Вертикальный вписанный угол в окружность

Углы, связанные с окружностью
Вертикальный вписанный угол в окружностьВписанные и центральные углы
Вертикальный вписанный угол в окружностьУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Вертикальный вписанный угол в окружностьДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Вертикальный вписанный угол в окружность

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Вертикальный вписанный угол в окружность

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Вписанные углы в окружностиСкачать

Вписанные углы в окружности

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголВертикальный вписанный угол в окружность
Вписанный уголВертикальный вписанный угол в окружностьВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголВертикальный вписанный угол в окружностьВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголВертикальный вписанный угол в окружностьДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголВертикальный вписанный угол в окружностьВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаВертикальный вписанный угол в окружность

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Вертикальный вписанный угол в окружность

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Вертикальный вписанный угол в окружность

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Вертикальный вписанный угол в окружность

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Вертикальный вписанный угол в окружность

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Вертикальный вписанный угол в окружность

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Вертикальный вписанный угол в окружность

Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиВертикальный вписанный угол в окружностьВертикальный вписанный угол в окружность
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаВертикальный вписанный угол в окружностьВертикальный вписанный угол в окружность
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияВертикальный вписанный угол в окружностьВертикальный вписанный угол в окружность
Угол, образованный касательной и секущейВертикальный вписанный угол в окружностьВертикальный вписанный угол в окружность
Угол, образованный двумя касательными к окружностиВертикальный вписанный угол в окружностьВертикальный вписанный угол в окружность

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Вертикальный вписанный угол в окружность

Вертикальный вписанный угол в окружность

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Вертикальный вписанный угол в окружность

Вертикальный вписанный угол в окружность

Вертикальный вписанный угол в окружность

Вертикальный вписанный угол в окружность

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Вертикальный вписанный угол в окружность
Формула: Вертикальный вписанный угол в окружность
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Вертикальный вписанный угол в окружность

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Вертикальный вписанный угол в окружность
Формула: Вертикальный вписанный угол в окружность
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Вертикальный вписанный угол в окружность

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Вертикальный вписанный угол в окружность

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать

Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математика

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Вертикальный вписанный угол в окружность

Вертикальный вписанный угол в окружность

Вертикальный вписанный угол в окружность

Вертикальный вписанный угол в окружность

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Вертикальный вписанный угол в окружность

В этом случае справедливы равенства

Вертикальный вписанный угол в окружность

Вертикальный вписанный угол в окружность

Вертикальный вписанный угол в окружность

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Вертикальный вписанный угол в окружность

В этом случае справедливы равенства

Вертикальный вписанный угол в окружность

Вертикальный вписанный угол в окружность

Вертикальный вписанный угол в окружность

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Вертикальный вписанный угол в окружность

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Вертикальный вписанный угол в окружность

Вертикальный вписанный угол в окружность

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Вертикальный вписанный угол в окружность

Вертикальный вписанный угол в окружность

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Вертикальный вписанный угол в окружность

Вертикальный вписанный угол в окружность

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Вертикальный вписанный угол в окружность

Вертикальный вписанный угол в окружность

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Вертикальный вписанный угол в окружность

Вертикальный вписанный угол в окружность

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Вертикальный вписанный угол в окружность

Вертикальный вписанный угол в окружность

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Вертикальный вписанный угол в окружность

Вертикальный вписанный угол в окружность

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Вертикальный вписанный угол в окружность

Вертикальный вписанный угол в окружность

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:Вписанный угол, который опирается на диаметрСкачать

Вписанный угол, который опирается на диаметр

Центральные и вписанные углы

Вертикальный вписанный угол в окружность

О чем эта статья:

Видео:Вписанный угол в окружность ❤️ #геометрияСкачать

Вписанный угол в окружность ❤️ #геометрия

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Вертикальный вписанный угол в окружность

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Вертикальный вписанный угол в окружность

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Видео:Углы, вписанные в окружность. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. Практическая часть. 9 класс.

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

  • Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Вертикальный вписанный угол в окружность

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

  • Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

Вертикальный вписанный угол в окружность

  • Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

Вертикальный вписанный угол в окружность

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

  • Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

Вертикальный вписанный угол в окружность

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

Вертикальный вписанный угол в окружность

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Вертикальный вписанный угол в окружность

  • Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

Вертикальный вписанный угол в окружность

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

  • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

Вертикальный вписанный угол в окружность

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

  • Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

Вертикальный вписанный угол в окружность

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Видео:Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Вертикальный вписанный угол в окружность

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Вертикальный вписанный угол в окружность

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

Вертикальный вписанный угол в окружность

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

Видео:ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный Угол

Вписанные и центральные углы, их свойства

теория по математике 📈 планиметрия

Видео:Вписанные и центральные углыСкачать

Вписанные и центральные углы

Вписанный угол

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.Вертикальный вписанный угол в окружность

Свойства вписанных углов

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

На рисунке показан вписанный угол АСВ и дуга АВ, на которую он опирается. Если, например, дуга АВ=60 0 , то угол АСВ будет равен 30 0 . И наоборот, например, если угол АСВ равен 50 0 , то дуга АВ будет равна 100 0 .

Вертикальный вписанный угол в окружность

Свойство вписанного угла №2

Вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу, равны.

На рисунке показаны три вписанных угла – ACD, AFD, AND, которые опираются на одну и ту же дугу AD, поэтому эти углы равны.

Вертикальный вписанный угол в окружностьСвойство вписанного угла №2

Вписанный угол, который опирается на диаметр, прямой.

На рисунке угол ВСА опирается на диаметр АВ, следовательно, он равен 90 0 .

Вертикальный вписанный угол в окружность

Видео:ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ . §9 геометрия 8 классСкачать

ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ . §9 геометрия 8 класс

Центральный угол

Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.

Вертикальный вписанный угол в окружность

Свойства центральных углов

Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.

На рисунке показан центральный угол АОВ, который опирается на дугу АВ. Например, дуга АВ равна 80 0 , тогда угол АОВ равен также 80 0 . И наоборот, например, если центральный угол АОВ будет равен 70 0 , то и дуга АВ также будет равна 70 0 .

Вертикальный вписанный угол в окружностьСвойства вписанного и центрального угла

Если центральный и вписанный угол опираются на одну и ту же дугу, то вписанный угол равен половине центрального угла. И наоборот, центральный угол в 2 раза больше вписанного, если они опираются на одну и ту же дугу.

На рисунке показаны вписанный угол АВС и центральный угол АОС, которые опираются на одну и ту же дугу АС. Например, если величина угла АОС равна 120 0 , то величина угла АВС будет равна 60 0 .

🎦 Видео

Углы, вписанные в окружность. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. Практическая часть. 9 класс.

Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать

Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |

Геометрия. Теорема о вписанном углеСкачать

Геометрия. Теорема о вписанном угле

Углы, вписанные в окружность. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. Практическая часть. 9 класс.

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном угле

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс АтанасянСкачать

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс Атанасян

ВПИСАННЫЙ УГОЛ окружности ТЕОРЕМА 8 класс АтанасянСкачать

ВПИСАННЫЙ УГОЛ окружности ТЕОРЕМА 8 класс Атанасян

Угол, вписанный в окружностьСкачать

Угол, вписанный в окружность

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.
Поделиться или сохранить к себе: