Вневписанная окружность треугольника доказательство

Вневписанные окружности

Теорема 1 . В любом треугольнике биссектрисы двух внешних углов и биссектриса внутреннего угла, не смежного с ними, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим произвольный треугольник ABC и продолжим, например, стороны BA и BC за точки A и C соответственно (рис.1).

Вневписанная окружность треугольника доказательство

Вневписанная окружность треугольника доказательство

Проведём биссектрисы углов DAC и ECA , которые являются внешними углами треугольника ABC . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O . Докажем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC , который является внутренним углом треугольника ABC , не смежным с внешними углами DAC и ECA . С этой целью опустим из точки O перпендикуляры OF , OG и OH на прямые AB , AC и BC соответственно. Поскольку AO – биссектриса угла DAC , то справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство

Замечание 1 . В ходе доказательства теоремы 1 мы установили, что справедливы равенства

откуда вытекает, что точки F , G и H лежат на одной окружности с центром в точке O .

Определение . Окружность называют окружностью, вневписанной в треугольник , или вневписанной окружностью, если она касается касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон (рис.2).

Вневписанная окружность треугольника доказательство

Вневписанная окружность треугольника доказательство

Замечание 2 . У каждого треугольника существуют три вневписанных окружности. На рисунке 2 изображена одна из них.

Замечание 3 . Центр вневписанной окружности, изображенной на рисунке 2, лежит на биссектрисе угла B , а окружность касается стороны b . Для удобства обозначений и терминологии будем называть эту окружность вневписанной окружностью, касающейся стороны b , и обозначать её радиус символом rb .

Теорема 2 . Пусть вневписанная окружность касается стороны AC треугольника ABC . Тогда отрезки касательных касательных от вершины B до точек касания с вневписанной окружностью равны полупериметру треугольника.

Доказательство . Снова рассмотрим рисунок 2 и докажем, что выполнено равенство

Вневписанная окружность треугольника доказательство

где a, b, c – стороны треугольника ABC . Действительно, отрезки AG и AF равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки A . Отрезки CG и CH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки C . Отрезки BF и BH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки B . Отсюда получаем:

Вневписанная окружность треугольника доказательство

Вневписанная окружность треугольника доказательство

Вневписанная окружность треугольника доказательство

где буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC . Теорема 2 доказана.

Теорема 3 . Радиус вневписанной окружности , касающейся стороны b , вычисляется по формуле

Вневписанная окружность треугольника доказательство

где буквой S обозначена площадь треугольника ABC , а буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC .

Доказательство . Снова рассмотрим рисунок 2 и заметим, что выполнены равенства

Вневписанная окружность треугольника доказательство

Вневписанная окружность треугольника доказательство

Следовательно, справедливо равенство

Вневписанная окружность треугольника доказательство

что и требовалось доказать.

Следствие . Радиусы двух других вневписанных в треугольник ABC окружностей вычисляются по формулам:

Вневписанная окружность треугольника доказательство

Теорема 4 . Если обозначить буквой r радиус вписанной в треугольник ABC окружности, то будет справедлива формула:

Вневписанная окружность треугольника доказательство

Вневписанная окружность треугольника доказательство

Вневписанная окружность треугольника доказательство

Вневписанная окружность треугольника доказательство

Вневписанная окружность треугольника доказательство

Складывая эти формулы и воспользовавшись формулой для радиуса вписанной окружности

Вневписанная окружность треугольника доказательство,

Вневписанная окружность треугольника доказательство

Вневписанная окружность треугольника доказательство

что и требовалось доказать.

Теорема 5 . Площадь треугольника можно вычислить по формуле

Вневписанная окружность треугольника доказательство

Доказательство . Перемножим формулы

Вневписанная окружность треугольника доказательство

Вневписанная окружность треугольника доказательство

Вневписанная окружность треугольника доказательство

Вневписанная окружность треугольника доказательство

что и требовалось доказать.

Теорема 6 . Если обозначить буквой R радиус описанной около треугольника ABC окружности, то будет справедлива формула:

Доказательство . Воспользовавшись формулами для радиусов вписанной и вневписанных окружностей, а также формулой Герона, получим

Вневписанная окружность треугольника доказательство

Вневписанная окружность треугольника доказательство

Вневписанная окружность треугольника доказательство

Преобразуем выражение, стоящее в квадратной скобке:

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Вневписанная окружность треугольника.

Вневписанная окружность треугольника доказательство

Определение.

Окружность, касающаяся стороны треугольника и продолжения двух других его сторон, называется вневписанной окружностью треугольника.

Теорема 1.

Центр окружности, вневписанной в треугольник, есть точка пересечения биссектрис двух внешних и одного внутреннего угла треугольника.

Вневписанная окружность треугольника доказательство

Доказательство.

BF — биссектриса ∠JBG, следовательно F равноудалена от сторон данного угла.

СF — биссектриса ∠JСH, следовательно F равноудалена от сторон данного угла.

Следовательно, точка F равноудалена от сторон ∠BAC.

Таким образом, точка F — центр окружности, касающейся стороны BC и продолжения сторон AB и AC. По определению данная окружность называется вневписанной окружностью треугольника.

Теорема 2.

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой касания вневписанной окружности и противолежащей стороны, делит треугольник на два треугольника равного периметра.

Вневписанная окружность треугольника доказательство

Доказательство.

BJ=BG, GC=CH и AJ=AH (свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности).

PΔABC=AB+ BC +AC=AB+ BG + GC +AC=AB+ BJ + AC +CH=AJ+AH.

Так как AJ=AH, то PΔABC/2=AJ=AH и PΔABC/2+AG=AJ+AG=AH+AG=AB+BG+GA=AC+CG+GA.

Следовательно, отрезок AG поделил треугольник ABC на два треугольника равного периметра PΔABC/2+AG.

Видео:Вневписанная окружностьСкачать

Вневписанная окружность

Вневписанная окружность (8 — 9 класс)

Вневписанная окружность треугольника доказательство

Вневписанная окружность треугольника доказательство

Вневписанная окружность треугольника доказательство

Методическая разработка по геометрии «Вневписанная окружность».

Литвинова Светлана Александровна,

учитель высшей квалификационной категории

МОУ гимназии № 7 г. Волгограда,

Тараева Галина Юрьевна,

учитель высшей квалификационной категории

МОУ гимназии № 7 г. Волгограда.

Действующие школьные программы по математике не предусматривают изучение понятия вневписанной окружности треугольника. Однако с ним полезно ознакомиться, так как решение некоторых типов геометрических задач, и, прежде всего задач на построение, связано с использованием этого понятия.

Вневписанная окружность представляется изысканным элементом геометрии треугольника. А вот знакомство с ней зачастую ограничивается определением, нахождением ее центра и решением нескольких популярных задач, встречающихся на конкурсных экзаменах. Но при более подробном знакомстве с вневписанной окружностью можно увидеть в ней скрытую красоту и силу.

Простейший из многоугольников – треугольник – играет в геометрии особую роль. За несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник, что иногда говорят о «геометрии треугольника» как о самостоятельном разделе элементарной геометрии.

Первые упоминания о треугольнике и его свойствах мы находим в египетских папирусах, которым более 4000 лет. Через 2000 лет в Древней Греции изучение свойств треугольника достигает высокого уровня – достаточно вспомнить теорему Пифагора и формулу Герона.

Центральное место в геометрии треугольника занимают свойства так называемых замечательных точек и линий.

Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке – центре описанной около треугольника окружности.

Биссектрисы трех внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной в треугольник окружности.

Если рассмотреть дополнительно биссектрисы трех пар внешних углов треугольника, то получаются еще три замечательных точки – центры вневписанных окружностей.

В XV — XVI веках появилось огромное количество исследований свойств треугольника. Эти исследования составили большой раздел планиметрии, получивший название «Новая геометрия треугольника». Вот одна из замечательных теорем того времени, принадлежащая Л. Эйлеру: «Середины сторон треугольника, основания его высот и середины отрезков высот от вершины до точки их пересечения лежат на одной окружности». Она обычно называется окружностью девяти точек (по количеству замечательных точек, через которые она проходит).

У каждого треугольника имеется, и притом только единственная, окружность девяти точек. Это – окружность, проходящая через следующие три тройки точек, положение которых определено для треугольника (рис.1): основания его высот D1, D2, и D3,, основания его медиан D4, D 5 и D 6, середины D7, D8 и D9 отрезков прямых от точки пересечения его высот H до его вершин.

ЭВневписанная окружность треугольника доказательствота окружность, найденная в XVIII в. великим ученым Л. Эйлером (поэтому ее часто также называют окружностью Эйлера), была заново открыта немецким математиком XIX века К. Фейербахом (братом известного философа).

Дополнительно К. Фейербах выяснил, что окружность девяти точек имеет еще четыре точки, тесно связанные с геометрией любого данного треугольника. Это – точки ее касания с четырьмя окружностями. Одна из этих окружностей вписанная, остальные три – вневписанные (рис.2).

ТВневписанная окружность треугольника доказательствоочки касания этих окружностей с окружностью девяти точек D10 , D11 , D12 и D13 называются точками Фейербаха. Таким образом, окружность девяти точек в действительности является окружностью тринадцати точек.

Вневписанная окружность треугольника доказательствоРис.3.

Прямые в треугольнике, соединяющие его вершины с точками касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке (рис.3), которая называется точкой Нагеля в честь открывшего ее немецкого математика Августа Нагеля (1821-1903).

I . Вневписанная окружность и ее свойства

1. Задачи, приводящие к понятию вневписанной окружности

В курсе геометрии 8-го класса при изучении темы «Вписанная и описанная окружности» предлагается вписать окружность в произвольный треугольник. Решение данной задачи однозначно. Но стоит изменить условие следующим образом «Построить окружность, касающуюся трех данных несовпадающих прямых AB, BC и CA», как однозначность решения пропадает.

Выясним, какие вообще бывают окружности, касающиеся трех данных прямых.

Так как прямые не совпадают, то точки А, В и С не лежат на одной прямой. Центр окружности, касающейся двух прямых, лежит на биссектрисах углов, полученных при пересечении этих прямых (рис.4).

РВневписанная окружность треугольника доказательствоис.4.

Поэтому центры окружностей, касающихся прямых AB, BC и CA лежат на биссектрисах внешних или внутренних углов треугольника (или же на их продолжениях) (рис.5).

Вневписанная окружность треугольника доказательство

В итоге получаем четыре окружности с центрами О, Оа, Оb, Ос, касающиеся трех данных несовпадающих прямых. При этом одна из них будет вписанной в треугольник окружностью, а три других — вневписанными окружностями.

Вневписанная окружность треугольника доказательствоСуществует еще одна проблема, приводящая к понятию вневписанной окружности. Нетрудно с помощью циркуля и линейки построить треугольник по его сторонам. Чуть труднее сделать это по медианам или высотам. А вот построить треугольник по биссектрисам (в общем случае) невозможно. Если провести все три биссектрисы внешних углов треугольника, то образуются три точки их пересечения. Каждая из этих точек одинаково отстоит от прямых, содержащих стороны данного треугольника. Поэтому можно провести окружность с центром в такой точке, касающуюся всех сторон треугольника или их продолжений. Такие окружности и будут вневписанными.

2. Определение вневписанной окружности, ее центр и радиус

Дадим определение вневписанной окружности.

Определение: Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной из его сторон и продолжений двух других.

Вневписанная окружность треугольника доказательство

Для каждого треугольника существует три вневписанных окружности, которые расположены вне треугольника, почему они и получили название вневписанных.

Центрами вневписанных окружностей являются точки пересечения биссектрис внешних углов треугольника.

Доказательство этого следует из основного свойства биссектрисы угла: все точки, лежащие на ней равноудалены от сторон угла.

С другой стороны, центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах.

Данное свойство вытекает из следующей теоремы.

Теорема 1. Биссектриса внутреннего угла ВАС треугольника АВС и биссектрисы двух внешних углов при вершинах В и С пересекаются в одной точке.

Доказательство. Проведем внешние биссектрисы из вершин В и С. Пусть они пересекаются в точке Оа. Докажем, что биссектриса угла ВАС проходит через точку Оа. Все точки биссектрисы СОа равноудалены от сторон угла, значит, расстояние от точки Оа до прямых ВС и АС равны, так как Оа лежит на биссектрисе угла ВСК1, то есть ОаК1 = ОаК3.

ис.7. Аналогично, равны расстояния от точки Оа до прямых ВС и АВОаК2 = ОаК3 . Тогда очевидно, что точка Оа равноудалена от прямых АС и АВ, то есть лежит на биссектрисе угла ВАС.

Вневписанная окружность треугольника доказательство

Из теоремы 1 следует существование окружности с центром в точке Оа, касающейся прямых АС, АВ и ВС. Данную окружность и называют вневписанной окружностью.

Таким образом, шесть биссектрис треугольника – три внутренние и три внешние – пересекаются по три в четырех точках – центрах вписанной и трех вневписанных окружностей.

Радиусом вневписанной окружности является отрезок перпендикуляра, проведенного из центра окружности к какой-либо стороне треугольника или ее продолжению.

3. Свойства вневписанной окружности и её связь с основными элементами треугольника

Теорема 2. Пусть К1 – точка касания вневписанной окружности с продолжением стороны АС треугольника АВС. Тогда длина отрезка АК1 равна полупериметру треугольника АВС.

Из курса планиметрии известны формулы, устанавливающие связи между сторонами треугольника, его площадью и радиусами вписанной и описанной окружностейВневписанная окружность треугольника доказательство, Вневписанная окружность треугольника доказательство. Существует аналогичная связь и с радиусами вневписанных окружностей.

Утверждение. Пусть Вневписанная окружность треугольника доказательствосоответственно площадь, полупериметр и стороны некоторого треугольника, а Вневписанная окружность треугольника доказательство— радиусы вневписанных окружностей, то Вневписанная окружность треугольника доказательство, Вневписанная окружность треугольника доказательствои Вневписанная окружность треугольника доказательство.

Доказательство. Центром окружности, вписанной в угол А, служит точка Оа (точка пересечения биссектрис внешних углов треугольника, не смежных с углом А; радиус этой окружности есть отрезок перпендикуляра, проведенного из точки Оа к какой-либо стороне треугольника (или ее продолжению): Вневписанная окружность треугольника доказательство.

Вневписанная окружность треугольника доказательство

Аналогично можно найти центры Вневписанная окружность треугольника доказательствои радиусы Вневписанная окружность треугольника доказательстводвух других вневписанных окружностей.

Зная длины сторон Вневписанная окружность треугольника доказательствотреугольника ABC , можно вычислить длины Вневписанная окружность треугольника доказательство.

Действительно, Вневписанная окружность треугольника доказательство, где Вневписанная окружность треугольника доказательство.

Отсюда Вневписанная окружность треугольника доказательство. Аналогично: Вневписанная окружность треугольника доказательство, Вневписанная окружность треугольника доказательство.

Для радиуса вписанной окружности Вневписанная окружность треугольника доказательство.

На основании доказанного можно сформулировать следующую теорему.

Теорема 3. Площадь S треугольника АВС равна Вневписанная окружность треугольника доказательство

Радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей также связаны красивыми соотношениями:

Вневписанная окружность треугольника доказательство(1),

Вневписанная окружность треугольника доказательство(2),

Вневписанная окружность треугольника доказательство(3),

где Вневписанная окружность треугольника доказательство— радиусы вневписанных окружностей, R и r – соответственно радиусы описанной и вписанной окружностей, р – полупериметр, S- площадь треугольника.

Докажем равенство (1):

Учитывая, что Вневписанная окружность треугольника доказательство, Вневписанная окружность треугольника доказательство, Вневписанная окружность треугольника доказательство, имеем: Вневписанная окружность треугольника доказательство= =Вневписанная окружность треугольника доказательство=

=Вневписанная окружность треугольника доказательство=Вневписанная окружность треугольника доказательство

= Вневписанная окружность треугольника доказательство, так как по формуле Герона Вневписанная окружность треугольника доказательство.

С другой стороны: Вневписанная окружность треугольника доказательство= Вневписанная окружность треугольника доказательство

Вневписанная окружность треугольника доказательство=Вневписанная окружность треугольника доказательство. Таким образом Вневписанная окружность треугольника доказательство.

Докажем равенство (2): Вневписанная окружность треугольника доказательство=

=Вневписанная окружность треугольника доказательство

Вневписанная окружность треугольника доказательство

= Вневписанная окружность треугольника доказательство.

Докажем равенство (3): Вневписанная окружность треугольника доказательство.

Известно, что расстояние Вневписанная окружность треугольника доказательствомежду центрами вписанной и описанной окружностей можно найти по формуле Эйлера: Вневписанная окружность треугольника доказательство.

ИВневписанная окружность треугольника доказательствонтересно, что отрезки, соединяющие центр вписанной в треугольник окружности с центрами вневписанных окружностей, делятся пополам окружностью, описанной вокруг этого треугольник (рис.9).

Существует также теорема, связывающая между собой радиусы вписанной и вневписанных окружностей.

Теорема 4. Радиус вписанной окружности треугольника равен Вневписанная окружность треугольника доказательствосреднего гармонического радиусов вневписанных окружностей этого треугольника, т.е. Вневписанная окружность треугольника доказательство.

Доказательство. Как известно, среднее гармоническое неотрицательных чисел Вневписанная окружность треугольника доказательствовычисляется по формуле Вневписанная окружность треугольника доказательство, значит, среднее гармоническое радиусов вневписанных окружностей треугольника будет равна Вневписанная окружность треугольника доказательство.

Преобразуем выражение Вневписанная окружность треугольника доказательство.

Вневписанная окружность треугольника доказательство. Следовательно, Вневписанная окружность треугольника доказательство.

Очевидно следующее следствие этой теоремы: обратное значение радиуса вписанной окружности равно сумме обратных значений радиусов вневписанных окружностей треугольника.

Если Вневписанная окружность треугольника доказательство, то Вневписанная окружность треугольника доказательство.

С использованием понятия «вневписанная окружность треугольника» можно доказать формулу Герона Вневписанная окружность треугольника доказательство. Прежде чем перейти к доказательству, решим две задачи.

Задача 1. Пусть а, в, с – длины сторон треугольника АВС. Найти длины отрезков, на которые делятся его стороны точками касания вписанной в него окружности.

Р Вневписанная окружность треугольника доказательство

ешение. Если M , P и N – точки касания, то, обозначив AM через х и воспользовавшись Рис.10. свойством отрезков касательных,

проведенных к окружности из одной точки, получим: AP = x,

ВР = BN = с – x, CM = CN = b — x. Но BN + NC = a. Отсюда с – х + b – x = a, поэтому Вневписанная окружность треугольника доказательство. Таким образом, AP = AM = p – a. Так же можно вычислить и A x M b x C

длины других отрезков: Вневписанная окружность треугольника доказательство, Вневписанная окружность треугольника доказательство.

Задача 2. Дан треугольник АВС; a, b, c – его стороны. Найти длины отрезков, на которые делят стороны треугольника точки касания вневписанных окружностей.

Вневписанная окружность треугольника доказательство

Решение. Пусть AQ = у. Тогда AS = y, QC = CT = b — y, BS=BT, а поэтому

Вневписанная окружность треугольника доказательство, Вневписанная окружность треугольника доказательство.

Аналогично можно вычислить и длины других искомых отрезков.

Переходим к выводу формулы Герона Вневписанная окружность треугольника доказательство.

Доказательство. Треугольники АОМ и ОbAQ подобны, так как они прямоугольные и Вневписанная окружность треугольника доказательство, как дополняющие угол ОАМ до прямого (Вневписанная окружность треугольника доказательствокак острые углы прямоугольного треугольника АОМ, Вневписанная окружность треугольника доказательство, который равен 90  как угол, образованный биссектрисами двух смежных углов).

Из подобия треугольников АОМ и ОbAQ следует Вневписанная окружность треугольника доказательство. После подстановки (Вневписанная окружность треугольника доказательство) получим Вневписанная окружность треугольника доказательство.

Из этой пропорции следует справедливость формулы Герона: Вневписанная окружность треугольника доказательство, Вневписанная окружность треугольника доказательство, Вневписанная окружность треугольника доказательство.

Так как Вневписанная окружность треугольника доказательствоВневписанная окружность треугольника доказательствои Вневписанная окружность треугольника доказательство, то имеют место следующие соотношения между радиусами вписанной и вневписанной окружностей Вневписанная окружность треугольника доказательствои Вневписанная окружность треугольника доказательство.

Для доказательства соотношения Вневписанная окружность треугольника доказательствовоспользуемся результатами выше рассмотренных задач и рис.11. Из подобия треугольников АОМ и ОbAQ следует Вневписанная окружность треугольника доказательство. Таким образом Вневписанная окружность треугольника доказательство, откуда следует справедливость равенства Вневписанная окружность треугольника доказательство

Отметим еще одно свойство, которое вытекает из данных задач: (рис.11) если M и Q – соответственно точки касания вписанной и вневписанной окружности с их общей касательной АС, то АМ = CQ.

II . Применение свойств вневписанной окружности

к решению задач

1. Решение задач на доказательство

Задача 1. Две непересекающиеся окружности с радиусами R1 и R2 касаются сторон прямого угла с вершиной А. Общая внутренняя касательная с окружностями пересекает стороны угла в точках В и С. Найти площадь треугольника АВС.

РВневписанная окружность треугольника доказательствоешение. Так как обе окружности касаются сторон угла, то одна из них будет вписанной в треугольник АВС, а другая вневписанной. Пусть Вневписанная окружность треугольника доказательство, где R1 и R2 – соответственно радиусы вписанной и вневписанной окружностей (рис.1). Если О– центр вневписанной окружности, а точки К и М – ее точки касания со сторонами угла А. Легко доказать, что АКОМ – квадрат со стороной R2. По теореме 2 Вневписанная окружность треугольника доказательство. Но так как Вневписанная окружность треугольника доказательството Вневписанная окружность треугольника доказательство. А Вневписанная окружность треугольника доказательство. Отсюда следует Вневписанная окружность треугольника доказательство, Вневписанная окружность треугольника доказательство.

Ответ: площадь треугольника равна Вневписанная окружность треугольника доказательство

Задача 2. К двум непересекающимся окружностям проведены две общие внешние касательные и общая внутренняя касательная. Докажите, что отрезок внутренней касательной, заключенный между внешними касательными, равен отрезку внешней касательной, заключенному между точками касания.

Р Вневписанная окружность треугольника доказательство

ешение. Пусть даны две окружности. Точки касания окружностей с первой внешней касательной – А и В, со второй – С и D (рис 2.) Внутренняя касательная пересекает внешние в точках М и N . Продолжим прямые АВ и С D до их пересечения в точке К. Тогда окружность с центром О2 является вписанной в треугольник М NK , а окружность с центром О1— вневписанной. Обозначим сторону М N треугольника MNK через а и его полупериметр через р. Тогда (по т.2.) АК = р и ВК = р – а. Значит, АВ = а, т. е. АВ = М N . Аналогично CD = MN.

Задача 3. В равнобедренном треугольнике с основанием 12 вписана окружность, к ней проведены три касательные так, что они отсекают от данного треугольника три малых треугольника. Сумма периметра малых треугольников равна 48. Найдите боковую сторону данного треугольника.

Вневписанная окружность треугольника доказательствоА

1. Вневписанная окружность треугольника доказательство

2. Окружность с центром О – вневписанная окружность треугольников Е A L, BKF и PDC .

Поэтому Вневписанная окружность треугольника доказательство , Вневписанная окружность треугольника доказательство , Вневписанная окружность треугольника доказательство , Вневписанная окружность треугольника доказательство , Вневписанная окружность треугольника доказательство , Вневписанная окружность треугольника доказательство

Из этого следует, что Вневписанная окружность треугольника доказательство .

Значит, Вневписанная окружность треугольника доказательство .

Задача 4. Прямые РА и РВ касаются окружности с центром О ( А и В – точки касания). Проведена третья касательная к окружности, пересекающая отрезки РА и РВ в точках Х и У. Докажите, что величина угла ХОУ не зависит от выбора третьей касательной.

Р Вневписанная окружность треугольника доказательство

ешение. Так как касательные РА и РВ пересекаются, то угол АРВ обозначим . Точки Х и У лежат соответственно на отрезках РА и РВ, поэтому данная окружность будет вневписанной для треугольника ХРУ. Центр окружности лежит на пересечении биссектрис, значит Вневписанная окружность треугольника доказательство, Вневписанная окружность треугольника доказательство. Величина угла ХОУ соответственно равнаВневписанная окружность треугольника доказательство. В треугольнике РХУ Вневписанная окружность треугольника доказательство, Вневписанная окружность треугольника доказательство. Величина угла АРВ заданная, тогда имеем:Вневписанная окружность треугольника доказательство, Вневписанная окружность треугольника доказательство, Вневписанная окружность треугольника доказательство. Величина угла ХОУ соответственно равна: Вневписанная окружность треугольника доказательствои не зависит от выбора третьей касательной.

Задача 5. Доказать, что Вневписанная окружность треугольника доказательство.

Доказательство. Воспользуемся тем, что радиус вписанной окружности связан с высотами треугольника соотношением Вневписанная окружность треугольника доказательство. А по следствию из теоремы 4 о среднем гармоническом радиусов вневписанных окружностей треугольника имеем Вневписанная окружность треугольника доказательство. На основании этих двух равенств и следует справедливость исходного равенства.

Задача 6. Общая внутренняя касательная к окружностям с радиусами R и r пересекает их общие внешние касательные в точках А и В и касается одной из окружностей в точке С. Докажите, что Вневписанная окружность треугольника доказательство

ДВневписанная окружность треугольника доказательствооказательство.

На основании сформулированного в теоретической части свойства Вневписанная окружность треугольника доказательствоимеем:

Вневписанная окружность треугольника доказательство, Вневписанная окружность треугольника доказательство. Учитывая, что Вневписанная окружность треугольника доказательствополучаем: Вневписанная окружность треугольника доказательство

Эту же задачу можно решить, используя другие свойства вневписанной окружности.

Пусть С и D – точки касания касательной АВ с вневписанной и вписанной окружностями. Тогда АВ = ММ1= NN 1 (задача 2), МВ = ВС, NA = АС, DA = AN 1.

NN1 = NA + AN1 = AC + AD, NN1 = AC + AD = 2AD + CD,

Таким образом, BD = AC. Вневписанная окружность треугольника доказательство, Вневписанная окружность треугольника доказательство. Что и требовалось доказать.

2. Задачи на построение

Задача 1. Построить треугольник по периметру и двум углам.

Дано: углы  и  , периметр треугольника P

Вневписанная окружность треугольника доказательство

Вневписанная окружность треугольника доказательство

1. Построить отрезок, равный полупериметру (АК).

2. Из точки А построить данный по условию угол  , а из точки К восстановить перпендикуляр.

3. Построить биссектрису угла САВ.

4. Построить окружность с центром в точке пересечения биссектрисы угла А с перпендикуляром ОаК и радиусом ОаК.

5. На отрезке АК построить второй данный угол  так, чтобы его луч был касательной к окружности.

6. Данная касательная пересечет вторую сторону угла в точке В.

Вневписанная окружность треугольника доказательство— искомый треугольник.

Задача 2. Постройте треугольник, если дана сторона, противолежащий ей угол треугольника и сумма двух других сторон.

Решение. Пусть дана сторона а, угол А и сумма сторон b + c . Тогда известна длина

Вневписанная окружность треугольника доказательствополупериметра искомого треугольникаВневписанная окружность треугольника доказательство. Значит, известны положения точек T 1 и T 2 на сторонах угла А. Восстановив перпендикуляры в этих точках к сторонам угла А, на их пересечении получим центр вневписанной окружности, а значит, вневписанная окружность построена.

Расстояние от точки Т1 до точки касания вписанной окружности равно а. Следовательно, мы можем найти точки касания вписанной окружности искомого треугольника со сторонами угла А и построить саму вписанную окружность. Общая внутренняя касательная к построенным окружностям отсекает на сторонах угла искомый треугольник.

Задача 3. Построить треугольник ABC , если известна сторона AB , радиус r вписанной окружности и радиус r c вневписанной окружности, касающейся стороны АВ и продолжений сторон АС и ВС. Рис.3.

Вневписанная окружность треугольника доказательство

Предположим, что искомый треугольник построен. Отметим точки касания Т и Тс с прямой АС вписанной и вневписанной окружностей (радиусов r и r c соответственно). Воспользуемся тем, что отрезки АВ и T Тс равны по длине. Отсюда вытекает способ построения: отмечаем на прямой две точки Т и Тс на расстоянии АВ, строим по одну сторону этой прямой окружности радиусов r и r c , касающиеся ее в точках Т и Тс, проводим еще одну внешнюю и одну внутреннюю общую касательную к этим окружностям – и нужный треугольник построен. Задача имеет решение в том и только в том случае, если Вневписанная окружность треугольника доказательство.

Задача 4. Дан угол К, меньший развернутого, и точка Р, расположенная внутри угла, смежного с данным. Провести через точку Р прямую, отсекающую от угла К треугольник заданного периметра.

Решение. Решение основано на применении теоремы, которая, казалось бы, очень далека от ситуации, описываемой в условии задачи, — теоремы о двух касательных, проведенных к окружности из одной точки.

П Вневписанная окружность треугольника доказательство

усть l – какая-либо проходящая через Р прямая. М и N – точки ее пересечения со сторонами угла. Проведем вневписанную окружность треугольника MKN. AM = ME и EN = NB, где А и В – точки касания окружности со сторонами угла. Тогда периметр отсекаемого треугольника равен Вневписанная окружность треугольника доказательство.

1. Построить отрезки касательных Вневписанная окружность треугольника доказательство.

2. Восстановить из точек А и В перпендикуляры, найти их точку пересечения Оа.

4. Построить из точки Р касательную к окружности.

3. Решение стереометрических задач

При решении задач, связанных с пирамидой, полезными являются следующие утверждения.

Утверждение 1. Следующие три предложения равносильны:

а) ортогональная проекция вершины пирамиды на плоскость основания является центром вписанной окружности в многоугольник, лежащий в основании;

б) высоты боковых граней – треугольников, проведенные из вершины пирамиды, равны и лежат на соответствующих боковых гранях;

в) двугранные углы при основании пирамиды равны.

Утверждение 2. Следующие три предложения равносильны:

а) ортогональная проекция вершины пирамиды на плоскость основания равноудалена от прямых, содержащих стороны основания пирамиды;

б) высоты боковых граней – треугольников, проведенные из вершины пирамиды, равны;

в) плоскости боковых граней образуют равные углы с плоскостью основания.

Задача 1. В основании пирамиды, все плоскости боковых граней которого наклонены к плоскости основания под углом , лежит правильный треугольник со стороной а. Найти объем пирамиды.

Решение. Следует отметить, что неопределенность решения возникает в связи с различным положением ортогональной плоскости. Пусть SABC – данная пирамида, О – ортогональная проекция вершины S на плоскость основания АВС. Согласно утверждению 3, точка О равноудалена от прямых АВ, АС и ВС. Не ограничивая общности рассуждений, имеем два случая расположения точки О:

Вершина тетраэдра проектируется в центр вписанной окружности.

Вневписанная окружность треугольника доказательствоРис .1. S Вневписанная окружность треугольника доказательство

Вневписанная окружность треугольника доказательство, Вневписанная окружность треугольника доказательство, Вневписанная окружность треугольника доказательство, Вневписанная окружность треугольника доказательство

h B Вневписанная окружность треугольника доказательство,

A О  M Вневписанная окружность треугольника доказательство.

Вершина тетраэдра проектируется в центр вневписанной окружности.

Вневписанная окружность треугольника доказательствоS А

Вневписанная окружность треугольника доказательство

Вневписанная окружность треугольника доказательство, Вневписанная окружность треугольника доказательство, Вневписанная окружность треугольника доказательство, Вневписанная окружность треугольника доказательство

Вневписанная окружность треугольника доказательство.

Вневписанная окружность треугольника доказательство.

Ответ: 1) Вневписанная окружность треугольника доказательство; 2) Вневписанная окружность треугольника доказательство.

Задача 2. Следует отметить, что если решать задачу в привычной формулировке, используемой в школьном учебнике: «Длины сторон основания треугольной пирамиды равны a, b и c. Боковые грани с основанием пирамиды составляют угол  . Вычислить объем пирамиды», то задача будет иметь только одно решение: на основании утверждения 1. вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды.

«Длины сторон основания треугольной пирамиды равны a, b и c. Плоскости боковых граней с плоскостью основания пирамиды составляют угол  . Вычислить объем пирамиды»

В такой формулировке условию задачи соответствуют четыре пирамиды, имеющие общее основание и отличающиеся только высотами: Вневписанная окружность треугольника доказательство, Вневписанная окружность треугольника доказательство, Вневписанная окружность треугольника доказательство, Вневписанная окружность треугольника доказательство.

После преобразований получаем Вневписанная окружность треугольника доказательство, Вневписанная окружность треугольника доказательство, Вневписанная окружность треугольника доказательство, Вневписанная окружность треугольника доказательство.

Очевидно, что, если треугольник, лежащий в основании пирамиды разносторонний, имеем четыре различных значения искомого объема пирамиды, если треугольник равнобедренный – три, правильный – два.

Процесс решения таких задач вполне доступен, если предварительно познакомиться с понятием вневписанной окружности.

В заключение мы еще раз хотим сказать, что геометрия начинается с треугольника. Треугольник неисчерпаем. Две с половиной тысячи лет постоянно открываются его новые свойства. Чтобы рассказать обо всех известных, необходим том, сравнимый по объему с томом Большой энциклопедии.

А изящество и красота применения окружности создают ощущение ее элитарности. К сожалению, в школьной программе этой фигуре уделяется незначительное время и внимание. А про вневписанную окружность и не упоминается.

В своей работе мы проиллюстрировали связь вневписанной окружности с основными элементами треугольника и показали применение этих свойств к решению задач различного типа.

На наш взгляд данная работа может быть использована на уроках геометрии в 8-11 классах, на занятиях математического кружка, факультативах и при решении конкурсных задач.

Задания для самостоятельной работы

1. Вневписанная окружность треугольника доказательство

2. Вневписанная окружность треугольника доказательство

3. Вневписанная окружность треугольника доказательство

4. Вневписанная окружность треугольника доказательство, где Вневписанная окружность треугольника доказательство— угол А треугольника АВС

5. Четырехугольник ABCD обладает тем свойством, что существует окружность, вписанная в угол BAD и касающаяся продолжений сторон ВС и CD . Докажите, что Вневписанная окружность треугольника доказательство.

6. Дан параллелограмм ABCD . Вневписанная окружность треугольника ABD касается продолжений сторон AD и AB в точках M и N . Докажите, что точки пересечения отрезка M N с BC и CD лежат на вписанной окружности треугольника BCD .

7. Пусть a и b две стороны треугольника. Как подобрать третью сторону с так, чтобы точки касания вписанной и вневписанной окружностей со стороной с делили эту сторону на три равных отрезка? При каких a и b такая сторона с существует?

8. Окружность радиуса 3, вписанная в треугольник ABC , касается стороны BC в точке Е. Окружность радиуса 4 касается продолжения сторон АВ и АС и касается стороны ВС в точке D . Найдите длину отрезка ED , если Вневписанная окружность треугольника доказательство. Ответ: Вневписанная окружность треугольника доказательство.

9. С помощью циркуля и линейки постройте точку, равноудаленную от трех данных прямых. (Комментарий: рассмотрите все возможные случаи взаимного расположения трех прямых на плоскости).

10. Отрезок, соединяющий вершину А треугольника ABC с центром Q вневписанной окружности, касающейся стороны ВС, пересекает описанную окружность этого треугольника в точке D . Докажите, что треугольник BDQ – равнобедренный.

11. Докажите, что сторона ВС треугольника ABC видна из центра О вписанной окружности под углом Вневписанная окружность треугольника доказательство, а из центра О1 вневписанной окружности, касающейся стороны ВС, — под углом Вневписанная окружность треугольника доказательство.

12. Доказать, что для любого треугольника отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружности, делятся описанной окружностью пополам.

13. Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны АС в точке D ; DM – ее диаметр. Прямая BM пересекает сторону АС в точке К. Докажите, что АК= DC .

14. Сторона правильного треугольника равна а. Найдите радиус вневписанной окружности.

15. Найдите радиусы вписанной и вневписанной окружностей треугольника со сторонами 5, 12, 13.

16. В треугольнике PQR величина угла QRP равна 60º. Найдите расстояние между точками касания со стороной QR окружности радиуса 2, вписанной в треугольник, и окружности радиуса 3, касающейся продолжений сторон PQ и PR .

17. Докажите, что если Вневписанная окружность треугольника доказательство, где Вневписанная окружность треугольника доказательство— стороны треугольника, Вневписанная окружность треугольника доказательство— соответственно радиус описанной, вписанной и одной вневписанной окружностей, то треугольник прямоугольный (подсказка: воспользуйтесь формулами Вневписанная окружность треугольника доказательство).

18. Сторона квадрата ABCD равна 1. На сторонах AB и А D выбраны точки P и Q так, что периметр треугольника APQ равен 2. Докажите, что Вневписанная окружность треугольника доказательство(подсказка: рассмотрите вневписанную окружность треугольника APQ ).

19. В треугольнике ABC с периметром величина острого угла BAC равна α. Окружность с центром в точке О касается стороны ВС и продолжения сторон АВ и АС в точках K , L и M соответственно. Точка D лежит внутри отрезка АК, AD = а. Найдите площадь треугольника DOK .

20. Пусть R — радиус описанной окружности треугольника ABC , Вневписанная окружность треугольника доказательство— радиус вневписанной окружности, касающейся стороны ВС. Докажите, что квадрат расстояния между центрами этих окружностей равен Вневписанная окружность треугольника доказательство.

21. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по центрам описанной и одной из вневписанных окружностей (подсказка: описанная окружность треугольника делит пополам отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей).

22. Докажите, что если радиус вневписанной окружности равен полупериметру треугольника, то этот треугольник прямоугольный.

23. Через данную точку проведите прямую, отсекающую от данного угла треугольник наименьшего возможного периметра.

24. В основании пирамиды лежит правильный треугольник со стороной а. Двугранные углы между основанием и плоскостями боковых граней равны α. Найдите угол между боковыми гранями.

Решение некоторых задач из приложения

1. Доказать, что: Вневписанная окружность треугольника доказательство

Доказательство: так как Вневписанная окружность треугольника доказательствоа Вневписанная окружность треугольника доказательство, то Вневписанная окружность треугольника доказательство, ч.т.д.

2. Доказать, что: Вневписанная окружность треугольника доказательство.

1) Вневписанная окружность треугольника доказательство,

так как Вневписанная окружность треугольника доказательство;

2) Вневписанная окружность треугольника доказательство; Вневписанная окружность треугольника доказательство

Вневписанная окружность треугольника доказательство, ч.т.д.

3. Доказать, что: Вневписанная окружность треугольника доказательство.

Доказательство: Так как Вневписанная окружность треугольника доказательство, то Вневписанная окружность треугольника доказательство. Тогда Вневписанная окружность треугольника доказательство(с использованием формул Вневписанная окружность треугольника доказательство).

Вневписанная окружность треугольника доказательство Вневписанная окружность треугольника доказательствои Вневписанная окружность треугольника доказательство. Таким образом, Вневписанная окружность треугольника доказательство.

9. С помощью циркуля и линейки постройте точку, равноудаленную от трех данных прямых. (Комментарий: рассмотрите все возможные случаи взаимного расположения трех прямых на плоскости).

1) Если все три прямые параллельны, то решений нет.

2) Если все три прямые пересекаются в одной точке, то эта точка является искомой.

3) Если две параллельные прямые пересекаются третьей, то задача имеет два решения.

Вневписанная окружность треугольника доказательствоa

4) Если прямые попарно пересекаются, то при пересечении они образуют треугольник и задача имеет четыре решения. В этом случае искомые точки – это центры вписанной в треугольник окружности и трех его вневписанных окружностей.

13. Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны АС в точке D ; DM – ее диаметр. Прямая BM пересекает сторону АС в точке К. Докажите, что АК= DC .

Решение: Рассмотрим гомотетию с центром в точке В, переводящую вписанную окружность треугольника ABC в его вневписанную окружность, касающейся стороны АС.

Вневписанная окружность треугольника доказательство

Диаметр вневписанной окружности, соответствующий диаметру DM вписанной окружности касается стороны АС в точке К. Если Вневписанная окружность треугольника доказательство, F – точка касания вневписанной окружности с лучом ВА, то Вневписанная окружность треугольника доказательствои Вневписанная окружность треугольника доказательство. Следовательно Вневписанная окружность треугольника доказательство.

14. Сторона правильного треугольника равна а. Найдите радиус его вневписанной окружности.

Вневписанная окружность треугольника доказательство C

Так как треугольник АВС равносторонний, то радиусы всех трех его вневписанных окружностей будут равны. Пусть Ос — центр вневписанной окружности, касающейся стороны АВ треугольника в точке М (середина АВ) и продолжений сторон АС и СВ в точках L и K соответственно.

Так как Вневписанная окружность треугольника доказательство, Вневписанная окружность треугольника доказательство, Вневписанная окружность треугольника доказательство, то Вневписанная окружность треугольника доказательство. Ответ: Вневписанная окружность треугольника доказательство.

15. Найдите радиусы вписанной и вневписанной окружностей треугольника со сторонами 5, 12, 13.

Решение: Если a и b – катеты прямоугольного треугольника, а с – его гипотенуза, то искомые радиусы будут равны: Вневписанная окружность треугольника доказательство. Таким образом Вневписанная окружность треугольника доказательство. По-другому: Вневписанная окружность треугольника доказательство

Вневписанная окружность треугольника доказательство

a r Ответ: Вневписанная окружность треугольника доказательство

16. В треугольнике PQR величина угла QRP равна 60º. Найдите расстояние между точками касания со стороной QR окружности радиуса 2, вписанной в треугольник, и окружности радиуса 3, касающейся продолжений сторон PQ и PR .

Вневписанная окружность треугольника доказательство

Пусть О1 и О2 – центры окружностей радиусов 2 и 3 соответственно, M и N точки касания окружностей со стороной RQ . Тогда Вневписанная окружность треугольника доказательство,Вневписанная окружность треугольника доказательство. ПоэтомуВневписанная окружность треугольника доказательство. Ответ: Вневписанная окружность треугольника доказательство.

19. В треугольнике ABC с периметром величина острого угла BAC равна α. Окружность с центром в точке О касается стороны ВС и продолжения сторон АВ и АС в точках K , L и M соответственно. Точка D лежит внутри отрезка АК, AD = а. Найдите площадь треугольника DOK .

Решение: Вневписанная окружность треугольника доказательство

A D B K По теореме 2:Вневписанная окружность треугольника доказательство, Вневписанная окружность треугольника доказательство, Вневписанная окружность треугольника доказательство, так как Вневписанная окружность треугольника доказательство. Отсюда следует, что Вневписанная окружность треугольника доказательство.

Ответ: Вневписанная окружность треугольника доказательство.

Гнеденко Б.В. Энциклопедический словарь юного математика. М.: «Педагогика», 1989.

Н.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев. Факультативный курс по математике: Решение задач. Учеб пособие для 11 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1991, с. 138-140.

Андреев П.П., Шувалова Э.З. Геометрия.

Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Ч. I М.: Наука, 1986.

Никольская И.Л. Факультативный курс по математике: учебн. Пособие для 7-9 классов ср. школы. — М.: Просвещение, 1991, с.88-91.

Фетисов А.М. Геометрия: учебн. Пособие по программе старших классов. М.: Издательство Академии педагогических наук РСФСР, 1963, 20-21.

Березин В.И. и др. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике. Книга для учителя. — М.: Просвещение, 1985.

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф.. С.Б. Кадомцев, Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы, 9 издание. — М.: Просвещение, 2000.

Энциклопедия для детей т.11. Математика/Глав.ред. М.Д. Аксенова.-М.: Аванта+, 2000.-с. 283

М.Г. Гохидзе «Вневписанная окружность», «Математика в школе», №3, 1989. с. 59

М.Г. Гохидзе «О вневписанной окружности в задачах по стереометрии», «Математика в школе», №5, 1987. с. 54.

«О свойствах центра вневписанной окружности», «Квант», №2, 2001, стр.38.

«Биссектрисы вписанной и вневписанной окружности треугольника», «Квант», №7, 1987.

Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики.- М.: советская наука, 1957.

Васильев Н.Б. и др. Заочные математические олимпиады. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981.

💥 Видео

Вневписанная окружность | Теоремы об окружностях - 3Скачать

Вневписанная окружность | Теоремы об окружностях - 3

Радиус вневписанной окружности. Вывод формулы.Скачать

Радиус вневписанной окружности. Вывод формулы.

Вневписанная окружностьСкачать

Вневписанная окружность

Это будет на ЕГЭ 2020 по математике. Вписанная и вневписанная окружности.Скачать

Это будет на ЕГЭ 2020 по математике. Вписанная и вневписанная окружности.

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математике

✓ Как вневписанная окружность Герону помогла | Ботай со мной #083 | Борис ТрушинСкачать

✓ Как вневписанная окружность Герону помогла | Ботай со мной #083 | Борис Трушин

Четыре окружности Трудная задача на доказательствоСкачать

Четыре окружности Трудная задача на доказательство

Лекция 59. Вневписанная окружность.Скачать

Лекция 59. Вневписанная окружность.

Вневписанная окружность. Теория | Профильная математика в онлайн - школе СОТКАСкачать

Вневписанная окружность. Теория | Профильная математика в онлайн - школе СОТКА

Вневписанная окружность треугольникаСкачать

Вневписанная окружность треугольника

Вневписанная окружность. (Геометрические конструкции)Скачать

Вневписанная окружность. (Геометрические конструкции)

7-13. Вневписанная окружность прямоугольного треугольникаСкачать

7-13. Вневписанная окружность прямоугольного треугольника

Вневписанная окружностьСкачать

Вневписанная окружность

Егэ c4. Вневписанная окружностьСкачать

Егэ c4. Вневписанная окружность

ЕГЭ-2020. №16. Вневписанная окружность🚀 Ортоцентр. Теорема Карно, Бланшета, Чевы, Менелая🔥Скачать

ЕГЭ-2020. №16. Вневписанная окружность🚀 Ортоцентр. Теорема Карно, Бланшета, Чевы, Менелая🔥

Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |Скачать

Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |

Задача про две вневписанные окружности | ЕГЭ. Задание 16. Математика | Борис Трушин |Скачать

Задача про две вневписанные окружности | ЕГЭ. Задание 16. Математика | Борис Трушин |

[12] Площадь через радиус вневписанной окружности. Теорема о трилистнике, трезубец, Теорема МансионаСкачать

[12] Площадь через радиус вневписанной окружности. Теорема о трилистнике, трезубец, Теорема Мансиона
Поделиться или сохранить к себе: