На представленном видео мы рассмотрим свойства касательной к окружности. Как известно, окружность – это некое многообразие точек, лежащих на единой замкнутой кривой на равном удалении от общего центра, именуемого центром окружности или точкой О. Прямая может пролегать в трёх вариантах по отношению к окружности. Либо она полностью лежит вне фигуры, либо является секущей, пересекая окружность в двух точках и затрагивая её внутреннюю область. Либо же, прямая является касательной.
Касательная – это прямая линия, проходящая через единственную точку на заданной окружности. Через любую окружность можно провести бесконечное количество касательных, ведь точек в кривой бесконечное множество. Но через заданную точку на окружности можно провести исключительно одну касательную. Главное свойство касательной – угол между этой прямой и радиусом окружности, проведенным к точке касания, всегда равен 90 градусам. Иначе говоря, касательная проходит через окружность перпендикулярно радиусу, оканчивающемуся в точке касания.
По определению, касательная бывает только с одной точкой касания. Если общих точек с окружностью нет, то касания вообще не происходит. Если точки две, то прямая перерастает в секущую. Больше двух точек одна прямая не может пересечь на окружности в плоском эвклидовом пространстве. Стоит также отметить, что касательная, в обратном порядке, является частным случаем секущей, когда хорда, образованная ею, бесконечно мала, как и центральный угол при этой хорде. В этом видео мы ознакомимся с главной теоремой о двух касательных. Предположим, у нас есть заданная окружность с центром О. Вне её лежит точка А на некотором удалении. Проведем из точки А две касательные к данной окружности, прямые. Сразу же заметим, что их можно провести две и не более. Это негласное правило вытекает из того факта, что в треугольнике (скажем, АВ1С1) можно вписать только одну, чётко определяемую окружность. Соответственно, вокруг этой окружности через заданную вершину можно обозначить только один треугольник.
Итак, у нас есть касательные прямые АВ и АС, соответственно, с точками касания В и С. При этом, по главному свойству касательных, радиусы ВО и ОС перпендикулярны отрезкам АВ и АС соответственно. Проведем также отрезок АО, соединяющий удаленную точку и центр окружности. Теорема о двух касательных гласит: две касательные, проведенные из одной удаленной точки, образуют два равных между собой отрезка. При этом, угол между касательными и отрезками разбивается на равные части прямой, соединяющей удаленную точку и центр окружности. В нашем определении это значит, что АВ равно АС, а угол ВАО равен углу ОАС.
Теорема довольно легко доказывается. Рассмотрим два треугольника — ВАО и ОАС. Они являются прямоугольными (углы при радиусах – перпендикуляры по свойству касательной), при этом отрезок ОА является общей стороной для обоих фигур, а стороны ВО и ОС равны между собой, так как это радиусы одной окружности. Таким образом, треугольники ВАО и ОАС равны между собой, а значит равны и их катеты: ВА = АС. Кроме того, равны и углы в треугольниках: ВАО = ОАС. Иными словами, отрезок АО является биссектрисой для угла ВАС. Что и требовалось доказать.
Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать
Касательная к окружности
О чем эта статья:
Видео:8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать
Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница
В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.
Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.
Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).
Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.
Видео:Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать
Свойства касательной к окружности
Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.
Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.
Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:
окружность с центральной точкой А;
прямая а — касательная к ней;
радиус АВ, проведенный к касательной.
Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ.
Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.
В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.
Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.
Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Задача
У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.
Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.
Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.
Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.
Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.
Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.
Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.
Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.
Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.
Задача 1
У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.
Решение
Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.
∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).
Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:
∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°
Итак, угол между касательными составляет 60°.
Задача 2
К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.
Решение
Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.
Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.
∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°
Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.
Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.
Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.
Задача 1
Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.
Решение
Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.
Найдем длину внешней части секущей:
МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)
МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64
Задача 2
Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.
Решение
Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.
В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.
Поскольку МВ = 2 МА, значит:
МА = МВ : 2 = (у + R) : 2
Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.
(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)
Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:
Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).
Ответ: MO = 10 см.
Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.
Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.
Задача 1
Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.
Решение
Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.
АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°
Задача 2
У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.
Решение
Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:
КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°
Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.
∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2
Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:
∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°
Видео:Касательная к окружности | Геометрия 7-9 класс #69 | ИнфоурокСкачать
Видеоурок окружность касательная к окружности
Репетитор по алгебре
Касательная к окружности .
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу
4. Через точку (A ) окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности. Найти угол между ними. Показать ответ Показать решение Видеорешение
Дано: (AB ) касательная, ( AC ) хорда (AC=r ) Найти: ( angle CAB ) (OA ) радиус (AB perp OA ) Т.к касательная перпендикулярна радиусу в точке касания
Треугольник (OAC ) равносторонний т.к каждая его сторона равна радиусу
Каждый угол равностороннего треугольника равен (60^0 )
(angle CAB=angle OAB-angle OAB =90^0-60^0=30^0 )
Ответ: ( angle CAB= 30^0 )
5. Через концы хорды (AB), равной радиусу окружности, проведены две касательнае, пересекающиеся в точке (C ). Найти угол (ACB) Показать ответ Показать решение Видеорешение
