Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Углы, связанные с окружностью
Вертикальные вписанные углы в этой окружности равныВписанные и центральные углы
Вертикальные вписанные углы в этой окружности равныУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Вертикальные вписанные углы в этой окружности равныДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголВертикальные вписанные углы в этой окружности равны
Вписанный уголВертикальные вписанные углы в этой окружности равныВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголВертикальные вписанные углы в этой окружности равныВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголВертикальные вписанные углы в этой окружности равныДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголВертикальные вписанные углы в этой окружности равныВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаВертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Видео:Вписанные углы в окружностиСкачать

Вписанные углы в окружности

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиВертикальные вписанные углы в этой окружности равныВертикальные вписанные углы в этой окружности равны
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаВертикальные вписанные углы в этой окружности равныВертикальные вписанные углы в этой окружности равны
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияВертикальные вписанные углы в этой окружности равныВертикальные вписанные углы в этой окружности равны
Угол, образованный касательной и секущейВертикальные вписанные углы в этой окружности равныВертикальные вписанные углы в этой окружности равны
Угол, образованный двумя касательными к окружностиВертикальные вписанные углы в этой окружности равныВертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны
Формула: Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны
Формула: Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

В этом случае справедливы равенства

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

В этом случае справедливы равенства

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnlineСкачать

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnline

Центральные и вписанные углы

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

О чем эта статья:

Видео:Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104Скачать

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Видео:Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать

Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математика

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

  • Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

  • Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

  • Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

  • Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

  • Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

  • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

  • Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Видео:ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный Угол

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

Видео:№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математике

Вертикальные вписанные углы окружности равны

Видео:Найти вписанные в окружность углы (bezbotvy)Скачать

Найти вписанные в окружность углы (bezbotvy)

Углы, связанные с окружностью

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равныВписанные и центральные углы
Вертикальные вписанные углы в этой окружности равныУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Вертикальные вписанные углы в этой окружности равныДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:Вертикальные углы равны. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Вертикальные углы равны. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать

Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |

Теоремы о вписанных и центральных углах

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголВертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Вписанный уголВертикальные вписанные углы в этой окружности равныВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголВертикальные вписанные углы в этой окружности равныВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголВертикальные вписанные углы в этой окружности равныДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголВертикальные вписанные углы в этой окружности равныВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаВертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Видео:7 класс, 11 урок, Смежные и вертикальные углыСкачать

7 класс, 11 урок, Смежные и вертикальные углы

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника
ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиВертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равныУгол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаВертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равныУгол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияВертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равныУгол, образованный касательной и секущейВертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равныУгол, образованный двумя касательными к окружностиВертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:№1 из ЕГЭ 2023 по математике. Лайфхаки для №16. Окружность, вписанные углы, хорды, касательныеСкачать

№1 из ЕГЭ 2023 по математике. Лайфхаки для №16. Окружность, вписанные углы, хорды, касательные

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

В этом случае справедливы равенства

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

В этом случае справедливы равенства

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:Смежные углы. 7 класс.Скачать

Смежные углы. 7 класс.

Центральные и вписанные углы

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

О чем эта статья:

Видео:Вписанный угол, который опирается на диаметрСкачать

Вписанный угол, который опирается на диаметр

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Видео:8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном угле

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

  • Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

  • Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

  • Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

  • Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

  • Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

  • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

  • Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Видео:ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ . §9 геометрия 8 классСкачать

ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ . §9 геометрия 8 класс

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

Видео:Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружностиСкачать

Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности

Вертикальные вписанные углы окружности равны

Какое из следующих утверждений верно?

1) Если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме их диаметров, то эти окружности касаются.

2) Вписанные углы окружности равны.

3) Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°.

4) Через любые четыре точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная окружность.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме их диаметров, то эти окружности касаются.» — неверно, если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме их радиусов, то эти окружности касаются.

2) «Вписанные углы окружности равны.» — неверно, угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. Они равны тогда, когда опираются на одну и ту же дугу.

3) «Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°.» — верно, вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

4) «Через любые четыре точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная окружность.» — неверно, некоторые точки могут не попасть на окружность.

🌟 Видео

Занятие 7. Окружность. Центральные и вписанные углы. Планиметрия для ЕГЭ и ОГЭСкачать

Занятие 7. Окружность. Центральные и вписанные углы. Планиметрия для ЕГЭ и ОГЭ
Поделиться или сохранить к себе:
Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны
Формула: Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны
Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны
Формула: Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны
Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Вертикальные вписанные углы в этой окружности равны