Внутренние односторонние углы образованные двумя параллельными прямыми и секущей всегда равны

Внутренние односторонние углы

Еще один вид углов, образованных при пересечении двух прямых секущей — внутренние односторонние углы.

Две прямые разбивают плоскость на части. Та часть, которая лежит между прямыми — внутренняя. Углы, которые расположены в этой части, так и называются — внутренние. Внутренние односторонние углы — это углы, которые лежат внутри между прямыми по одну сторону от секущей (поэтому они так и называются).

При пересечении двух прямых секущей образуется две пары внутренних односторонних углов.

Внутренние односторонние углы образованные двумя параллельными прямыми и секущей всегда равны∠1 и ∠2

∠3 и ∠4

— внутренние односторонние углы при прямых a и b и секущей c.

Наибольший интерес вызывают внутренние накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми.

Свойство параллельных прямых

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов равна 180º.

Внутренние односторонние углы образованные двумя параллельными прямыми и секущей всегда равныЕсли a ∥ b, то

∠1 + ∠2 = 180º

(как внутренние односторонние при a ∥ b и секущей c).

Признак параллельных прямых

Если сумма внутренних односторонних углов равна 180º, то прямые параллельны.

Внутренние односторонние углы образованные двумя параллельными прямыми и секущей всегда равны ∠3 + ∠4 =180º

А так как эти углы — внутренние односторонние при a и b и секущей c,

то a ∥ b (по признаку параллельных прямых).

Могут ли быть внутренние односторонние углы равны?

Да. Внутренние односторонние углы равны, если прямые параллельны, а секущая им перпендикулярна.

Внутренние односторонние углы образованные двумя параллельными прямыми и секущей всегда равны ∠1 и ∠2 — внутренние односторонние углы при прямых a и b и секущей c

∠1 = ∠2

тогда и только тогда, когда a ∥ b, а секущая c перпендикулярна и прямой a, и прямой b.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Внутренние односторонние углы — теория, правило и свойства

Чтобы дать верное определение внутренним односторонним углам, нужно отличать их от вертикальных, смежных, соответственных и накрест лежащих. Их объединяет то, что они могут быть образованы двумя параллельными прямыми и пересекающей их линией. Утверждение о том, что сумма внутренних односторонних углов составляет 180 градусов, позволяет доказать теорему о параллельности прямых.

Внутренние односторонние углы образованные двумя параллельными прямыми и секущей всегда равны

Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Углы по определению

Прямая, которая пересекает другие линии, идущие параллельно друг другу, образует не только внутренние, но и внешние углы. Один из них дополняет другой до 180 градусов. Это свойство можно доказать как для смежных, так и односторонних внутренних, каждый из которых имеет соответственный внешний.

Углы, расположенные на одной стороне от секущей, пересекающей 2 линии, идущие параллельно, называются накрест лежащими. Они отличаются от односторонних, образуя с ними смежные. В сумме они составляют 180 градусов.

Отрезок между линиями, проведенными параллельно между собой, можно обозначить AB. Если представить, что AB=0, то параллельные будут совпадать, а соответственные углы и односторонние станут смежными. Их сумма должна быть 180 градусов.

Видео:29. Теорема об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

29. Теорема об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Доказательство теоремы

Прямые являются параллельными, если сумма односторонних внутренних углов равна 180. Нужно доказать теорему по исходным данным. Секущая АВ является линией пересечения параллельных а и b.

Для доказательства теоремы можно допустить, что линии не являются параллельными, значит они пересекают друг друга в определенной точке С. Секущая АВ образует с а и b треугольник АВС, поскольку точка С лежит в одной из двух плоскостей относительно АВ. На линии а расположена сторона треугольника АС, а на b — ВС.

Внутренние односторонние углы образованные двумя параллельными прямыми и секущей всегда равны

Если в противоположной полуплоскости отложить точку С1, то она образует с АВ другой треугольник АВС1. При этом по построению углы ВАС и АВС1 равны. Сумма САВ и СВА составляет 180, что указано в условии задачи. Следовательно, сторона АС1 принадлежит а, аналогично, ВС1 — линии b.

Точка пересечения С линий а и b принадлежит этим прямым. Вместе с тем точка С1 не может лежать на каждой из них, поскольку она находится в полуплоскости, где линии по построению не пересекаются.

Если в сумме односторонние углы составляют 180, то треугольника АВС1 не существует, значит а || b.

Видео:Свойства углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей Задачи на признаки параллельностСкачать

Свойства углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей  Задачи на признаки параллельност

Следствие из свойства прямых

На прямую а может быть опущен единственный перпендикуляр из любой точки А, которая не принадлежит данной линии. Доказательство утверждения состоит из следующих шагов:

Внутренние односторонние углы образованные двумя параллельными прямыми и секущей всегда равны

  • Вначале следует отметить на прямой а произвольную точку, обозначив ее С1.
  • Далее можно провести через С1 линию с, перпендикулярную а.
  • Затем через точку А нужно начертить АС2, которая параллельна с.
  • После этого следует предположить о существовании перпендикуляра, который вместе с АС2 пересекает линию а с образованием третьего отрезка АС3.
  • Поскольку из точки А нельзя проводить перпендикуляр АС3 и править треугольник АС2С3, дополняя его другим перпендикулярным отрезком, то согласно свойству параллельных прямых АС2||АС3.

    Итак, отрезок АВ является единственным перпендикуляром, проходящим через точку А.

    Видео:УГЛЫ: Односторонние, Накрест Лежащие, Внутренние, Внешние // Теорема об углах — Геометрия 7 классСкачать

    УГЛЫ: Односторонние, Накрест Лежащие, Внутренние, Внешние // Теорема об углах — Геометрия 7 класс

    Построение параллелограмма

    Если односторонние углы не прямые, то один из них является острым, а другой — тупым, то есть меньшим или большим по величине. Если через каждый из них провести биссектрисы, то они должны пересечь противоположные стороны в определенных точках. Для этого достаточно отложить отрезки на параллельных линиях, равные AB, используя циркуль.

    Внутренние односторонние углы образованные двумя параллельными прямыми и секущей всегда равны

    Секущая и отрезки, принадлежащие проведенным биссектрисам, образуют 2 треугольника вместе с параллельными. Напротив большего угла будет находиться биссектриса, отсекающая наибольший отрезок. Это подтверждает теорема о соотношении между углами и сторонами разностороннего треугольника.

    Соединив точки пересечения биссектрис с параллельными прямыми, можно построить четырехугольник ABCD. Чтобы доказать, что полученная фигура является параллелограммом, достаточно учесть следующее:

  • По построению AB=BD=AD.
  • Следовательно, AB=CD.
  • Точки C и D равноудалены от A и B.
  • Отрезки AB и CD параллельны.
  • Полученная фигура ABCD представляет собой параллелограмм, так как ее стороны попарно равны и параллельны.

    Отложив от A и B равноудаленные точки C и D, можно получить линию CD, которая параллельна AB. Тогда CD — отрезок, перпендикулярный параллельным прямым BC и AD. Поскольку все отрезки полученной фигуры ABCD пересекаются перпендикулярно, то она является прямоугольником по построению.

    Доказательство теоремы позволяет определять, какой является величина второго из двух внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей. Решение задач по геометрии позволяет найти их градусную меру и в зависимости от разности между ними.

    Видео:Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей.Скачать

    Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей.

    Внутренние односторонние углы образованные двумя параллельными прямыми и секущей всегда равны

    Укажите номера верных утверждений.

    1) Существует квадрат, который не является прямоугольником.

    2) Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны.

    3) Внутренние накрест лежащие углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей, равны.

    Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

    Проверим каждое из утверждений.

    1) «Существует квадрат, который не является прямоугольником» — некорректное утверждение, корректное — «Существует прямоугольник, который не является квадратом».

    2) «Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны» — верно, т. к. треугольник, два угла которого равны является равнобедренным, причём равные стороны лежат напротив равных углов.

    3) «Внутренние накрест лежащие углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей, равны» — верно, это теорема планиметрии.

    🌟 Видео

    Теоремы об углах, образованных двумя парал. прямыми и секущей | Геометрия 7-9 класс #30 | ИнфоурокСкачать

    Теоремы об углах, образованных двумя парал. прямыми и секущей | Геометрия 7-9 класс #30 | Инфоурок

    Углы, образованные параллельными прямыми и секущейСкачать

    Углы, образованные параллельными прямыми и секущей

    №203. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей сСкачать

    №203. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей с

    Углы, образованные при пересечении двух прямых секущейСкачать

    Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей

    Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. Решение задач.Скачать

    Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. Решение задач.

    №208. Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50°Скачать

    №208. Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50°

    ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углыСкачать

    ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углы

    Геометрия 7 класс. Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямымСкачать

    Геометрия 7 класс. Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямым

    Теорема 14.1 Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельныСкачать

    Теорема 14.1 Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны

    УГЛЫ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ И СЕКУЩЕЙСкачать

    УГЛЫ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ И СЕКУЩЕЙ

    ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Признаки параллельности, накрест лежащие, соответственные и односторонние углыСкачать

    ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Признаки параллельности, накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

    29 Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей - Геометрия 7-9 АтанасянСкачать

    29 Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей - Геометрия 7-9 Атанасян

    Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

    Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

    Пары углов в геометрииСкачать

    Пары углов в геометрии
  • Поделиться или сохранить к себе: