Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Две окружности на плоскости.
Общие касательные к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям как построитьВзаимное расположение двух окружностей
Внутренняя касательная к двум окружностям как построитьОбщие касательные к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям как построитьФормулы для длин общих касательных и общей хорды
Внутренняя касательная к двум окружностям как построитьДоказательства формул для длин общих касательных и общей хорды

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Видео:Внешняя касательная к двум окружностямСкачать

Внешняя касательная к двум окружностям

Взаимное расположение двух окружностей

Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Каждая из окружностей лежит вне другой

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

ФигураРисунокСвойства
Две окружности на плоскостиВнутренняя касательная к двум окружностям как построить
Каждая из окружностей лежит вне другойВнутренняя касательная к двум окружностям как построить
Внешнее касание двух окружностейВнутренняя касательная к двум окружностям как построить
Внутреннее касание двух окружностейВнутренняя касательная к двум окружностям как построить
Окружности пересекаются в двух точкахВнутренняя касательная к двум окружностям как построитьВнутренняя касательная к двум окружностям как построить
Каждая из окружностей лежит вне другой
Внутренняя касательная к двум окружностям как построить
Внешнее касание двух окружностей
Внутренняя касательная к двум окружностям как построить
Внутреннее касание двух окружностей
Внутренняя касательная к двум окружностям как построить
Окружности пересекаются в двух точках
Внутренняя касательная к двум окружностям как построить
Внутренняя касательная к двум окружностям как построить
Каждая из окружностей лежит вне другой
Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Внешнее касание двух окружностей
Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 лежит внутри другой

Внутренняя касательная к двум окружностямВнутренняя касательная к двум окружностям как построить
Внутреннее касание двух окружностейВнутренняя касательная к двум окружностям как построить
Окружности пересекаются в двух точкахВнутренняя касательная к двум окружностям как построить
Внешнее касание двух окружностейВнутренняя касательная к двум окружностям как построить
Внутренняя касательная к двум окружностям как построить
Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям как построить
Внутренняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям как построить
Внутреннее касание двух окружностей
Внутренняя касательная к двум окружностям как построить
Окружности пересекаются в двух точках
Внутренняя касательная к двум окружностям как построить
Внешнее касание двух окружностей
Внутренняя касательная к двум окружностям как построить
Внутренняя касательная к двум окружностям как построить
Каждая из окружностей лежит вне другой
Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Видео:Построение внутренней касательной к двум дугам окружностей.Урок12.(Часть1.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Построение внутренней касательной к двум дугам окружностей.Урок12.(Часть1.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Внешнее касание двух окружностей
Каждая из окружностей лежит вне другой

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

ФигураРисунокФормула
Внешняя касательная к двум окружностямВнутренняя касательная к двум окружностям как построить
Внутренняя касательная к двум окружностямВнутренняя касательная к двум окружностям как построить
Общая хорда двух пересекающихся окружностейВнутренняя касательная к двум окружностям как построить

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям как построить
Внутренняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям как построить
Общая хорда двух пересекающихся окружностей
Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Общая хорда двух пересекающихся окружностей
Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Видео:Внутренняя касательная к двум окружностямСкачать

Внутренняя касательная к двум окружностям

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Утверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3,

Видео:Касательные к окружностиСкачать

Касательные к окружности

Построение общей внутренней касательной к двум окружностям

Даны две окружности (а это значит, что даны и их центры O1 и O2). Требуется провести общую внутреннюю касательную к ним, то есть такую касательную, от которой данные окружности лежат по разные стороны.

Радиус большей окружности называем R, радиус меньшей окружности — r. Сначала вокруг меньшей окружности построим вспомогательную окружность с тем же центром и с радиусом, равным сумме радиусов двух данных окружностей (R + r). Затем построим из центра большей окружности вспомогательную касательную к вспомогательной окружности. Требуемая внутренняя касательная будет параллельна вспомогательной касательной. Отложим первый вспомогательный луч с началом в точке A. Замерим циркулем радиус большей окружности, и тем же раствором циркуля от начала первого луча отложим отрезок AB, равный R. Теперь циркулем замерим радиус меньшей окружности, и тем же раствором циркуля от точки B отложим отрезок BC, равный r. Получился отрезок AC, равный сумме радиусов двух данных окружностей (R + r). Замерим AC циркулем, и тем же раствором циркуля построим первую вспомогательную окружность с центром в O1. Теперь соединим отрезком центры O1 и O2. Произвольным раствором циркуля строим вторую вспомогательную дугу окружности с центром O1. И тем же раствором циркуля строим третью вспомогательную дугу окружности с центром O2 — так, чтобы третья дуга пересекала вторую в двух точках (называем их D и E). Соединяем D и E отрезком, который пересекает O1O2 в середине — эту точку называем F. Теперь замерим циркулем FO1 и этим раствором циркуля строим четвёртую вспомогательную окружность с центром в F на отрезке O1O2, как на диаметре. Эта четвёртая окружность пересекает первую вспомогательную окружность в двух точках (называем их G и H). Выбираем из этих двух точек ту, которая нам больше нравится (в данном построении это точка H), и соединяем прямой с точкой O2. Прямая HO2 — это касательная к первой вспомогательной окружности, проходящая через центр большой данной окружности. Прямая HO2 пересекла большую окружность в двух точках (называем их K и L). Эти точки равно отстоят от O2 и помогут нам построить перпендикуляр к HO2. Произвольным раствором циркуля проводим пятую вспомогательную дугу окружности с центром в K. Тем же раствором циркуля проводим шестую вспомогательную дугу окружности с центром в L — так, чтоб шестая дуга пересекала пятую в некоторой точке (называем точку M). Соединяем O2 и M прямой — эта прямая (перпендикуляр к HO2) пересекает большую данную окружность в некоторой точке (называем её N). Теперь через N проведём прямую, параллельную вспомогательной касательной HO2. Произвольным раствором циркуля строим седьмую вспомогательную окружность с центром в точке N — так, чтоб седьмая окружность пересекала HO2 в двух точках (точки называем P и Q). Тем же раствором циркуля строим восьмую вспомогательную окружность с центром в Q, и восьмая окружность пересекает вспомогательную касательную HO2 в двух точках (точки называем Z и S). Тем же раствором циркуля проводим девятую вспомогательную дугу окружности с центром в S — так, чтобы девятая дуга пересекала седьмую окружность в некоторой точке (точку называем T). Соединяем N и Т прямой — эта прямая NT и будет требуемой общей внутренней касательной к двум данным окружностям. И вот почему. NT проходит через конец радиуса O2N, лежащий на окружности. Также по построению NT параллельна HO2 и перпендикулярна радиусу O2N — следовательно, NT — касательная к большой данной окружности. Теперь проведём радиус O1H и точку его пересечения с прямой TN называем U. Радиус O1H перпендикулярен касательной O2H — значит, угол O2HU — прямой. Получилось, что в четырёхугольнике UHO2N есть три прямых угла — значит, и четвёртый угол HUN прямой, и UHO2N — прямоугольник, в котором сторона HU равна противоположной стороне O2N, то есть радиусу R. Теперь можем найти длину отрезка O1U (составляющего вместе с UH отрезок O1H). Длина равна разности длин O1H и HU, то есть (r + R) — R = r. Выходит, что U отстоит от O1 на r, то есть U лежит на меньшей данной окружности, а это значит, что TN, проходящая через U — проходит через конец радиуса O1U, лежащий на окружности, и перпендикулярна радиусу, то есть TN — касательная к меньшей данной окружности. Построение закончено.

Видео:Построение касательной двум окружностям внешнего касанияСкачать

Построение касательной двум окружностям внешнего касания

СОПРЯЖЕНИЕ ДВУХ ОКРУЖНОСТЕЙ

Возможны два варианта построений сопряжений двух окружностей:

· Задан радиус сопряжения.

· Задана точка сопряжения на одной из окружностей.

Сопряжение может быть внешним, внутренним и смешанным.

1. Сопряжение двух окружностей дугой заданного радиуса R (Рисунок16)

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

При внешнем сопряжении (рисунок 16) центр сопряжения О определяется пересечением двух геометрических мест – вспомогательных окружностей радиусов R1 + R и R2 + R, проведенных соответственно из центров сопрягаемых дуг, то есть из точек О1 и О2. Точки сопряжения А и В определяются как точки пересечения заданных дуг с прямыми ОО1 и ОО2.

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

При внутреннем сопряжении (рисунок 17) центр сопряжения О определяется пересечением двух геометрических мест – вспомогательных окружностей радиусов R – R1 и R – R2, проведенных соответственно из О1 и О2 (рисунок 17).

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

При смешанном сопряжении (рисунок 18) центр сопряжения О определяется в пересечении вспомогательных окружностей радиусов R — R1 и R + R2, проведенных соответственно из О1 и О2. Точки сопряжения А и В лежат на пересечении линий центров ОО1 и ОО2 с дугами заданных окружностей.

2. Сопряжение двух окружностей, если задано точка сопряжения А на одной из окружностей (рисунок 19).

Соединяют точку А с центром О1 и откладывают на этой прямой отрезок АС, равный R2. К середине отрезка СО2 восставляют перпендикуляр до пересечения с продолжением линии О1А. Точка О пересечения и является центром сопряжения. Вторая точка сопряжения В лежит на пересечении линии центров ОО2 с дугой второй окружности.

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Рисунок 19

ПОСТРОЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ

Построение касательных к окружности основано на том, что касательная перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

1. Касательная к окружности из точки А, лежащей вне окружности (рисунок 20).

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Отрезок ОА, соединяющий данную точку с центром окружности, делят пополам и из полученной О1, как из центра описывают вспомогательную окружность радиусом R = О1А. Вспомогательная окружность пересекает заданную в точке С. Прямая АС является касательной к окружности, так как угол АСО прямой, как вписанный в окружность и опирающийся на ее диаметр.

2. Касательная к двум окружностям может быть внешней, если обе окружности расположены с одной стороны от нее, и внутренней, если окружности расположены с разных сторон от касательных.

2.1 Внешняя касательная к окружностям радиусов R1 и R2 (рисунок 21).

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Из центра О1 большей окружности проводят вспомогательную окружность радиусом R1 – R2. Отрезок О1О2 делят пополам и проводят вспомогательную окружность радиусом R = О3О1. Точки пересечения этих окружностей соединяют с центром О1 и продолжают до пересечения с окружностью радиуса R1 в точках В и D. Эти точки являются точками касания окружности большего диаметра. Из центра О2 проводят прямые О2А и О2С, соответственно параллельные О1В и ОD, до пересечения с контуром окружности в точках А и С. Прямые АВ и СD – искомые внешние касательные к двум окружностям.

2.2 Внутренняя касательная к двум окружностям радиусов R1 и R2 (рисунок 22).

Внутренняя касательная к двум окружностям как построить

Рисунок 22

Из центра окружности О1 проводят вспомогательную окружность радиусом R1 + R2. Делят отрезок О1О2 пополам, и из полученной точки О3 проводят вторую вспомогательную окружность радиусом R = О3О1. Точки пересечения этих окружностей соединяют с центром О1 и на пересечении с окружностью радиуса R1 получают точки касания А и С. Из точки О2 проводят прямую, параллельную прямой О1А, и получают точку касания В на малой окружности. Аналогично построена точка касания D. Прямые АВ и СD – искомые внутренние касательные к двум окружностям.

🔥 Видео

Построение общей внутренней касательной к двум окружностямСкачать

Построение общей внутренней касательной к двум окружностям

Построение внешней касательной к двум дугам окружностей. Урок11.(Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Построение внешней касательной к двум дугам окружностей. Урок11.(Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)

Построение общей внешней касательной к двум окружностямСкачать

Построение общей внешней касательной к двум окружностям

1 2 4 сопряжение окружностейСкачать

1 2 4  сопряжение окружностей

Касательные к двум окружностям.Скачать

Касательные к двум окружностям.

Построение касательной к окружностиСкачать

Построение касательной к окружности

Построение общей касательной к двум окружностямСкачать

Построение общей касательной к двум окружностям

Построение касательной к окружности.Скачать

Построение касательной к окружности.

Построение общей касательной к двум окружностямСкачать

Построение общей касательной к двум окружностям

Черчение. Внутреннее, внешнее и смешенное сопряжение двух окружностей.Скачать

Черчение. Внутреннее, внешнее и смешенное сопряжение двух окружностей.

Построение касательной к окружностиСкачать

Построение касательной к окружности

Построение общей касательной к двум окружностямСкачать

Построение общей касательной к двум окружностям

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Внутреннее сопряжение двух дуг окружностей третьей дугой. Урок14.(Часть1.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Внутреннее сопряжение двух дуг окружностей третьей дугой. Урок14.(Часть1.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)

Внешнее сопряжение двух дуг окружностей третьей дугой. Урок13.(Часть1.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Внешнее сопряжение двух дуг окружностей третьей дугой. Урок13.(Часть1.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)
Поделиться или сохранить к себе: