Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Вписанный угол, опирающийся на диаметр

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, обладает полезным свойством, вытекающим из теоремы о вписанном угле.

Свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр

(следствие из теоремы о вписанном угле)

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нетДано:

Так как AC- диаметр, то ∠AOC=180º.

∠AOC — центральный, ∠ABC — соответствующий ему вписанный угол.

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нетСледовательно, по теореме о вписанном угле,

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Что и требовалось доказать.

Из этого следует, например, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны — прямой.

Если центр описанной окружности лежит на диагонали четырехугольника, то угол напротив этой диагонали — прямой.

Другой вариант формулировки следствия:

Диаметр виден из любой точки окружности под углом 90º.

Если вписанный угол связать с дугой, то следствие из теоремы о вписанном угле звучит так:

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой.

Видео:Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Какое из следующих утверждений верно?

1. Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой.

2. Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой: да, верно.

Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны: нет, неверно; такие треугольники подобны.

Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия: нет, неверно; отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия.

Видео:Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

Углы, связанные с окружностью

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нетВписанные и центральные углы
Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нетУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нетДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном угле

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголВнешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет
Вписанный уголВнешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нетВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголВнешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нетВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголВнешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нетДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголВнешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нетВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаВнешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиВнешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нетВнешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаВнешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нетВнешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияВнешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нетВнешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет
Угол, образованный касательной и секущейВнешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нетВнешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет
Угол, образованный двумя касательными к окружностиВнешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нетВнешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет
Формула: Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет
Формула: Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать

Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математика

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

В этом случае справедливы равенства

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

В этом случае справедливы равенства

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Внешний угол опирающийся на диаметр окружности прямой верно или нет

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

💡 Видео

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс АтанасянСкачать

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс Атанасян

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104Скачать

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104

Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружностиСкачать

Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности

Геометрия. 7 класс. Урок 10 "Углы опирающиеся на диаметр"Скачать

Геометрия. 7 класс. Урок 10 "Углы опирающиеся на диаметр"

Вписанные углы в окружностиСкачать

Вписанные углы в окружности

Геометрия. 8 класс. Урок 11 "Вписанные углы"Скачать

Геометрия. 8 класс. Урок 11 "Вписанные углы"

Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать

Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |

Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Решение задач на тему центральные и вписанные углы.Скачать

Решение задач на тему центральные и вписанные углы.

Углы, связанные с окружностьюСкачать

Углы, связанные с окружностью

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный Угол

Углы в окружности | ФормулыСкачать

Углы в окружности | Формулы

№1 из ЕГЭ 2023 по математике. Лайфхаки для №16. Окружность, вписанные углы, хорды, касательныеСкачать

№1 из ЕГЭ 2023 по математике. Лайфхаки для №16. Окружность, вписанные углы, хорды, касательные

Геометрия . 8 класс. Урок 01 "Окружность"Скачать

Геометрия . 8 класс.  Урок 01 "Окружность"
Поделиться или сохранить к себе: