Вневписанная окружность исследовательская работа

В работе рассматриваются различные теоремы и свойства вневписанной окружности. Показаны способы применения этих свойст при решении различных задач. В данном материале можно найти задачи практического содержания с использованием свойств вневписанной окружности.

Видео:Вневписанная окружность | Теоремы об окружностях - 3Скачать

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Рисуем весеннюю вербу гуашью

Интересные факты о мультфильме «Моана»

Эта весёлая планета

Три способа изобразить акварелью отражения в воде

Видео:✓ Как вневписанная окружность Герону помогла | Ботай со мной #083 | Борис ТрушинСкачать

Информационно-исследовательский проект: “Вневписанная в треугольник окружность”

Данный материал можно использовать во внеурочной деятельности, при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ .

Просмотр содержимого документа
«Информационно-исследовательский проект: “Вневписанная в треугольник окружность”»

муниципальное общеобразовательное учреждение

“Вневписанная в треугольник окружность”

Ученик 9 “В” класса

Бородкина Татьяна Ивановна

6.Определение вневписанной окружности. ……………………….6

7.Свойства вневписанной окружности….…………………………..7

8.Задачи на свойства вневписанной окружности………………. 12

10.Список использованной литературы и Интернет-ресурсов. 20

Чем же выделяется геометрия среди других разделов мaтематики? Во-первых, геометрия — это древнейшая наука. А термин «математика» появился относительно недавно, поэтому древние учёные, которые в нашем представлении занимались математикой, называли себя геометрами. Некоторые теоремы геометрии стали памятниками мировой культуры. Ярким примером является “Теорема Пифагора”, которая используется при доказательстве и решении большинства задач, связанных с прямоугольным треугольником.

Моя работа посвящается одному из интереснейших понятий геометрии, которое обычно остаётся в стороне из-за своей сложности. Речь идёт о вневписанной окружности. В этом проекте я собрал всю самую важную информацию об этой теме. Благодаря этому она станет проще для понимания.

Многие из вас наверное знают про окружность девяти точек(она названа так, потому что проходит через три тройки точек: через основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с точкой пересечения высот). Эта окружность, найденная в XVIII в. великим ученым Л. Эйлером (поэтому ее часто также называют окружностью Эйлера), была заново открыта немецким математиком XIX века К. Фейербахом (братом известного философа).

Дополнительно К. Фейербах выяснил, что окружность девяти точек имеет еще четыре точки, тесно связанные с геометрией любого данного треугольника. Это – точки ее касания с четырьмя окружностями. Одна из этих окружностей вписанная, остальные три – ВНЕВПИСАННЫЕ. Таким образом, окружность девяти точек в действительности является окружностью тринадцати точек. Прямые в треугольнике, соединяющие его вершины с точками касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке, которая называется точкой Нагеля в честь открывшего ее немецкого математика Августа Нагеля (1821-1903).

Ввести определение вневписанной окружности, рассмотреть её свойства и применить их при решении задач на вычисление и доказательство.

Задачи на данную тему представлены на экзаменах в 9-х и 11-х классах. При их решении выпускники испытывают наибольшие затруднения. Многие из них даже не приступают к решению. Поэтому я хочу изучить свойства вневписанных окружностей и познакомить с ними старшеклассников, а также решить задачи на данную тему, предлагаемые на ОГЭ и ЕГЭ.

Изучить математическую литературу по данной теме.

Ввести определение вневписанной окружности треугольника.

Рассмотреть свойства вневписанных окружностей треугольника.

Доказать свойства вневписанной окружности и показать её связь с элементами треугольника.

Показать применение свойств вневписанной окружности при решении задач на доказательство, построение и вычисление.

Окружность называют вневписанной в треугольнике, если она касается одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон этого треугольника. Для каждого треугольника существует три вневписанных окружности, которые расположены вне треугольника, почему они и получили название вневписанных

Свойства вневписанной окружности:

Свойство 1. Центр вневписанной окружности в треугольнике есть точка пересечений биссектрисы внутреннего угла треугольника, противолежащего той стороне треугольника, которой окружность касается и биссектрис двух внешних углов треугольника.

Т.к. окружность касается сторон ∠CAM, то точка О — центр окружности равноудалённая от сторон этого угла, значит он лежит на биссектрисе ∠СAM. Аналогично, точка О равноудалена от сторон ∠ACK , значит О лежит на биссектрисе ∠ACK . Окружность касается прямых BA и BC, значит она вписана в ∠ABC, а следовательно центр лежит на биссектрисе ∠ABC.

Свойство 2. Расстояния от вершины угла треугольника до точки касания вневписанной окружности со сторонами этого угла равны полупериметру этого треугольника

Докажем, что BM = BK=

О – центр вневписанной окружности. По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки, имеем: BM=BK, AM=AN, CN=CK. Значит

Свойство 3. Радиус вневписанной окружности, касающийся данной стороны треугольника, равен отношению площади треугольника к разности полупериметра и этой стороны.

Докажем, что =

Пусть AB=c, AC=b, BC=c, BM=BK=b .

S=S+S-S.Т.к. =,

То S= S, SЗначит S∆ABC= S (p-b). Отсюда =.

Свойство 4. Сумма всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей равна квадрату полупериметра треугольника.

Докажем , что

Мы знаем : r = ; ; ; .

Имеем, + = = = = = = = . (Заметим, что a+b+c=2p).

Свойство 5. Сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей треугольника, равна обратному радиусу вписанной в этот треугольник окружности.

Поскольку , то , . Складывая эти формулы и воспользовавшись формулой для радиуса окружности , получим = = Что и требовалось доказать.

Задачи на свойства вневписанной окружности

Задача 1. Условие: Дан ABC. Центры вневписанных окружностей O₁, O₂ и O₃ соединены прямыми. Доказать, что O₁O₂O₃ — остроугольный.

Решение: Центр O₁ вневписанной окружности, касающейся стороны BC, является точкой пересечения биссектрис внешних углов при вершинах B и C. Поэтому

Задача 2. Условие: Докажите, что прямая, проходящая через центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся сторон AB и AC, перпендикулярна прямой, проходящей через центр вписанной окружности и вершину A.

Решение: Пусть O₁ и O₂ – центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся сторон AB и AC соответственно; O — центр вписанной окружности треугольника ABC. Поскольку точкиO₁ и O₂ расположены на биссектрисах вертикальных углов с вершиной A, то прямая O₁O₂ проходит через точку A. ∠ O₁AO – это угол между биссектрисами смежных углов, поэтому ∠O₁AO = 90°.

Задача 3. Условие: Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Доказать, что конец D отрезка BD, выходящего из вершины B, параллельного основанию и равного боковой стороне треугольника, является центром вневписанной окружности треугольника.

Решение: BD – биссектриса внешнего угла ∠ B .Треугольник CBD – равнобедренный, поэтому ∠GCD = ∠BDC = ∠DCB (G – точка на продолжении отрезка AC за точку C), то есть CD – биссектриса ∠ C. D –точка пересечения биссектрис BD и CD , она, как известно, является центром вневписанной окружности.

Задача 4. Условие: Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.

а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание. б) Известно, что радиус этой окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?

а) Вневписанной окружностью называется окружность, которая касается стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Пусть угол ∠А = ∠С = α, так как треугольника ∆АВС — равнобедренный. Угол ∠DBC – внешний угол треугольника ∆АВС, поэтому ∠DBC = ∠А + ∠С = 2α.Окружность касается сторон угла ∠DBC, значит, ВО – биссектриса угла ∠DBC, т. е. угол ∠DBО = ∠ОBC = α.Получаем, что ∠DBО = ∠А = α. Соответственные углы ∠DBО и ∠А при пересечении прямых ВО и АМ секущей AD равны, то прямые ВО и АМ параллельны. BH – высота треугольника ∆АВС, следовательно, BH перпендикулярна АМ. АМ – 15 касательная к окружности, следовательно, ОМ перпендикулярна АМ (ОМ – радиус окружности). Значит, ВН параллельна ОМ. Получаем, ВОМН – прямоугольник. Следовательно, радиус окружности равен высоте треугольника, опущенной на основании, т. е. R = BH.

б) Пусть радиус вневписанной окружности ОМ = R, а радиус вписанной в треугольник окружности QK = QH = r. Тогда по условию R = 4r. Треугольники ∆АВН и ∆QВК – подобные треугольники (∠В – общий, ∠ВКQ = ∠ВНА), следовательно,

BH = OM = R = 4r QB = BH – QH = 4r – r = 3r

Из прямоугольного треугольника ∆QBK по теореме Пифагора найдем BK:

BK 2 = QB 2 – KQ 2 = (3r) 2 – r 2 = 8 . BK = 2√2r.

AB= AK = AB – BK=3√2r – 2√2r = √2r. Тогда отношение, в котором точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону, равно Ответ: .

Задача 5. Условие: Найдите периметр треугольника ABC, если расстояние от вершины A до точки касания с вневписанной окружностью равно 17, расстояние от вершины B до точки касания окружности со стороной BC равно 6, расстояние от вершины C до точки касания окружности со стороной AC равно 4.

1)Рассмотрим

a) Т.к. BL=B =6 (как отрезки касательный, проведенных из одной точки), то AB=A -B = AB=17-6=11. b) Т.к. CL=C =4 (как отрезки касательный, проведенных из одной точки), то BC=BL+LC = BC=6+4=10. c) Т.к. A =A =17(как отрезки касательный, проведенных из одной точки), то AC=A -C = AC=17-4=13

2) P=AB+BC+AC = P=11+10+13=34 Ответ: 34.

Задача 6 Условие: Найдите радиус вневписанной окружности треугольника, если радиусы двух других вневписанных окружностей равны 2002 и 4004, а радиус вписанной окружности равен 1001.

Т.к. сумма величин обратных радиусам вневписанных окружностей, равна величине, обратной радиусу вписанной окружности, а именно

, то составим равенство: =

1.Изучив свойства вневписанной окружности, я:

А)Кратко изложил понятия, приводящие к пониманию вневписанной окружности

Б)Доказал её свойства и применил их к решению геометрических задач.

2.Работая над данной темой, я научился лучше рассуждать, анализировать и систематизировать данные. Надеюсь, что опыт выполнения этой работы пригодится вам в будущем. Данный материал выходит за рамки школьной программы и будет полезен учащимся при подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.

Видео:Вневписанная окружностьСкачать

Исследовательская работа на тему: «Вневписанная окружность» Секция « математика » Выполнила: Маломагомедова Людмила ученица 9 класса МБОУ КИРОВСКАЯ СОШ. — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемСемен Стифеев

Похожие презентации

Видео:КОНТРОЛЬНАЯ РБ 9 класс Вписанные и описанные окружностиСкачать

Презентация 9 класса по предмету «Математика» на тему: «Исследовательская работа на тему: «Вневписанная окружность» Секция « математика » Выполнила: Маломагомедова Людмила ученица 9 класса МБОУ КИРОВСКАЯ СОШ.». Скачать бесплатно и без регистрации. — Транскрипт:

1 Исследовательская работа на тему: «Вневписанная окружность» Секция « математика » Выполнила: Маломагомедова Людмила ученица 9 класса МБОУ КИРОВСКАЯ СОШ

3 Цель исследования: 1. Ввести определение вневписанной окружности треугольника. 2.Рассмотреть свойства вневписанных окружностей треугольника. 3. Показать применение свойств вневписанной окружности при решении задач на доказательство, построение и вычисление.

4 Методы исследования: метод теоретического анализа учебной литературы; метод обобщения справочных и познавательных материалов первоисточников; практическое применение при решении задач ГИА и ЕГЭ.

5 Определение. Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон О А В С М N H

6 Свойство 1.Центр вневписанной окружности в треугольник есть точка пересечения биссектрисы внутреннего угла треугольника, противолежащего той стороне треугольника, которой окружность касается, и биссектрис двух внешних углов треугольника Дано: АВС Окр. (О; r) М, N, К – точки касания Доказать (1) Решение: Т. к. окружность касается сторон угла САК, то центр окружности О равноудален от сторон этого угла, следовательно, он лежит на биссектрисе угла САК. Аналогично, точка О лежит на биссектрисе угла АСN. Т. к. окружность касается прямых ВА и ВС, то она вписана в угол АВС, а значит её центр лежит на биссектрисе угла АВС. Ч.т. д. А В С О К М N

7 Свойство 2.Расстояние от вершины угла треугольника до точек касания вневписанной окружности со сторонами этого угла равны полупериметру данного треугольника АВ 1 = АС 1 = p Дано: АВС Вневписанная окр. ( О а ; r a ) Доказать, что АВ 1 = АС 1 = p Доказательство: Т.к. О а — центр вневписанной окружности. Касательные, прове — денные к окружности из одной точки, равны между собой, поэтому ВВ 1 = ВА 1, СА 1 = СС 1, АВ 1 = АС 1. Значит, 2p = (AC + СА 1 ) + (AB + ВА 1 ) = (AC + CC 1 ) + (AB + BB 1 ) = AC 1 + AB 1 = 2AC 1 = 2AB 1 т.е. АВ 1 = АС 1 = p. ОаОа В1В1 ra ra ra ra ra ra А В С С1С1 А1А1 α/2

8 Теорема1. Радиус вневписанной окружности. Касающейся сторон данного внутреннего угла треугольника, равен произведению полупериметра треугольника на тангенс половины этого угла, т. е. r a = p·tg, r b = p·tg, r c = ptg Дано: АВС Вневписанная окр. ( О а ; r a ) Доказать: Решение: В прямоугольном треугольнике А О а С 1 r a и p – длины катетов, угол О а А С 1 равен, поэтому r a = ptg. А В С ОаОа p p В1В1 С1С1 b c ra ra ra ra ra ra

9 Теорема2. Радиус вневписанной окружности, касающейся данной стороны треугольника, равен отношению площади треугольника к разности полупериметра и этой стороны. т.е. r a =, r b =, r c = Дано: АВС Вневписанная окр. ( О а ; r a ) Доказать r a =, r b =, r c = Решение: Имеем S = S ABC = S AOaC + S BOaC – S BOaC = × (b + c – a) = r a × (p – a), т.е. r a = А В С ОаОа p p В1В1 С1С1 b c ra ra ra ra ra ra

10 Теорема3. Сумма радиусов вневписанных окружностей равна сумме радиуса вписанной окружности и удвоенного диаметра описанной окружности, т. е. r a + r b + r c = r + 4R Доказательство: Выразим все радиусы через стороны, площадь и полупериметр треугольника: r =, R =, r a =, r b =, r c = Значит, r a + r b + r c – r = = = = = = 4R

11 Теорема 4. Сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, равна величине, обратной радиусу вписанной окружности, т. е. Доказательство: Используем выражения радиусов через стороны и площадь треугольника: r =, R =, r a =, r b =, r c = Значит,

12 Теорема 5. Сумма всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей равна квадрату полупериметра треугольника, т. е. r a r b + r b r c + r c r a = p 2 Доказательство: Воспользуемся формулами ранее доказанных радиусов через стороны и площадь треугольника: r =, r a =, r b =, r c = Подставим Из формулы Герона следует (p – a)(p – b)(p – c) =, поэтому

13 Теорема 6. Произведение всех трех радиусов вневписанных окружностей равно произведению радиуса вписанной окружности на квадрат полупериметра треугольника, т.е. r a r b r c = rp 2 Доказательство: Из ранее доказанных формул для радиусов и формулы Герона r a =, r b =, r c =, Тогда

14 Следствие 1. Площадь треугольника равна отношению произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей к полупериметру треугольника, т.е. Доказательство: Из r a r b r c = rp 2 = rp × p = Sp. Следовательно

15 Следствие 2. Площадь треугольника равна квадратному корню из произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей и радиуса вписанной окружности, т.е. Доказательство: Из следствия 1, что и равенства S = pr, получаем, перемножая их почленно,. Значит

16 § 5. Следствие 3. Величина, обратная высоте треугольника, опущенной на его данную сторону, равна полусумме величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, касающихся двух других сторон треугольника, т.е. Доказательство: Воспользуемся формулами, Значит,,

17 ЗАДАЧА 1 (сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко) В-16. «Найдите произведение радиусов всех вневписанных окружностей треугольника со сторонами 4,5,6.» Решение: Согласно следствию 2, произведение радиусов можно найти по формуле r a r b r c = rp 2. Где r-радиус вписанной в треугольник окружности, а р – полупериметр треугольника. Р=4+5+6=15, р=15/2=7,5. r =S/p. Площадь найдем по формуле Герона: S =р(pa)(pb)(pa). S= 7,5(7,5-4)(7,5-5)(7,5 -6) = 3,757; r=3,75 7 : 7,5=7/2. Отсюда r a r b r c =( 7/2) :(15/2)² =225 7/8 Ответ:

18 ЗАДАЧА 2 (сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко) Найдите произведение сторон треугольника, если известно, что радиусы его вневписанных окружностей равны 9,18 и 21. Решение: S=abc/4R,следовательно abc=S·4R. 4R=r a +r b +r c -r; S=r a r b r c /p; p²=r a r b +r a r c +r b r c ;p²=9·18+9·21+18·21=27²; S=9·18·21/27=126; 4R=r a +r b +r c -r; r=r a ·r b ·r c / p²; r=9·18·21/27²=14/3; 4R = /3 = 130/3; abc=126·130/7=5460 Ответ: 5460

19 ЗАДАЧА 3 (сборник «Подготовка к ГИА-2013, под редакцией Д.А. Мальцева) Основание АС равнобедренного треугольника равно 10. Окружность радиуса 7,5 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания АС в его середине. Найдите радиус окружности вписанной в треугольник АВС. Решение: Сделаем чертеж к данной задачи. Так как окружность касается стороны треугольника и продолжения двух других сторон, то –это вневписанная окружность.

20 Так как центр вписанной окружности и вневписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис, то AF-биссектриса угла ВАС, а AO – биссектриса угла CAD В А С OOF D FAO – прямоугольный треугольник, так как биссектрисы смежных углов образуют прямой угол. АК – высота, проведенная к гипотенузе. AK²=FK·KO, 5²=FK·7,5; FK=25:7,5=10/3/. FK – радиус вписанной в АВС окружности, следовательно r = 10/3. Ответ: 10/3 Кr

21 ЗАДАЧА 5. (Сборник « Математика. Все для ЕГЭ 2011». Часть I. Автор Д. А. Мальцев) « Точка О1 — центр вписанной окружности треугольника АВС, а точка О2 – центр окружности, касающейся стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС. Найдите расстояние между точками О1 и О2, если радиус описанной окружности треугольника АВС равен 6, а sin ВО1С = 5/3.

22 Так как О 2 –центр вневписанной окружности, то он лежит на пересечении биссектрис внешних углов к углам В и С треугольника АВС и биссектрисы угла А. Выразим ВО 1 С через А. Рассмотрим ВО 1 С. ВО1С = 180° — ½( В + С) = 180° — ½(180° — А)= 90° + ½ А. sin ВО 1 С = sin (90° + А) = cos(½ А) = 5/3. Т.к. sin²(½ А) + cos²(½ А) =1, следует, что sin (½ А)=. К – точка пересечения биссектрисы угла ВАС с окружностью описанной около треугольника АВС. Т.к. ВО 1 и ВО 2 биссектрисы смежных углов, то О 2 ВО 1 =90°. Следовательно, О 1 О 2 гипотенуза прямоугольного треугольника О 1 ВО 2. Поскольку СВК = КАС(как вписанные углы опирающиеся на одну дугу), то О 1 ВК = СВК + СВО 1 = ½ А + ½ В. А поскольку ВО 1 К = ½ А + ½ В, то О 1 ВК = ВО 1 К, и, значит ВО 1 К – равнобедренный, ВК=О 1 К. Из равенства углов О 1 ВК= ВО 1 К, следует, О 2 ВК = ВО 2 К ( О 2 ВК=90° — О 1 ВК, ВО 2 К = 90° — ВО 1 К). Поэтому ВО 2 К также равнобедренный, ВК=О 2 К. Из равенств ВК=О 1 К и ВК=О 2 К получаем, что О 1 О 2 = 2ВК. Длину отрезка ВК найдем из треугольника АВК по теореме синусов: ВК=2Rsin BAK. Т.к sin BAK = sin (½ А)=, а R=6(по условию), то ВК=2·6· =8, О 1 О 2 =2ВК=16. Ответ: 16

23 Рассмотренные свойства позволили установить связь между радиусами вписанной и вневписанной окружностями, между радиусами вневписанной окружностью и площадью треугольника, между радиусами вневписанных окружностей и периметром треугольника. Данный материал выходит за рамки школьной программы и будет полезен учащимся при подготовке к итоговой аттестации. 3. Заключение.

📸 Видео

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Треугольник наименьшего периметра и наименьшей площади, содержащей две окружностиСкачать

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать

Вписанная и описанная окружность 1Скачать

Треугольник и окружность #shortsСкачать

1 2 4 сопряжение окружностейСкачать

8 класс, 39 урок, Описанная окружностьСкачать

Д.О. Технология 8 кл. Аксонометрическая проекция плоскогранных предметов. И.М.МазаеваСкачать