Вертикальные прямые при параллельных прямых

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Пусть прямая с пересекает параллельные прямые и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Вертикальные прямые при параллельных прямых

Углы и — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

Конечно, углы и , и — тоже вертикальные.

Углы и — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна .

Углы и (а также и , и , и ) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.

Углы и — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы и — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна , то есть

Углы и (а также и , и , и ) называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

Углы и (а также и , и , и ) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении , считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен .

Вертикальные прямые при параллельных прямых Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть — биссектриса тупого угла . По условию, отрезки и равны и соответственно.

Рассмотрим углы и . Поскольку и параллельны, — секущая, углы и являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник — равнобедренный, следовательно, .

Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть

2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы и . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: .

3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.

Вертикальные прямые при параллельных прямых Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на чертеж. По условию, , то есть .

Углы и — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

Видео:УГЛЫ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ И СЕКУЩЕЙСкачать

УГЛЫ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ И СЕКУЩЕЙ

51. Планиметрия Вертикальные прямые при параллельных прямыхЧитать 0 мин.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

51.65. Углы и параллельные прямые

Взаимное расположение прямых:

  • Прямые пересекаются, у них есть одна общая точка.
  • Прямые не пересекаются, у них нет общих точек. Такие прямые называются параллельными.

При пересечении двух прямых образуются вертикальные и смежные углы.

Вертикальные углы — равны.

Вертикальные прямые при параллельных прямых

Сумма смежных углов равна 180°.

Вертикальные прямые при параллельных прямых

Параллельные прямые

Прямые называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы их не продолжать.

О параллельных прямых:

  • Если одна из пары параллельных прямых параллельна третьей прямой, то все прямые параллельны между собой.
  • На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.
  • Если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.

При пересечении двух параллельных прямых секущей образуются следующие углы:

  • внутренние накрест лежащие (4 и 5, 3 и 6) — попарно равны;
  • внешние накрест лежащие (1 и 8, 2 и 7) — попарно равны;
  • соответственные (1 и 5, 2 и 6, 3 и 7, 4 и 8) — попарно равны;
  • внутренние односторонние (3 и 5, 4 и 6) — сумма таких углов равна 180°;
  • внешние односторонние (1 и 7, 2 и 8) — сумма таких углов равна 180°.

Вертикальные прямые при параллельных прямых

Часто для использования свойств углов, полученных при пересечении двух параллельных прямых секущей, необходимо применять дополнительные построения.

Пример: Даны углы с попарно параллельными сторонами. Что можно сказать об углах 1 и 2? Что можно сказать об углах 3 и 4?

Вертикальные прямые при параллельных прямых

Продолжим стороны углов до пересечения:

Вертикальные прямые при параллельных прямых

Получаем, что углы 1 и 2 равны, т. к. являются накрест лежащими при параллельных прямых.

Сумма углов 3 и 4 равна 180°, т. к. они являются односторонними при параллельных прямых.

Теорема Фалеса: При пересечении сторон угла параллельными прямыми стороны угла делятся на пропорциональные отрезки (образуются подобные треугольники).

Видео:Пары углов в геометрииСкачать

Пары углов в геометрии

Вертикальные углы. Свойства вертикальных углов

Определение 1. Вертикальными углами называются два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.

Вертикальные прямые при параллельных прямых

На Рис.1 углы AOB и COD вертикальные. Вертикальные также углы AOD и BOC.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Свойства вертикальных углов

1. Вертикальные углы равны.

2. Две пересекающие прямые образуют две пары вертикальных углов.

Доказательство пункта 1. Поскольку 1, 3 и 2, 3 смежные углы, то имеем

Вертикальные прямые при параллельных прямых, Вертикальные прямые при параллельных прямых
Вертикальные прямые при параллельных прямых, Вертикальные прямые при параллельных прямых

Следовательно Вертикальные прямые при параллельных прямых. Аналогично доказывается, что Вертикальные прямые при параллельных прямых.

Видео:7 класс, 11 урок, Смежные и вертикальные углыСкачать

7 класс, 11 урок, Смежные и вертикальные углы

Задачи и решения

Задание 1. Угол 1 равен 32°. Найти углы 2, 3, 4 (Рис.2).

Вертикальные прямые при параллельных прямых

Решение. Так как углы 1 и 2 вертикальны, то Вертикальные прямые при параллельных прямых. Углы 1 и 4 смежные. Следовательно Вертикальные прямые при параллельных прямых. Тогда

Вертикальные прямые при параллельных прямыхВертикальные прямые при параллельных прямых.

Углы 3 и 4 вертикальные. Тогда Вертикальные прямые при параллельных прямых

Ответ. Вертикальные прямые при параллельных прямых.

Задание 2. При пересечении двух прямых образовались четыре угла. Сумма двух углов равна 220°. Найти все углы.

Решение. Из образованных четырех углов любые две или смежные, или вертикальные. Поскольку в нашей задаче сумма двух углов равна 220°, то эти углы вертикальные (так как сумма смежных углов равна 180°). Тогда каждый из этих углов равен 220°:2=110°. Смежный по отношению угла 110° , будет угол 180°-110°=70°. Следовательно остальные два угла равны 70°. Отметим, что сумма всех четырех углов равен 360°:

Вертикальные прямые при параллельных прямых.

Ответ. Вертикальные прямые при параллельных прямых.

🎬 Видео

Вертикальные углы. 7 класс.Скачать

Вертикальные углы. 7 класс.

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)

Геометрия 7 класс | Вертикальные, смежные, накрест лежащие и другие углы (теория) | МАТЕМАТИКА 2021Скачать

Геометрия 7 класс | Вертикальные, смежные, накрест лежащие и другие углы (теория) | МАТЕМАТИКА 2021

Параллельные прямые (задачи).Скачать

Параллельные прямые (задачи).

6 .7 кл Построение параллельных прямых.Как построить параллельные прямыеСкачать

6 .7 кл Построение параллельных прямых.Как построить параллельные прямые

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углыСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углы

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnlineСкачать

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnline

Углы, получаемые при сечении двух прямых третьей.Скачать

Углы, получаемые при сечении двух прямых третьей.

№203. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей сСкачать

№203. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей с

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства УгловСкачать

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства Углов

Параллельные прямые. 6 класс.Скачать

Параллельные прямые. 6 класс.

Это пора запомнить! Свойства углов при параллельных прямых и секущей. #геометрияСкачать

Это пора запомнить! Свойства углов при параллельных прямых и секущей. #геометрия

Углы при параллельных прямыхСкачать

Углы при параллельных прямых
Поделиться или сохранить к себе: