностороннем треугольнике совпадают все замечательные точки: центр тяжести, центры вписанной и описанной окружностей, точка пересечения высот (называемая ортоцентром треугольника).

Свойство 3. Из всех треугольников с заданным периметром равносторонний треугольник имеет наибольшую площадь.

Свойство 4. Из всех треугольников с заданной площадью равносторонний треугольник имеет наименьший периметр

Таблица зависимости между элементами равностороннего треугольника

Внутренняя точка равностороннего треугольника

Внутренняя точка равностороннего треугольника

Внутренняя точка равностороннего треугольника

Внутренняя точка равностороннего треугольника

Внутренняя точка равностороннего треугольникаВнутренняя точка равностороннего треугольника

Внутренняя точка равностороннего треугольника

Внутренняя точка равностороннего треугольника

Внутренняя точка равностороннего треугольника

Внутренняя точка равностороннего треугольника

Внутренняя точка равностороннего треугольника

Внутренняя точка равностороннего треугольника

Внутренняя точка равностороннего треугольника

Внутренняя точка равностороннего треугольника

Внутренняя точка равностороннего треугольника

Внутренняя точка равностороннего треугольника

Внутренняя точка равностороннего треугольника

Внутренняя точка равностороннего треугольника

Внутренняя точка равностороннего треугольника

Внутренняя точка равностороннего треугольника

Внутренняя точка равностороннего треугольника

2.2 Произвольная точка внутри треугольника

Внутренняя точка равностороннего треугольника

1. Сумма расстояний от любой точки внутри правильного треугольника до его сторон равна высоте этого треугольника

Действительно, соединяем точку P с вершинами ∆ABC S ABP =Внутренняя точка равностороннего треугольникаAB•PK

S CPB = Внутренняя точка равностороннего треугольника•PL•BC

S APC = Внутренняя точка равностороннего треугольника•AC•PM

S ABC = Внутренняя точка равностороннего треугольника•AC•h

Внутренняя точка равностороннего треугольникаa•h= Внутренняя точка равностороннего треугольникаa•PM+ Внутренняя точка равностороннего треугольникаa•PL+ Внутренняя точка равностороннего треугольникаa•PM

Внутренняя точка равностороннего треугольника

2. Из некоторой точки М внутри правильного ∆АВС опущены перпендикуляры МН, МК и МР на стороны АВ, ВС и СА соответственно. Справедливы следующие соотношения:

а) Внутренняя точка равностороннего треугольника

1) Соединим точку М с вершинами ∆АВС

2) Рассмотрим ∆АМН

Внутренняя точка равностороннего треугольника

3) Рассмотрим ∆MBK

Внутренняя точка равностороннего треугольника

4) Рассмотрим ∆PMC

Внутренняя точка равностороннего треугольника

Внутренняя точка равностороннего треугольника

5) Аналогично для ∆HMB, ∆MKC, ∆APM

HB 2 + KC 2 + PA 2 = BM 2 — MN 2 + CM 2 – MK 2 + AM 2 – PM 2

6)вычтя первое равенство из второго, получим

HB 2 + KC 2 + PA 2 = CP 2 +BK 2 + AH 2

бВнутренняя точка равностороннего треугольника) AH + BK + CP = HB + KC + PA .

1) Проведём через M прямые, параллельные сторонам ∆ABC

5) ∆QMR, ∆FMN, ∆LME – равносторонние

6) MP, MH, MK – высоты, медианы, биссектриса Внутренняя точка равностороннего треугольника

AK+BK+CP=HB+KC+PA Внутренняя точка равностороннего треугольникаAF+FH+BL+LK+CR+RP=HN+NB+KE+EC+PQ+RA Внутренняя точка равностороннего треугольника

AH + BK + CP = HB + KC + PA

Внутренняя точка равностороннего треугольника

3.Если из любой точки внутри равностороннего треугольника, опустить перпендикуляры на стороны и соединить с вершинами, то сумма площадей трех из шести треугольников через одного равна сумме оставшихся.

Проведем через эту точку прямые параллельные сторонам. Заметим, что теперь получились 12 треугольников, которые попарно равныВнутренняя точка равностороннего треугольникаплощади их тоже равныВнутренняя точка равностороннего треугольникатакже каждый из двух равных треугольников не входит в одинаковую тройкуВнутренняя точка равностороннего треугольникаплощадь каждой тройки состоит из 6 разных маленьких площадейВнутренняя точка равностороннего треугольникаплощадь троек равна

Внутренняя точка равностороннего треугольника4. Через точку О внутри равностороннего треугольника проведены прямые, проходящие через его вершины. В результате получилось 6 треугольников, 3 из которых через один заштриховали. Д-ть, что если сумма площадей заштрихованных треугольников равна половине площади равностороннего треугольника, то точка О лежит на одной из медиан этого треугольника.

Примем сторону равностороннего треугольника равной 2 и обозначим длины отрезков АС1, ВА1 и СВ1 через 1+а, 1+b и 1+с соответственно. Тогда длины отрезков С1В, А1С и В1А соответственно равны 1-а, 1-b и 1-с. Заметим, что сумма площадей треугольников АВВ1, ВСС1 и САА1 равна полутора площадям треугольника АВС. Если обозначить высоту треугольника АВС через h, то это равенство можно записать:

Внутренняя точка равностороннего треугольника,

Внутренняя точка равностороннего треугольника=0

С другой стороны, отношение площадей треугольников АОС и ВОС равно

Внутренняя точка равностороннего треугольника, т.к. у них общее основание ОС, а высоты относятся, как Внутренняя точка равностороннего треугольника. Аналогично отношение площадей треугольников ВОА и АОС, ВОС и АОВ равно Внутренняя точка равностороннего треугольникаи Внутренняя точка равностороннего треугольникасоответственно. Перемножим эти отношения и заметим, что площадь каждого из трех треугольников АОВ, АОС и ВОС по одному разу встречается в числителе и знаменателе, т.е. это произведение равно 1.Отсюда:

Внутренняя точка равностороннего треугольника.

Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим:

Внутренняя точка равностороннего треугольника

Но Внутренняя точка равностороннего треугольника=0, Внутренняя точка равностороннего треугольникаВнутренняя точка равностороннего треугольника. Это означает, что хотя бы одно из чисел a,b,c равно 0, т.е. точка О лежит на одной из медиан.

2.3 Правильный треугольник и описанная окружность

Внутренняя точка равностороннего треугольника

1. Если вокруг правильного ∆АВС описать окружность, и на дуге ВС взять точку М, то справедливо равенство

По теореме Птолемея для четырехугольника ABMC :

Т . к AB=BC=AC=a, то

а •|AM| = а •|BM| + а •|CM| Внутренняя точка равностороннего треугольника

Внутренняя точка равностороннего треугольника

2. Теорема Помпея.

Пусть ∆АВС – правильный и М – произвольная точка плоскости, не лежащая на описанной окружности. Докажем, что существует треугольник со сторонами AM, BM и CM|

Отметим точки пересечения хорды А1С1 с ∆АВС – E и F.

Внутренняя точка равностороннего треугольника, т.к. Внутренняя точка равностороннего треугольникаравен Внутренняя точка равностороннего треугольника,аналогично Внутренняя точка равностороннего треугольника

∆ BFA1 – равнобедренный Внутренняя точка равностороннего треугольникаBF=FA1,но тогда BF = FA 1= EF = BE , т.е .∆EBF – равносторонний

BF=EF Внутренняя точка равностороннего треугольникаFA1=EF. Аналогично получаем, что C1E=EF.

Внутренняя точка равностороннего треугольника3 . Если на стороне ВС правильного ∆АВС, как на диаметре вовне построить полуокружность, на которой взять точки К и L, делящих ее на равные части, то прямые АК и АL делят сторону ВС также на равные части.

1)Отметим точку О так, что BO=OC. Проводим OK и OL. OK=OL=BO=OC=R Внутренняя точка равностороннего треугольника∆BOK и ∆OLC равнобедренные. Но Внутренняя точка равностороннего треугольникаBOK равен дуге BK, а Внутренняя точка равностороннего треугольникаOBK равен полудуге и Внутренняя точка равностороннего треугольникаKLC и равен дуге BK (аналогично для ∆OLC) Внутренняя точка равностороннего треугольника∆OBK равен ∆OCL – они оба равносторонние.

2) ∆ALC равен ∆ABK (Внутренняя точка равностороннего треугольникаABK = Внутренняя точка равностороннего треугольникаALC

AB = AC и BK = LC )

∆ PKO =∆ OLQ ( Внутренняя точка равностороннего треугольникаKOB = Внутренняя точка равностороннего треугольникаLOC и Внутренняя точка равностороннего треугольникаQAC = Внутренняя точка равностороннего треугольникаPAB , OK = OL ) Внутренняя точка равностороннего треугольника

OP=OQ и BO – OP=OC-OQ Внутренняя точка равностороннего треугольника

3) OL||AC, т . к , Внутренняя точка равностороннего треугольникаLOC= Внутренняя точка равностороннего треугольникаACO Внутренняя точка равностороннего треугольника

Внутренняя точка равностороннего треугольникаAQC= Внутренняя точка равностороннего треугольникаALO Внутренняя точка равностороннего треугольника

∆ AQC подобен ∆OAL

OL=1/2•AC Внутренняя точка равностороннего треугольникаOQ=1/2•QC Внутренняя точка равностороннего треугольника

2OQ=OC=PQ Внутренняя точка равностороннего треугольника

2.4 Правильный треугольник и произвольная окружность

Внутренняя точка равностороннего треугольника

1 Если окружность делит каждую из сторон треугольника на три равные части (A A2=C1 A2=C C1 ; A1B2=B2B= AA1; ВВ11С22С), то треугольник – правильный.

По свойству двух секущих к окружности:

a (a+a)=b(b+b) Внутренняя точка равностороннего треугольника

a 2 =b 2 Внутренняя точка равностороннего треугольника

Аналогично b=c=a Внутренняя точка равностороннего треугольника

Внутренняя точка равностороннего треугольника

2. Внутри окружности построен правильный ∆AB C , его стороны продлены до пересечения с окружностью в A 1, A 2, B 1, B 2, C 1 и C 2. Тогда AA1+B B 1+ CC 1= AA2+B B 2+ CC 2

Пусть AB = a . По свойству двух хорд в окружности:

Из этих трех равенств получаем:

Внутренняя точка равностороннего треугольника

3. Окружность высекает на сторонах правильного ∆ ABC равные отрезки Тогда

По свойству двух секущих к окружности:

Что возможно только при АА1=АА2.

Заметим, что данное равенство свойственно любому произвольному треугольнику .

2.5 Высоты в треугольнике

1Внутренняя точка равностороннего треугольника. Если ортоцентр остроугольного треугольника делит его высоты в одном и том же отношении, то треугольник – правильный.

1.Рассмотрим ∆AKL и ∆BK N .

Внутренняя точка равностороннего треугольникаAK L = Внутренняя точка равностороннего треугольникаBK N ,т.к. они вертикальные ;

Внутренняя точка равностороннего треугольникаKLA = Внутренняя точка равностороннего треугольникаB N К =90°

Внутренняя точка равностороннего треугольника∆ AKL и ∆BK N подобны.

по условию- Внутренняя точка равностороннего треугольника;

Из п.1 Внутренняя точка равностороннего треугольника;

Внутренняя точка равностороннего треугольника, по условию AK=z•KN,

Внутренняя точка равностороннего треугольникаAK=KB;

Внутренняя точка равностороннего треугольникаKL= NK

Внутренняя точка равностороннего треугольникаBL= AN , также для ∆LKC и ∆PKB.

Внутренняя точка равностороннего треугольника

2.Если в остроугольном треугольнике АВС угол В=60 0 , АМ и С N – его высоты, а Q – середина стороны АС, то треугольник MNQ – равносторонний.

Т.к. АМ и С N – высоты, то точки N и M, лежат на полуокружности с диаметром АС и центром в точке Q. Внутренняя точка равностороннего треугольника

Внутренняя точка равностороннего треугольника=30 0

Внутренняя точка равностороннего треугольника, т.к. опираются на одну дугу NM , Внутренняя точка равностороннего треугольника— центр. Внутренняя точка равностороннего треугольника

QM = QN = NM Внутренняя точка равностороннего треугольника

Внутренняя точка равностороннего треугольника— равносторонний

Внутренняя точка равностороннего треугольника

3. Медианы разбивают треугольник АВС на шесть треугольников. Оказалось, что четыре из окружностей, вписанных в эти треугольники, равны. Доказать, что треугольник правильный.

Площади всех шести треугольников, на которые разбивается данный треугольник его медианами, равны.

В силу этого равенства радиусов вписанных окружностей и формулы S = pr следует равенство периметров четырех из таких треугольников.

Так как два из них примыкают к одной стороне, скажем к АВ, то АМ=МВ, поэтому МК – медиана и высота Внутренняя точка равностороннего треугольникаАМВ и АС=ВС.

Если равны радиусы окружностей, вписанных в Внутренняя точка равностороннего треугольникаALM и AKM , то эти треугольники равны (как треугольники с равными площадями, периметрами и основаниями), причем AL = AK , т.е. АС=АВ и Внутренняя точка равностороннего треугольникаАВС правильный.

Если равны периметры Внутренняя точка равностороннего треугольникаCLM и КМВ, то, пользуясь равенством длин отрезков касательной, проведенных из одной точки, получим: CL + LM + CM =2. CL +2 x =2.ВК+2х (х – расстояние от точки М до точки касания с соответствующей окружностью). Отсюда следует, что АС=АВ.

2.6 Интересные задачи

Внутренняя точка равностороннего треугольника

1.Возьмем внутри квадрата ABCD такую точку N, что Внутренняя точка равностороннего треугольникаNDC=Внутренняя точка равностороннего треугольникаNCD=15°. Тогда ∆ANB – правильный.

Внутренняя точка равностороннего треугольникаNDC = Внутренняя точка равностороннего треугольникаNCD=Внутренняя точка равностороннего треугольника. Решим обратную задачу.

Построим на стороне AB квадрата равносторонний ∆ABN, чтобы вершина N лежала внутри квадрата. Тогда ∆CNB равнобедренный. Его угол при вершине равен Внутренняя точка равностороннего треугольника, следовательно, угол при основании равенВнутренняя точка равностороннего треугольника. Отсюда Внутренняя точка равностороннего треугольникаDCN=Внутренняя точка равностороннего треугольника= Внутренняя точка равностороннего треугольника. Аналогично получаемВнутренняя точка равностороннего треугольникаCND =Внутренняя точка равностороннего треугольника.По условию Внутренняя точка равностороннего треугольникаDCM= Внутренняя точка равностороннего треугольникаCDM= Внутренняя точка равностороннего треугольника. Значит, точка N лежит на луче СМ и на луче DM, следовательно, совпадает с М.

Внутренняя точка равностороннего треугольника

3.Если равносторонние треугольники АВС и PQR расположены так, что вершина С лежит на стороне PQ, а вершина R – на стороне АВ, то четырехугольник ABPQ – трапеция.

Внутренняя точка равностороннего треугольника Внутренняя точка равностороннего треугольникаоколо четырехугольника ARCQ можно описать окружность. Внутренняя точка равностороннего треугольника

Внутренняя точка равностороннего треугольника

Внутренняя точка равностороннего треугольника Внутренняя точка равностороннего треугольникаоколо четырехугольника B RC P можно описать окружность. Внутренняя точка равностороннего треугольника

Внутренняя точка равностороннего треугольникаВнутренняя точка равностороннего треугольника

Внутренняя точка равностороннего треугольникаВнутренняя точка равностороннего треугольника

Внутренняя точка равностороннего треугольника, и поэтому Внутренняя точка равностороннего треугольника

Внутренняя точка равностороннего треугольника4.Чему будет равняться угол между двумя лучами, выпущенными из вершин при основании равностороннего треугольника, если площадь треугольника APC равна площади четырехугольника BMPN?

Внутренняя точка равностороннего треугольникаВнутренняя точка равностороннего треугольника

Внутренняя точка равностороннего треугольника, т.к. Внутренняя точка равностороннего треугольника— общая площадь

AC = BC , Внутренняя точка равностороннего треугольника Внутренняя точка равностороннего треугольника

Внутренняя точка равностороннего треугольника, Внутренняя точка равностороннего треугольникаобразован поворотом Внутренняя точка равностороннего треугольникавокруг т.А и сдвигом на Внутренняя точка равностороннего треугольника

Угол поворота равен 120 0 Внутренняя точка равностороннего треугольника

Угол между CN и AM тоже 120 0

2.7 Построения при помощи линейки и шаблона в форме равностороннего треугольника

1. Пользуясь односторонней линейкой и шаблоном имеющим форму правильного треугольника, разделите данный отрезок на 2 равных отрезка.

Внутренняя точка равностороннего треугольника

С помощью линейки продолжим отрезок АВ за точки А и В, затем с помощью шаблона по разные стороны прямой АВ построим два равносторонних треугольника. Отрезок, соединяющих вершины этих треугольников, пересекает отрезок АВ в его середине.

2. Пользуясь односторонней линейкой и шаблоном, имеющим форму правильного треугольника, разделите данный отрезок на три равных отрезка.

Внутренняя точка равностороннего треугольника

Выполнив построения показанные на рисунке получим точки C и D, делящие отрезок АВ на три равные части.

2.8 Исторические задачи

ТВнутренняя точка равностороннего треугольникаеоремы Наполеона

Пусть ∆ABC — произвольный треугольник, и пусть на его сторонах построены равносторонние ∆ABX, ∆BCY и ∆CAZ (точки X, Y и Z лежат вне треугольника ABC). Тогда центры ∆ABX, ∆BCY и ∆CAZ являются вершинами равностороннего треугольника

Часто для доказательства теоремы Наполеона использует комплексные числа, мы же нашли красивое геометрическое доказательство.

Лемма. Окружности, описанные около ∆ABX, ∆BCY и ∆CAZ, пересекаются в одной точке.

.Пусть P — точка пересечения окружностей, описанных около ∆BCY и ∆CAZ. Предположим, что точка P лежит внутри ∆ABC (другие случаи рассматриваются аналогично). Тогда из свойства вписанного четырехугольника вытекает, что углы BPC и CPA равны 120°. Следовательно, Внутренняя точка равностороннего треугольникаAPB также равен 120° и точка P лежит также на окружности описанной около ∆ABX.

Обозначим через K, L и M центры ∆ABX, ∆BCY и ∆CAZ соответственно. Как известно, прямая, соединяющая центры пересекающихся окружностей, перпендикулярна их общей хорде. Отсюда следует, что KL перпендикулярно BP, LM перпендикулярно CP и MK перпендикулярно AP. В доказательстве леммы мы установили, что Внутренняя точка равностороннего треугольникаAPB, Внутренняя точка равностороннего треугольникаBPC и Внутренняя точка равностороннего треугольникаCPA равны 120° (в случае, если точка P лежит внутри ∆ABC). По свойству углов с перпендикулярными сторонами отсюда вытекает, что Внутренняя точка равностороннего треугольникаKLM, Внутренняя точка равностороннего треугольникаLMK и Внутренняя точка равностороннего треугольникаMKL равны 60°, что и требовалось доказать.

2.Задача Тарталя Внутренняя точка равностороннего треугольника

На данном отрезке АВ при помощи данного раствора циркуля (не равного АВ) и линейки построить равносторонний треугольник.

Из т. А данным радиусом на прямой АВ делаем засечку D . Далее, из т. В тем же радиусом, на той же прямой АВ делаем другую засечку С. Затем на отрезке СВ строим равносторонний треугольник СКВ а на отрезке А D – равносторонний треугольник А D Н. Точка пересечения сторон ВК и АН – точка М – даёт третью вершину искомого треугольника АМВ.

Внутренняя точка равностороннего треугольника

На данной конечной прямой АВ построить равносторонний треугольник.

Приняв A за центр, опишем окружность радиусом, равным данному отрезку. Далее, приняв В за центр опишем другую окружность с тем же радиусом. Обозначив одну из точек пересечения окружности через С и соединив ее прямыми с А и В, получим треугольник АВС, Который, как легко проверить, есть искомый.

В результате выполнения работы у меня расширились знания по математике.

Кроме известных свойств равностороннего треугольника ,узнал много интересных и полезных свойств, познакомился с историческими задачами, которые решали известные люди.

Считаю, что применение изложенного выше материала можно применять как в своей учебной деятельности ,так и в реальных ситуациях на экзаменах.

Применение новых свойств ускоряет решение некоторых задач в планиметрии.

Предложенный материал можно использовать на уроках математики, на факультативных занятиях с учащимися 7-11 классов.

Учителям – с целью подготовки к олимпиадам ,турнирам , различным интеллектуальным конкурсам.

Работа изложена доступным языком ,чтобы каждый любознательный ученик и продвинутый учитель ,которому это интересно, мог самостоятельно получить дополнительные знания по изумительным свойствам привычных нам фигур.

1.А. А. Фомин, Г. М. Кузнецова (сост.). Международные математические олимпиады- Дрофа, 1998.

2.Агаханов Н. X. Математика. Всероссийские олимпиады. Вып. 2 / Н. X. Агаханов, О. К. Подлипский; [под общ. ред. С. И. Демидовой, И. И. Колисниченко]. — М. : Просвещение, 2009. — 159 с.

3.Балаян Э.Н. 1001 олимпиадная и занимательная задачи по математике.

3-е изд. — Ростов н/Д : Феникс, 2008. — 364с.

4.Васильев Н.Б., Савин А.П., Егоров А.А. Избранные олимпиадные задачи. Математика. — М.: Бюро Квантум, 2007. — 160 с.

5.Математика. Всероссийские олимпиады. Вып. 1 / [Н. X. Агаханов, И. И. Богданов, П. А. Кожевников и др.]. — М. : Просвещение, 2008. — 192 с. ил.

Видео:НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКАСкачать

НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Математика, которая мне нравится

Математика для школьников и студентов, обучение и образование

Видео:Лекция 1. Точка на прямой. Метод прямоугольного треугольникаСкачать

Лекция 1. Точка на прямой. Метод прямоугольного треугольника

Теорема Вивиани, элегантная и простая

Внутренняя точка равностороннего треугольникаТеорема Вивиани. Сумма расстояний от точки Внутренняя точка равностороннего треугольника, находящейся внутри правильного треугольника, до трех сторон треугольника равна высоте треугольника независимо от выбора точки Внутренняя точка равностороннего треугольника.

Эта теорема названа в честь итальянского математика Винченцо Вивиани (1622-1703), уроженца Флоренции. Галилео Галилей был настолько впечатлен талантом Вивиани, что стал работать с ним как с соавтором, когда тому было только 17 лет. Работали они вместе на вилле Арчетри, где он жил, выйдя в отставку будучи осужденным церковью, до своей смерти в 1642 году.

Внутренняя точка равностороннего треугольника

После смерти Галилея, в 1655 году, Вивиани составил и опубликовал свою работу, а также написал биографию Галилея, которая была опубликована уже после его смерти, в 1717 году.

В Музее Истории Флоренции на картине Тито Лесси можно увидеть Галилео Галилея со своим ассистентом Винченцо Вивиани.

В 1690 году Вивиани опубликовал итальянский перевод Евклида и переводы работ Архимеда и Аполлония.

Кроме того, он изучал инженерное дело и сопротивление материалов. Совместно с Борелли он рассчитал скорость звука в воздухе, получив результат Внутренняя точка равностороннего треугольникам/с. Это приближение было гораздо лучше, чем полученное ранее — Внутренняя точка равностороннего треугольникам/с, в то время как в действительности скорость звука составляет Внутренняя точка равностороннего треугольникам/с.

Внутренняя точка равностороннего треугольника

Галилей и Вивиани

Кроме того, одна кривая названа кривой Вивиани. Она определяется как пересечение цилиндра со сферой, радиус которой равен диаметру цилиндра, при условии, что цилиндр проходит через центр сферы.

Внутренняя точка равностороннего треугольника

Теорема Вивиани интересна многочисленными ее доказательствами, а также она полезна при обучении геометрии. Существуют различные интересные задачи, требующие применения этой теоремы. Например, такая: остров имеет форму равностороннего треугольника, где нужно разместить кабинку для переодевания, чтобы сумма расстояний до трех пляжей была минимальной?…. Удивительно, что неважно, в каком месте. Все точки треугольника удовлетворяют требуемому свойству.

А теперь приведу доказательство теоремы Вивиани.

Доказательство. Пусть Внутренняя точка равностороннего треугольника— внутренняя точка равностороннего треугольника Внутренняя точка равностороннего треугольникасо стороной Внутренняя точка равностороннего треугольника. Высоту треугольника Внутренняя точка равностороннего треугольникаобозначим через Внутренняя точка равностороннего треугольника. Рассмотрим треугольники Внутренняя точка равностороннего треугольникаи Внутренняя точка равностороннего треугольника.

Внутренняя точка равностороннего треугольника

Площадь треугольника Внутренняя точка равностороннего треугольникаравна Внутренняя точка равностороннего треугольника.

Площади треугольников Внутренняя точка равностороннего треугольникаи Внутренняя точка равностороннего треугольникаравны соответственно

Внутренняя точка равностороннего треугольника

Поскольку Внутренняя точка равностороннего треугольника, имеем

🌟 Видео

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnline

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника

№225. Докажите, что каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.Скачать

№225. Докажите, что каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

Как доказать постоянство суммы расстояний от внутренней точки правильного тетраэдра до его граней?Скачать

Как доказать постоянство суммы расстояний от внутренней точки правильного тетраэдра до его граней?

7 фактов про равносторонний треугольникСкачать

7 фактов про равносторонний треугольник

Равносторонний треугольникСкачать

Равносторонний треугольник

Задача на нахождение площади малого равностороннего треугольника, находящегося внутри большогоСкачать

Задача на нахождение площади малого равностороннего треугольника, находящегося внутри большого

Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)

Формулы для равностороннего треугольника.Скачать

Формулы для  равностороннего треугольника.

Геометрия Равносторонний треугольникСкачать

Геометрия  Равносторонний треугольник

Построение равнобедренного треугольникаСкачать

Построение равнобедренного треугольника

Теорема ВивианиСкачать

Теорема Вивиани

Как построить равнобедренный или равносторонний треугольник по клеткам.Скачать

Как построить равнобедренный или равносторонний треугольник по клеткам.
Поделиться или сохранить к себе: