Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Работа с теоремой «Признак параллельности прямых»
Содержание
  1. «Календарь счастливой жизни: инструменты и механизм работы для достижения своих целей»
  2. Параллельные прямые
  3. Определение
  4. Признаки
  5. Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения
  6. Определения параллельных прямых
  7. Признаки параллельности двух прямых
  8. Аксиома параллельных прямых
  9. Обратные теоремы
  10. Пример №1
  11. Параллельность прямых на плоскости
  12. Две прямые, перпендикулярные третьей
  13. Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы
  14. Признаки параллельности прямых
  15. Пример №2
  16. Пример №3
  17. Пример №4
  18. Аксиома параллельных прямых
  19. Пример №5
  20. Пример №6
  21. Свойства параллельных прямых
  22. Пример №7
  23. Пример №8
  24. Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами
  25. Расстояние между параллельными прямыми
  26. Пример №9
  27. Пример №10
  28. Справочный материал по параллельным прямым
  29. Перпендикулярные и параллельные прямые
  30. 💡 Видео

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Мотивация изучения теоремы и раскрытие ее содержания.

Признак параллельности прямых, который мы сегодня изучим, представлена в первой из 13 книг «Начал» Евклида, то есть известна человечеству уже более 23 веков. Практически этот признак использовали и используют в строительном деле, в частности при строительстве дорог, железнодорожных путей и тому подобное.

Выполнить тестовые задания:

1. На каком рисунке изображены пересекающиеся прямые:

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

2. Завершить высказывание.

Пересекающиеся прямые имеют…

а) одну общую точку;

б) ни одной общей точки;

в) несколько общих точек.

3. На каком рисунке изображены параллельные прямые

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

4. Завершить высказывание:

Два отрезка называются параллельными, если они …

оба перпендикулярны третьей прямой.

лежат на параллельных прямых.

имеют одинаковое расстояние между концами

не пересекаются на плоскости.

5. Определите на каком из рисунков угол 1 и угол 2 – смежные.

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Ответить на вопросы

1. Какие прямые называются параллельными (ответ учеников – прямые, которые не пересекаются, то есть не имеют ни одной общей точки)?

2. Изобразите и обозначьте параллельные прямые.

3. Какие отрезки называются параллельными? (отрезки, лежащие на параллельных прямых)

4. Изобразите и обозначьте параллельные отрезки

5. Какими будут две прямые перпендикулярные к третьей прямой?

2.Работа над структурой теоремы.

— Оглянемся вокруг. Приведите примеры параллельных прямых, отрезков. (Учащиеся приводят примеры.)

-Ребята, можем ли мы, основываясь на нашем зрении утверждать, что прямые параллельны или не параллельны? (Нет.)

Объясните, почему нельзя этого сделать? (ответ учеников – так как прямые бесконечны, мы не можем их нарисовать, мы рисуем только части прямых).

Какой можно сделать вывод на основании выше сказанного? (ответ учеников –желательно иметь какие-то отличительные свойства или признаки, по которым можно сделать вывод о параллельности двух прямых).

Признак (в геометрии) — это теорема, которая утверждает, что при выполнении определенных условий можно установить взаимное расположение, равенство фигур, принадлежность фигур к определенному классу и тому подобное.

1. Попробуйте перемещением точек А и В добиться параллельности прямой АВ к прямой CD.

2. Сравните образованные при этом соответствующие углы; внутренние накрестлежащие углы.

3. Найдите суммы внутренних односторонних углов.

4. Перемещением точки L установите, сохранятся такие же отношения между углами.

5. Какие условия должны выполняться для параллельности прямых?

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

3.Построение чертежа и краткая запись содержания теоремы.

Построение чертежа в тетрадях и краткая запись содержания теоремы учащимися.

Теорема (признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхЕсли  то АВ‖ CD

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

4. Поиск доказательства, доказательство и его запись.

оказательство проведем методом от противного. Пусть при пересечении прямых АВ и СВ секущей КL образовались равные соответственные углы  КМВ =  МND.

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Предположим, что данные прямые АВ и СD не параллельны, а пересекаются в некоторой точке F. Не меняя меры угла КМВ, перенесем его так, чтобы вершина угла — точка М — совпала с точкой N, луч МК совпал с лучом NМ, а луч MB занял положение луча NF1. Тогда  МNF1 =  КМF . Поскольку луч NF1 не совпадает с лучом NF, так как F  NF1, то  МNF1 ≠  МNF. Но мы установили, что  МNF =  МNF1.

Пришли к противоречию. Поэтому наше предположение о том, что прямые АВ и СD не параллельны, — неправильно. Итак, прямые АВ и СD параллельные, что и требовалось доказать.

Далее рассмотрим следствия с доказанной теоремы.

Следствие 1. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние разносторонние углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей с внутренние накрест лежащие углы равны, например  1 =  2 .

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Поскольку углы 1 и 3 — вертикальные, то они равны:  1 =  3. Итак,  2 =  3. Эти углы — соответственные, поэтому по признаку параллельности прямых имеем:

Следствие 2. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180 °, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых а и b секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180, например  1 +  2 = 180 °.

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Углы 2 и 3 — смежные, поэтому  3 +  2 = 180 °.

Из этих двух равенств следует, что  1 =  3. Эти углы являются соответственными, а поэтому прямые а и b -параллельны по доказанному выше признаку параллельности прямых.

Следствие 3. Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны.

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

На рисунке, а b и b с. Учитывая следствие 2, имеем: а || b.

Примечание: Следствия 1-3 можно рассматривать как признаки параллельности прямых. Следствие 2 непосредственно следует из пятого постулата Евклида.

Решите задачу по готовому чертежу (устно):

Дано а||в, ∠1=75 о , с – секущая

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Найти пары параллельных прямых:

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Теорема находит широкое применение при изучении свойств различных фигур и, в частности, четырехугольника.

В параллелограмме ABCD угол A равен 30 о . Чему равен внешний угол при вершине B ?

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Заданный параллелограмм ABCD изображен на рисунке. Стороны AD и BC этого параллелограмма лежат на параллельных прямых, а сторона AB на прямой, которая их пересекает. Угол и внешний угол при вершине являются соответственными, а значит, они равны. Следовательно, ∠ОВС=∠А= 30 о .Ответ: 30 о

Решить задачи на готовых чертежах, найти x ,y.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Параллельные прямые

Определение


Параллельными прямыми
называются две прямые,
которые не пересекаются.

Параллельность прямых обозначают знаком: . Например
параллельность прямых a и b обозначается так: a ∥ b.

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

На рисунке 1 изображены три прямые. Прямая а параллельна
прямой b, прямая c не параллельна ни одной из прямых.

Также, как и параллельные прямые, существуют параллельные
отрезки. Два отрезка называются параллельными, если они
лежат на параллельных прямых.

Признаки

Параллельность двух прямых можно доказать по трем признакам.

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

На рисунке 2 изображены 8 углов, при помощи которых можно
доказать все три признака параллельности. Это накрест лежащие
углы: 3 и 5, 4 и 6; односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6;
соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.

Прямая называется секущей по отношению к двум другим прямым,
если она пересекает их в двух точках.

  1. Если при пересечении двух прямых секущей
    накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей
    соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей
    сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Видео:Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.

Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Видео:10 класс, 10 урок, Параллельные плоскостиСкачать

10 класс, 10 урок, Параллельные плоскости

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхимеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых, но не принадлежит прямой Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых. Говорят, что прямые Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхпересекаются в точке М.
Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Это можно записать так: Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых— знак принадлежности точки прямой, «Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхпараллельны (рис. 11, с. 11), то пишут Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхперпендикулярны (рис. 12), то пишут Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

  1. углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими;
  2. углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними;
  3. углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными.

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 86, б). Докажем, что аВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхb.
  2. Если Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых1 = Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2 = 90°, то а Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхАВ и b Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхАВ. Отсюда в силу теоремы 1 (глава 3, § 2) следует, что аВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхb.
  3. Если Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых1 = Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых90°, то из середины О отрезка АВ проведем отрезок ОF Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхa.
  4. На прямой b отложим отрезок ВF1 = АF и проведем отрезок ОF1.
  5. Заметим, что Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхОFА = Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхОF1В по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АF= BF1 и Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых1 = Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2). Из равенства этих треугольников следует, что Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхЗ = Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых4 и Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых5 = Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых6.
  6. Так как Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых3 = Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых4, а точки А, В и О лежат на одной прямой, то точки F1, F и О также лежат на одной прямой.
  7. Из равенства Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых5 = Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых6 следует, что Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых6 = 90°. Получаем, что а Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхFF1 и b Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхFF1, а аВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхb.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых1 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых1 = Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых
2) Заметим, что Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2 = Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых3 как вертикальные углы.

3) Из равенств Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых1 = Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2 и Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2 = Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых3 следует, что Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых1 = Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых3. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхb.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхAOF = Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, например Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых1 + Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2 = 180° (рис. 87, в).
  2. Заметим, что Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых3 + Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2 = 180°, так как углы 3 и 2 являются смежными.
  3. Из равенств Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхl + Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2 = 180° и Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых3 + Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2 = 180° следует, что Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых1 = Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых3.
  4. Поскольку равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 3, то прямые а и b параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a, затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхa проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхb (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону треугольника FDС так, что Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых1 = Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхF и Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2 = Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхF (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхb.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхb. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых1 = Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2.

Например, пусть прямая l параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых3 = Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхB как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

  1. Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 96, а).
  2. Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 3 данного параграфа накрест лежащие углы 1 и 3 равны, т. е. Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых1 = Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых3. Кроме того, Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2 = Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых3, так как они вертикальные.
  3. Из равенств Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых1 = Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых3 и Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2 = Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых3 следует, что Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых1 = Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2.

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Например, пусть прямая l параллельна биссектрисе AF треугольника ABC (рис. 96, б), тогда Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых4 = Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхBAF. Действительно, Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых4 и Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхFAC равны как соответственные углы, a Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхFAC = Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхBAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых1 + Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2 = 180° (рис. 97, а).

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых1 = Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых3.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2 + Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых3= 180°.

4) Из равенств Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых= Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых3 и Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2 + Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых3 = 180° следует, что Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых1 + Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2 = 180°.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхBAF + Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхTFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

1) Пусть прямые а и b параллельны и сВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыха (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Так как Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых1 = 90°, то и Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2 = Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых1 = 90°, а, значит, сВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхb.

Что и требовалось доказать.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхи Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхпараллельны, то есть Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых(рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых, лучи АВ и КМ.

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых, Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых, то Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых(рис. 161).

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых(рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых, перпендикулярную прямой Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых. Затем сдвигают треугольник вдоль прямой Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхи строят другую перпендикулярную прямую Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых, затем — третью прямую Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхи т. д. Поскольку прямые Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых, Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых, Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхперпендикулярны одной прямой Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых, то из указанной теоремы следует, что Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых|| Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых, Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых|| Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых, Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых|| Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых.

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых, параллельной прямой Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхи проходящей через точку К.

Из построения следует: так как Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхи Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых, то Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых|| Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых. Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхи Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхтретьей прямой Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых, которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

  • Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых3 иВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых5,Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых4 иВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых6 — внутренние накрест лежащие углы;
  • Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2 иВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых8,Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых1 иВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых7 — внешние накрест лежащие углы;
  • Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2 иВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых6,Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых3 иВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых7,Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых1 иВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых5,Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых4 иВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых8 — соответственные углы;
  • Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых3 иВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых6,Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых4 иВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых5 — внутренние односторонние углы;
  • Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2 иВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых7,Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых1 иВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых8 — внешние односторонние углы.

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD.
Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхи Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых— данные прямые, АВ — секущая, Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых1 =Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2 (рис. 166).

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Доказать: Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых|| Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых.

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхи продлим его до пересечения с прямой Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхв точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых1 = Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2 по условию, Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхBMK =Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхAMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхANM =Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхBKM = 90°. Тогда прямые Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхи Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхперпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых|| Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых1 =Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2 (рис. 167).

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Доказать: Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых|| Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхи Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхи секущей Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых|| Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых. Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхl +Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2 = 180° (рис. 168).

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Доказать: Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых|| Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых.

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхи Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхи секущей Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых|| Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых. Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхAOB = Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхDOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхBAO=Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхCDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D, Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхBAK = 26°, Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхBAC = 2 •Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхBAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхADK +Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхBAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых1=Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2. Так как Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхBAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых1 =Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых3 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2 =Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых3. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхи Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхи секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых||Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых.

Реальная геометрия

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхпроходит через точку М и параллельна прямой Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых(рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхв некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых||Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых, Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых|| Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых(рис. 187).

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Доказать: Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых||Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых.

Доказательство:

Предположим, что прямые Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхи Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхне параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхи Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых, параллельные третьей прямой Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых. А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых||Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых1 =Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2,Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых3 =Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых4. Доказать, что Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых|| Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых.

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых|| Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхпо признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых|| Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых. Так как Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых|| Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхи Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых|| Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых, то Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых|| Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхпо теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхи Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых— данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим прямую Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых, которая параллельна прямой Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхпо признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхи Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхне пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхи Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых, которые параллельны прямой Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхи Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхпересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых|| Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых, АВ — секущая,Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых1 иВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Доказать: Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых1 =Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2.

Доказательство:

Предположим, чтоВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых1 Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых|| Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхпо признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхи Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых, параллельные прямой Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых. А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно иВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых1 =Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых|| Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых, Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых— секущая,Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых1 иВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2 — соответственные (рис. 196).

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Доказать:Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых1 =Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхи Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых1 =Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых|| Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых, Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых— секущая,Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых1 иВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2 — внутренние односторонние (рис. 197).

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Доказать:Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхl +Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2 +Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых3 = 180°. По свойству параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхl =Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых3 как накрест лежащие. Следовательно,Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхl +Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых|| Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхи Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых, т. е.Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых1 = 90°. Согласно следствию Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых, т. е.Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2 = 90°.

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

  • а) если ссылаются на признак параллельности прямых, то требуется доказать параллельность некоторых прямых;
  • б) если ссылаются на свойство параллельных прямых, то параллельные прямые даны, и нужно воспользоваться каким-то их свойством.

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхАОВ =Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхDOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхABD =Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхCDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхADB =Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхCBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхи Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхпараллельны, то пишут: Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых|| Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых(рис. 211).

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней.

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1) Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теоремеВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2 =Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых3. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, тоВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых1 =Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых3. Значит,Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых1 =Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых2.

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

  1. Признаки параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны».
  2. Свойства параллельных прямых: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°».
  3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
  4. На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
  5. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой прямой.
  6. Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.
  7. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых|| Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхи АВВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых, то расстояние между прямыми Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхи Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхравно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых. Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых|| Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых, А Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых, С Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых, АВВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых, CDВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхи Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхи секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхCAD =Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхBDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхравны (см. рис. 285). Прямая Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых, проходящая через точку А параллельно прямой Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых, будет пересекать луч DC в некоторой точке С1. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C1D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С1 и лежит на прямой Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых, которая параллельна прямой Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых. Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхбудет перпендикуляром и к прямой Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых(см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхBAD +Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Тогда Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхBAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхАВ = 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхи Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых— данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых, параллельную прямой Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых.

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Тогда Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых|| Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхравноудалены от прямых Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхи Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхна расстояние Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхАВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхи Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых, то есть расстояние от точки М до прямой Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхравно Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхАВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых. Но через точку К проходит единственная прямая Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых, параллельная Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых. Значит, точка М принадлежит прямой Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых.

Таким образом, все точки прямой Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхравноудалены от прямых Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхи Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых. И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых. Прямая Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых, проходящая через середину общего перпендикуляра прямых Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхи Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых, — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК1 — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА1 = КК1 (рис. 291).

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхВерно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Запомнить:

  1. Сумма углов треугольника равна 180°.
  2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
  3. Катет меньше гипотенузы. Перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой.
  4. Прямоугольные треугольники могут быть равны: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по катету и противолежащему острому углу; 4) по гипотенузе и острому углу; 5) по катету и гипотенузе.
  5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
  6. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.
  7. В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон (неравенство треугольника).
  8. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
  9. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  10. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (2-я замечательная точка).
  11. Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой есть величина постоянная.

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

  • ✓ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
  • ✓ Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  • ✓ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
  • ✓ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  • ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Признаки параллельности двух прямых

  • ✓ Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 246). Прямую с называют секущей прямых а и b.
  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4и 8 называют соответственными.

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

  • ✓ Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
  • ✓ Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
  • ✓ Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

  • ✓ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
  • • углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
  • • углы, образующие пару соответственных углов, равны;
  • • сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
  • ✓ Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхи Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых— перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхи Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых— параллельны.

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхи Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямыхесли она пересекает их в двух точках (рис. 266).

Верно ли утверждение два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых

Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

  1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  4. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Медианы, высоты и биссектрисы треугольника
  • Равнобедренный треугольник и его свойства
  • Серединный перпендикуляр к отрезку
  • Второй и третий признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

💡 Видео

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Ответы на вопросы к главе 1 - Геометрия 10-11 класс АтанасянСкачать

Ответы на вопросы к главе 1 - Геометрия 10-11 класс Атанасян

Геометрия 7 класс. Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямымСкачать

Геометрия 7 класс. Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямым

10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскостиСкачать

10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскости

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ 7 класс геометрия АтанасянСкачать

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ 7 класс геометрия Атанасян

#2str. Счет отрезковСкачать

#2str. Счет отрезков

7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямыхСкачать

7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямых

Доказательство 2 и 3 признаков параллельности прямых.Скачать

Доказательство 2 и 3 признаков параллельности прямых.

Пересекающиеся и параллельные прямые, лучи, отрезки. Задачи. Геометрия. Математика 2 класс.Скачать

Пересекающиеся и параллельные прямые, лучи, отрезки. Задачи. Геометрия. Математика 2 класс.

Точка, прямая и отрезок. 1 часть. 7 класс.Скачать

Точка, прямая и отрезок. 1 часть. 7 класс.

№51. Докажите, что плоскости α и β параллельны, если две пересекающиеся прямые mСкачать

№51. Докажите, что плоскости α и β параллельны, если две пересекающиеся прямые m

Углы при параллельных прямых и секущей. ОГЭ/ЕГЭ (часть 1)Скачать

Углы при параллельных прямых и секущей. ОГЭ/ЕГЭ (часть 1)
Поделиться или сохранить к себе: