Векторы 1 курс решение задач

Примеры решений по векторной алгебре
Содержание
  1. Векторная алгебра для чайников
  2. Решения задач с векторами
  3. Примеры решения задач с векторами
  4. Координаты вектора
  5. Векторная алгебра — основные понятия с примерами решения и образцами выполнения
  6. Примеры задач решаемых с применением векторной алгебры
  7. Векторная алгебра — решение заданий и задач по всем темам с вычислением
  8. Понятие вектора. Линейные операции над векторами
  9. Скалярное произведение векторов
  10. Векторное произведение векторов
  11. Смешанное произведение векторов
  12. Основные понятия векторной алгебры
  13. Прямоугольные декартовы координаты
  14. Координатная ось
  15. Прямоугольные декартовы координаты на плоскости
  16. Прямоугольные декартовы координаты в пространстве
  17. Полярные координаты
  18. Определители 2-го и 3-го порядков
  19. Понятия связанного и свободного векторов
  20. Линейные операции над векторами
  21. Сложение векторов
  22. Умножение вектора на число
  23. Координаты и компоненты вектора
  24. Линейные операции над векторами в координатах
  25. Проекция вектора на ось
  26. Основные свойства проекций
  27. Скалярное произведение векторов
  28. Свойства скалярного произведения
  29. Скалярное произведение векторов, заданных координатами
  30. Косинус угла между векторами. Направляющие косинусы
  31. Векторное произведение векторов
  32. Свойства векторного произведения
  33. Векторное произведение векторов, заданных координатами
  34. Смешанное произведение векторов
  35. Геометрический смысл смешанного произведения
  36. Смешанное произведение в координатах
  37. Двойное векторное произведение
  38. 📽️ Видео

Видео:Решение типовых задач по векторной алгебреСкачать

Решение типовых задач по векторной алгебре

Векторная алгебра для чайников

В этом разделе вы найдете бесплатные решения задач по векторной алгебре: вектора, углы, взаимное расположение на плоскости и пространстве, базис из векторов, действия с векторами и т.п.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Решения задач с векторами

Задача 1. На оси $Ох$ найти точку, равноудаленную от точек $А(2;-4;5)$ и $В(-3;2;7)$.

Задача 2. Написать разложение вектора $X$ по векторам $(a, b, c)$.

Задача 3. Найти косинус угла между векторами $AB$ и $AC$.

Задача 4. Вычислить площадь треугольника с вершинами $$A=(-4;4;4), B=(3;1;0), C=(-1;0;6).$$

Задача 5. Компланарны ли вектора $a, b, c$? $$a=(-3;2;1), b=(3;1;2), c=(3;-1;4)$$

Задача 6. Заданы два вектора в пространстве. Найти:
а) их сумму;
б) их разность; косинус угла между ними;
в) их векторное произведение.
$a=(0;1;1), b=(-2;0;1).$

Задача 7. Сила $F$ приложена к точке $А$. Вычислить:
а) работу силы $F$ в случае, когда точка её приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается в точку $В$;
b) модуль момента силы $F$ относительно точки $В$.

Задача 8. Найти ранг и базис системы векторов, перейти к новому базису. Записать разложения векторов по найденным базисам.

Задача 11. Написать разложение вектора $bar$ по векторам $bar, bar, bar$.

Задача 13. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах $bar

$, $bar$.

Видео:ВЕКТОРЫ решение задач 9 класс АтанасянСкачать

ВЕКТОРЫ решение задач 9 класс Атанасян

Примеры решения задач с векторами

Вектора применяются во многих науках, таких как: математика, физика, геометрия и многих других прикладных науках. На практике, они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач. Поэтому, будущим специалистам очень важно понять теорию векторов и научиться решать задачи с ними.

Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по векторам, прочитать все определения и свойства. Список тем находится в правом меню.

Координаты вектора

Теоретический материал по теме — координаты вектора.

Видео:СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторыСкачать

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторы

Векторная алгебра — основные понятия с примерами решения и образцами выполнения

Вектором называется направленный отрезок. Вектор обозначается либо символом Векторы 1 курс решение задач( Векторы 1 курс решение задач— точка начала, Векторы 1 курс решение задач— точка конца вектора), либо Векторы 1 курс решение задач. В математике обычно рассматриваются свободные векторы, то есть векторы, точка приложения которых может быть выбрана произвольно.

Векторы 1 курс решение задач

2. Длиной (модулем) вектора Векторы 1 курс решение задачназывается длина отрезка Векторы 1 курс решение задач. Модуль вектора обозначается Векторы 1 курс решение задач.

3.Вектор называется единичным, если его длина равна «1»; единичный вектор Векторы 1 курс решение задачнаправления вектора Векторы 1 курс решение задачназывается ортом вектора Векторы 1 курс решение задачи определяется по формуле Векторы 1 курс решение задач.

4. Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают Векторы 1 курс решение задач; любое направление можно считать направлением нулевого вектора.

5. Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Коллинеарность векторов обозначается: Векторы 1 курс решение задач. Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов Векторы 1 курс решение задачи Векторы 1 курс решение задачявляется существование такого числа Векторы 1 курс решение задач, что Векторы 1 курс решение задач.

6. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление.

7. Вектор Векторы 1 курс решение задачназывается противоположным вектору Векторы 1 курс решение задач, если модули их равны, а направления противоположны.

8. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Для решения задач необходимо уметь выполнять линейные операции над вектором в геометрической форме, то есть над вектором, как над
направленным отрезком: сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число.

9. Сложение двух векторов можно выполнить по правилу параллелограмма (рис. 1) или по правилу треугольника (рис. 2).

Векторы 1 курс решение задач

При сложении более двух векторов, лежащих в одной плоскости, используется правило «замыкающей линии многоугольника» (рис. 3).

Векторы 1 курс решение задач

При сложении трех некомпланарных векторов удобно пользоваться правилом «параллелепипеда» (рис. 4).

Векторы 1 курс решение задач

10. Действие вычитания двух векторов связано с действием сложения (рис.5).

Векторы 1 курс решение задач

Разностью двух векторов называется вектор, проведенный из конца вычитаемого в конец уменьшаемого. Заметим, что разностью является вектор, служащий второй диагональю параллелограмма.

Разность можно также представить в виде сложения с противоположным вектором (рис. 6).

Векторы 1 курс решение задач

11. Произведением вектора Векторы 1 курс решение задачна число Векторы 1 курс решение задачназывается вектор Векторы 1 курс решение задач, который имеет :

  • модуль, равный Векторы 1 курс решение задач;
  • направление, одинаковое с Векторы 1 курс решение задач, если Векторы 1 курс решение задач.
  • направление, противоположное с Векторы 1 курс решение задач, если Векторы 1 курс решение задач.

12. Для решения задач полезно знать также следующие законы и свойства:

  • переместительный: Векторы 1 курс решение задач
  • сочетательный: Векторы 1 курс решение задач
  • распределительный: Векторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задач

Видео:Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. Базис

Примеры задач решаемых с применением векторной алгебры

Задача:

Пусть даны точки Векторы 1 курс решение задачВекторы 1 курс решение задач

1) Найти координаты векторов

Векторы 1 курс решение задач

2) Написать разложение этих векторов по базису Векторы 1 курс решение задач

3) Найти длины этих векторов

4) Найти скалярное произведение Векторы 1 курс решение задач

5) Найти угол между векторами Векторы 1 курс решение задачи Векторы 1 курс решение задач.

6) Найти разложение вектора Векторы 1 курс решение задачпо базису Векторы 1 курс решение задачи Векторы 1 курс решение задач

Решение:

1) Вычислим координаты векторов Векторы 1 курс решение задачи Векторы 1 курс решение задач(нужно из координат точки его конца вычесть координаты его начала):

Векторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задач, аналогично, Векторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задачи Векторы 1 курс решение задач

2) Векторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задач

4) Для вычисления угла между векторами воспользуемся формулой:

Векторы 1 курс решение задач

5) Разложить вектор Векторы 1 курс решение задачпо векторам Векторы 1 курс решение задачи Векторы 1 курс решение задач— это значит представить вектор Векторы 1 курс решение задачв виде линейной комбинации векторов Векторы 1 курс решение задачи Векторы 1 курс решение задач, т. е.

Векторы 1 курс решение задач, где Векторы 1 курс решение задач. Имеем Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задачВекторы 1 курс решение задач, но у равных векторов соответственно равны координаты, следовательно, получим систему, из которой найдем Векторы 1 курс решение задачи Векторы 1 курс решение задач.

Векторы 1 курс решение задач

Задача:

а). Даны векторы Векторы 1 курс решение задачи Векторы 1 курс решение задачв некотором базисе. Показать, что векторы Векторы 1 курс решение задачобразуют базис и найти координаты вектора Векторы 1 курс решение задачв этом базисе.

Решение:

Три вектора образуют базис, если Векторы 1 курс решение задач.

Векторы 1 курс решение задач

Найдем координаты вектора Векторы 1 курс решение задачв базисе Векторы 1 курс решение задачи Векторы 1 курс решение задач.

Векторы 1 курс решение задач

Два вектора равны, если их соответствующие координаты равны.

Векторы 1 курс решение задач

Решим систему методом Крамера:

Векторы 1 курс решение задач

Ответ: Векторы 1 курс решение задач.

Векторы 1 курс решение задач

Задача:

Даны координаты вершин тетраэдра Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задачи Векторы 1 курс решение задач. Найти: 1) координаты точки пересечения медиан треугольника Векторы 1 курс решение задач; 2) уравнение прямой, проходящей через вершину Векторы 1 курс решение задачпараллельно медиане, проведенной из вершины Векторы 1 курс решение задачтреугольника Векторы 1 курс решение задач; 3) координаты точки, симметричной точке Векторы 1 курс решение задачотносительно плоскости Векторы 1 курс решение задач. Сделать чертёж.

Решение:

1) Найдем координаты т. Векторы 1 курс решение задачсередины отрезка Векторы 1 курс решение задач(рис. 16): Векторы 1 курс решение задачВекторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задач

Точка Векторы 1 курс решение задачпересечения медиан треугольника делит медиану Векторы 1 курс решение задачв отношении Векторы 1 курс решение задач, считая от вершины Векторы 1 курс решение задач. Найдем координаты точки Векторы 1 курс решение задач:

Векторы 1 курс решение задач

2) Найдем направляющий вектор прямой Векторы 1 курс решение задачВекторы 1 курс решение задач. Уравнение прямой, проходящей через вершину Векторы 1 курс решение задачпараллельно прямой Векторы 1 курс решение задач:

Векторы 1 курс решение задач

3) Найдем уравнение плоскости Векторы 1 курс решение задач:

Векторы 1 курс решение задач

Найдем каноническое уравнение прямой, перпендикулярной плоскости Векторы 1 курс решение задачи проходящей через т. Векторы 1 курс решение задач: Векторы 1 курс решение задач. Запишем каноническое уравнение прямой в параметрическом виде: Векторы 1 курс решение задачВекторы 1 курс решение задач.

Найдем координаты точки Векторы 1 курс решение задачпересечения плоскости Векторы 1 курс решение задачи найденной прямой: Векторы 1 курс решение задачВекторы 1 курс решение задач

Координаты точки Векторы 1 курс решение задачсимметричной точке Векторы 1 курс решение задачотносительно плоскости Векторы 1 курс решение задачВекторы 1 курс решение задач.

Ответ: 1) координаты точки пересечения медиан Векторы 1 курс решение задачуравнение прямой Векторы 1 курс решение задач; 3) координаты симметричном точки Векторы 1 курс решение задач.

На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Векторная алгебра — решение заданий и задач по всем темам с вычислением

Понятие вектора. Линейные операции над векторами

1°. Любые две точки Векторы 1 курс решение задачпространства, если они упорядочены (например, А является первой, а В — второй точкой), определяют отрезок вместе с выбранным направлением (а именно, от A к В). Направленный отрезок называется вектором. Вектор с началом в A и концом в В обозначается Векторы 1 курс решение задачили Векторы 1 курс решение задачДлина вектора, обозначаемая Векторы 1 курс решение задач, АВ или Векторы 1 курс решение задача, называется также модулем вектора. Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вектора вычесть одноименные координаты начала: Векторы 1 курс решение задачТогда длина вектора найдется так:

Векторы, расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Два вектора Векторы 1 курс решение задачназываются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковые модули и направления. В этом случае пишут Векторы 1 курс решение задачРавные векторы имеют равные координаты.

Векторы Векторы 1 курс решение задачназываются противоположными, если они коллинеарны, имеют одинаковые длины и противоположные направления: Векторы 1 курс решение задач

Вектор называется нулевым, если его модуль равен нулю, и обозначается Векторы 1 курс решение задач

2°. Линейными называются действия сложения, вычитания векторов и умножения вектора на число.

1.Если начало Векторы 1 курс решение задачсовмещено с концом Векторы 1 курс решение задачто начало Векторы 1 курс решение задачсовпадает с началом Векторы 1 курс решение задача конец — с концом Векторы 1 курс решение задач(рис. 3.1).

2.Если начала векторов Векторы 1 курс решение задачсовмещены, то начало Векторы 1 курс решение задачсовпадает с концом Векторы 1 курс решение задач, а конец Векторы 1 курс решение задачсовпадает с концом Векторы 1 курс решение задач(рис. 3.2).

3.При умножении вектора Векторы 1 курс решение задачна число (скаляр) Векторы 1 курс решение задачдлина вектора умножается на Векторы 1 курс решение задач, а направление сохраняется, если Векторы 1 курс решение задачи изменяется на противоположное, если Векторы 1 курс решение задач(рис. 3.3).

Вектор Векторы 1 курс решение задачназывается ортом, или единичным вектором вектора Векторы 1 курс решение задачего длина равна единице:Векторы 1 курс решение задач

3°. Запись ci — Векторы 1 курс решение задачозначает, что вектор Векторы 1 курс решение задачимеет координаты Векторы 1 курс решение задачили Векторы 1 курс решение задачразложен по базису Векторы 1 курс решение задач— орты осей Ох, Оу и Oz пространственной системы координат Oxyz). При этом

Векторы 1 курс решение задач

4°. Числа Векторы 1 курс решение задачназываются направляющими косинусами вектора Векторы 1 курс решение задач— углы между вектором Векторы 1 курс решение задачи координатными осями Ох, Оу, Oz соответственно. Единичный вектор Векторы 1 курс решение задач— орт вектора Векторы 1 курс решение задач. Для любого вектора справедливо: Векторы 1 курс решение задач

5°. Линейные операции над векторами, которые заданы своими координатами, определяются так: пусть Векторы 1 курс решение задачтогда

Векторы 1 курс решение задач

Следовательно, при сложении векторов складываются их соответствующие координаты, а при умножении вектора на число умножаются на число все координаты вектора.

6°. Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов Векторы 1 курс решение задач, устанавливаемое равенством Векторы 1 курс решение задачможет быть записано соотношениями Векторы 1 курс решение задачиз которых следует пропорциональность их координат: Векторы 1 курс решение задач

Если один из членов какого-нибудь из этих отношений равен нулю, то и второй член того же отношения должен быть нулем. Геометрически это значит, что в этом случае оба вектора перпендикулярны соответствующей координатной оси (например, если Векторы 1 курс решение задачто векторы Векторы 1 курс решение задач).

7°. Система векторов Векторы 1 курс решение задачназывается линейно независимой, если равенство

Векторы 1 курс решение задач

( Векторы 1 курс решение задач— действительные числа) возможно только при Векторы 1 курс решение задачЕсли же равенство (1) возможно при некотором нетривиальном наборе Векторы 1 курс решение задачто система этих векторов называется линейно зависимой. Любой вектор линейно зависимой системы линейно выражается через остальные.

Примеры с решениями

Пример:

Доказать, что треугольник с вершинами в точках A(1,2), B(2,5), С(3,4) прямоугольный.

Решение:

Построим векторы, совпадающие со сторонами треугольника (см. п. 1°): Векторы 1 курс решение задач(рис. 3.4).

Векторы 1 курс решение задач

Найдем длины сторон: Векторы 1 курс решение задачВекторы 1 курс решение задач
Нетрудно видеть, что Векторы 1 курс решение задачСледовательно, треугольник ABC прямоугольный с гипотенузой Векторы 1 курс решение задачи катетами Векторы 1 курс решение задач

Пример:

Проверить, что точки А( 2,-4,3), В(5, —2,9), С( 7,4,6) и D(6,8, -3) являются вершинами трапеции.

Решение:

Составим векторы-стороны с целью обнаружения коллинеарности векторов (в трапеции ВС || AD) (рис. 3.5):

Векторы 1 курс решение задач

Имеем Векторы 1 курс решение задачзначит, ABCD — трапеция.

Пример:

Найти орт и направляющие косинусы вектора Векторы 1 курс решение задач

Решение:

Имеем Векторы 1 курс решение задачВ соответствии с п. 3°, 4°

Векторы 1 курс решение задачи направляющие косинусы вектора Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задачпричем Векторы 1 курс решение задач

Пример:

Определить точку В, которая является концом вектора Векторы 1 курс решение задач, если его начало совпадает с точкой

Решение:

Пусть точка В имеет координаты B(x,y,z) (рис. 3.6). Тогда координа- ^ ты вектора (п. 1°)

Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач

Следовательно, Векторы 1 курс решение задачОтвет. В(5, -5,3).

Пример:

Вектор Векторы 1 курс решение задачразложить по векторам

Векторы 1 курс решение задач

Решение:

Необходимо найти такие числа х, у, z, что Векторы 1 курс решение задачт.е.

Векторы 1 курс решение задач

Имея в виду, что при сложении векторов складываются их координаты и равные векторы имеют равные координаты, приходим к системе уравнений

Векторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задач

Ответ. Векторы 1 курс решение задач

Пример:

Показать, что система векторов Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задачлинейно независима.

Решение:

В данном случае равенство (1) имеет вид Векторы 1 курс решение задач, или Векторы 1 курс решение задачОтсюда получаем систему уравнений

Векторы 1 курс решение задач

из которой следует, что Векторы 1 курс решение задачЭто подтверждает линейную независимость данных векторов.

Пример:

Показать, что система векторов Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задачлинейно зависима.

Решение:

Равенство (1) равносильно системе уравнений

Векторы 1 курс решение задач

Она имеет ненулевое решение, например, Векторы 1 курс решение задачТаким образом, Векторы 1 курс решение задачОтсюда видно, что Векторы 1 курс решение задачт.е. вектор Векторы 1 курс решение задачлинейно выражается через Векторы 1 курс решение задачОчевидно, что Векторы 1 курс решение задачможно выразить через Векторы 1 курс решение задач— через Векторы 1 курс решение задач

Скалярное произведение векторов

1°. Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению их длин на косинус угла Векторы 1 курс решение задачмежду ними:

Векторы 1 курс решение задач

Из Векторы 1 курс решение задач(рис. 3.7) имеем Векторы 1 курс решение задач( Векторы 1 курс решение задач— проекция вектора Векторы 1 курс решение задачна направление вектора Векторы 1 курс решение задач).

Итак, Векторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задач

т.е. скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат этих векторов.

При этом Векторы 1 курс решение задачесли же Векторы 1 курс решение задач, т. е. Векторы 1 курс решение задачпоскольку cos 90° = 0 (условие перпендикулярности двух векторов).

3°. Из определения скалярного произведения следует формула для вычисления угла между двумя векторами:

Векторы 1 курс решение задач

Примеры с решениями

Пример:

Перпендикулярны ли векторы Векторы 1 курс решение задачесли Векторы 1 курс решение задач

Решение:

Условие перпендикулярности векторов (п. 2°) Векторы 1 курс решение задачв нашем случае

Векторы 1 курс решение задач

Пример:

Найти проекцию вектора Векторы 1 курс решение задачна направление вектора Векторы 1 курс решение задач

Решение:

Имеем Векторы 1 курс решение задач(п. 1°). Подставив сюда выражение для Векторы 1 курс решение задачиз п. 3°, получим

Векторы 1 курс решение задач

Ответ Векторы 1 курс решение задач

Пример:

Зная векторы, совпадающие с двумя сторонами: Векторы 1 курс решение задачи Векторы 1 курс решение задачнайти внутренние углы треугольника ABC.

Решение:

Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач

При помощи таблиц находим Векторы 1 курс решение задачДля нахождения других углов нам понадобится вектор Векторы 1 курс решение задачкоторый является суммой Векторы 1 курс решение задач: Векторы 1 курс решение задачпоэтому Векторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задач

Ответ. 123° 10′, 19°29′, 37°21′.

Пример:

Найти координаты вектора Векторы 1 курс решение задачесли Векторы 1 курс решение задачгде Векторы 1 курс решение задачи Векторы 1 курс решение задач

Решение:

На рис. 3.9 имеем Векторы 1 курс решение задачИз условий перпендикулярности векторов (п. 2°) имеем Векторы 1 курс решение задачПоложим Векторы 1 курс решение задачУсловие задачи перепишем в виде Рис. 3.9 системы

Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач

Векторное произведение векторов

1°. Векторы Векторы 1 курс решение задачприведенные к одному началу, образуют правую (левую) тройку при условии: если смотреть из конца вектора Векторы 1 курс решение задачна плоскость векторов Векторы 1 курс решение задачто кратчайший поворот от Векторы 1 курс решение задачсовершается против (по) часовой стрелки (рис. 3.10).

Векторы 1 курс решение задач

2°. Векторным произведением ненулевых векторов Векторы 1 курс решение задачназывается вектор Векторы 1 курс решение задач, обозначаемый Векторы 1 курс решение задачудовлетворяющий следующим трем условиям.

1) Векторы 1 курс решение задачвектор Векторы 1 курс решение задач перпендикулярен плоскости векторов Векторы 1 курс решение задач

2) Вектор Векторы 1 курс решение задачнаправлен так, что векторы Векторы 1 курс решение задачобразуют правую тройку.

3) Векторы 1 курс решение задачт.е. его длина численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах Векторы 1 курс решение задач(рис. 3.11), таким образом, Векторы 1 курс решение задач

Если векторы Векторы 1 курс решение задачколлинеарны, то под Векторы 1 курс решение задачпонимается нулевой вектор:Векторы 1 курс решение задач

3°. Если известны координаты векторов-сомножителей Векторы 1 курс решение задачто для отыскания координат векторного произведения служит формула

Векторы 1 курс решение задач

в которой определитель следует разложить по элементам первой строки.

Примеры с решениями

Пример:

Найти площадь треугольника, вершины которого находятся в точках А(1,2,3), В<3,2,1), С(1,0,1).

Решение:

Найдем координаты векторов Векторы 1 курс решение задачОпределим координаты векторного произведения Векторы 1 курс решение задач(рис. 3.12):

Векторы 1 курс решение задач

Найдем длину этого вектора, которая равна численно площади параллелограмма S (п. 2°): Векторы 1 курс решение задачПлощадь треугольника Векторы 1 курс решение задачравна Векторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задач

Пример:

Построить параллелограмм на векторах Векторы 1 курс решение задачи Векторы 1 курс решение задачвычислить его площадь и высоту, опущенную на Векторы 1 курс решение задач.

Сделаем чертеж (рис. 3.13). Имеем Векторы 1 курс решение задачОтдельно вычисляем векторное произведение:

Векторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач

Смешанное произведение векторов

1°. Смешанным произведением трех ненулевых векторов Векторы 1 курс решение задачназывается число, равное скалярному произведению двух векторов, один из которых — векторное произведение Векторы 1 курс решение задач, а другой — вектор Векторы 1 курс решение задач. Обозначение: Векторы 1 курс решение задачЕсли Векторы 1 курс решение задачобразуют правую тройку, то Векторы 1 курс решение задачЕсли Векторы 1 курс решение задачобразуют левую тройку, то Векторы 1 курс решение задач

Модуль смешанного произведения векторов Векторы 1 курс решение задачравен объему параллелепипеда (рис. 3.14), построенного на этих векторах, Векторы 1 курс решение задачУсловие Векторы 1 курс решение задачравносильно тому, что векторы Векторы 1 курс решение задачрасположены в одной плоскости, т.е. компланарны. Имеет место равенство

Векторы 1 курс решение задач

Объем тетраэдра с вершинами в точках Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задачможно вычислить по формуле Векторы 1 курс решение задачгде

Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач

2°. Условие Векторы 1 курс решение задачравносильно условию линейной независимости Векторы 1 курс решение задач, а тогда любой вектор Векторы 1 курс решение задачлинейно выражается через них, т. е. Векторы 1 курс решение задачДля определения х, у, z следует решить соответствующую систему линейных уравнений

Примеры с решениями

Пример:

Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах Векторы 1 курс решение задач

Решение:

Искомый объем Векторы 1 курс решение задачПоскольку

Векторы 1 курс решение задач

Пример:

В точках 0(0,0,0), А(5,2,0), В(2,5,0) и С(1,2,4) находятся вершины пирамиды. Вычислить ее объем, площадь грани ABC и высоту пирамиды, опущенную на эту грань.

Решение:

1) Сделаем схематический чертеж (рис. 3.15).

2) Введем векторы Векторы 1 курс решение задачВекторы 1 курс решение задач.Объем пирамиды ОАВС (тетраэда) равен

Векторы 1 курс решение задач

3) Площадь грани ABC

Векторы 1 курс решение задач

4) Объем пирамиды Векторы 1 курс решение задачотсюда Векторы 1 курс решение задач
Ответ. Векторы 1 курс решение задач

Видео:✓ Аналитическая геометрия. Начало | Для студентов и школьников | #ТрушинLive​​ #046 | Борис ТрушинСкачать

✓ Аналитическая геометрия. Начало | Для студентов и школьников | #ТрушинLive​​ #046 | Борис Трушин

Основные понятия векторной алгебры

Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач

Видео:Аналитическая геометрия, 1 урок, Векторы в пространствеСкачать

Аналитическая геометрия, 1 урок, Векторы в пространстве

Прямоугольные декартовы координаты

Координатная ось

Пусть на плоскости или в пространстве задана произвольная прямая L: Ясно, что по этой прямой L сы можем перемещаться в oднoм из двух противоположных направлений. Выбор любого (одного) из этих направлений будем называть ориентацией прямой L.

Оnределение:

Прямая с заданной на ней ориентацией называется осью. На чертеже ориентация оси указывается стрелкой (рис. 1 ) . Фиксируем на оси Векторы 1 курс решение задачнекоторую точку О и выберем какой-нибудь отрезок а, доложив по определению его длину равной единице (рис. 2).

Пусть М — произвольная точка оси Векторы 1 курс решение задач. Поставим этой точке в соответствие число х по следующему прав илу: х равно расстоюiию между точками О и М, взятому со знаком плюс или со знаком минус н зависимости от того, совпадает ли направление движения от точки О к точке М с заданным направлением или противоположно ему (рис. 3).

Векторы 1 курс решение задач

Оnределение:

Ось Векторы 1 курс решение задачс точкой начала отсчета О и масштабными отрезками а называется координатной осью, а число х, вычисляемое по указанному правилу, называется координатой точки М. Обозначение: М (х).

Прямоугольные декартовы координаты на плоскости

Пусть П — произвольная плоскость. Возьмем на ней некоторую точку О и проведем через эту точку взаимно перпендикулярные прямые L 1 и L 2. Зададим на каждой из nрямых L 1 и L 2 ориентацию и выберем единый масштабный отрезок а. Тогда эти прямые nревратятся в координатные оси с общей точкой отсчета О (рис. 4).

Векторы 1 курс решение задач

Назовем одну из координатных осей осью абсцисс (осью Ох), друrую —осью ординат (осью Оу) (рис. 5). Точка О называется началом координат. Пусть М — произвольная точка плоскости П (рис. 6). Проведем через точку М прямые, перпендикулярные координатным осям, и поставим ей в соответствие упорядоченную пару чисел (х, у) по следующему nравилу:

Векторы 1 курс решение задач

Числа х и у называются прямоугольными декартовыми при этом х называется ее абсциссой, а у — ординатой. координатами точки М; Обозначение: М(х, у). Чтобы кратко охарактеризовать описанную конструкцию, говорят, что на плоскости П задана прямоугольная декартова система координат Ох у. Координатные оси разбивают плоскость на четыре части, называемые четвертями или квадрантами. На рисунке и в таблице показано, как эти квадранты нумеруются (рис. 7).

Векторы 1 курс решение задач

Замечание:

Масштабные от резки на координатных осях могут быть и разной длины. В этом случае координатная система называется просто прямоугольной.

Прямоугольные декартовы координаты в пространстве

Возьмем в пространстве некоторую точку О и проведем через нее три взаимно перпендикулярные прямые L 1 , L 2 и L 3 . Выберем на каждой из nрямых ориентацию и единый масштаб. Прямые L 1 , L 2 и L 3 превратятся в координатные оси с общей точкой отсчета О (рис. 8).

Векторы 1 курс решение задач

Назовем одну из этих осей осью абсцисс (осью Ох), вторую — осью ординат (осью Оу) и третью — осью аппликат (осью Oz) (рис. 9). Точка О называется началом координат. Пусть М — nроизвольная точка (рис. 10). Проведем через точку М nлоскости, перпендикулярные координатным осям, и поставим ей в соответстnие упорядоченную тройку чисел (х, у, z) по следующему правилу:

Векторы 1 курс решение задач

Числа х, у и z называются прямоугольными декартовыми координатами точки М; при этом х называется абсциссой точки М, у — ее ординатой, а z —аппликатой. Обозначение: М(х, у, z). Таким образом, в пространстве введена прямоугольная декартова система координат.

Оnределение:

Плоскость, проходящая через любую пару координатных осей, называется координатной плоскостью.

Координатных плоскостей три: Оху, Oyz и Oxz. Эти плоскости разбивают пространство на восемь частей — октантов. 1 .4. Простейшие задачи аналитической геометрии А. Расстояние между точками Пусть М 11 ) и М 22 )- две точки на координатной оси. Тогда расстояние d между ними вычисляется по формуле

Векторы 1 курс решение задач

Если на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Оху, то расстояние d между любыми двумя точками М 11 , у1 и М22 , y2) вычисляется по следующей формуле

Векторы 1 курс решение задач

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆MM1M2 (pиc. l l). По теореме Пифагора

Векторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задач

,и извлекая из обеих частей равенства квадратный корень, приходим к требуемой формуле .

Замечание:

Расстояние между точками Векторы 1 курс решение задачв пространстве вычисляется по следующей формуле

Векторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задач

Задача:

Написать уравнение окружности радиуса т с центром в точке Р(а, b).

Пусть М(х, у) — точка окружности (рис. 12). Это означает, что |M P| = r. Заменим |M P|его выражением

Векторы 1 курс решение задач

и возведем обе части полученного равенства в квадрат:

Векторы 1 курс решение задач

Это есть каноническое уравнение окружности радиуса r с центром в точке Р(а, b) .

Задача:

Пусть F л (-с, 0) и F n (c, 0) -фиксированные точки плоскости, а -заданное число (а > с ≥ 0). Найти условие, которому удовлетворяют координаты х и у точки М, обладающей следующим свойством: сумма расстояний от точки М до Fл и до F n равна 2а.

Вычислим расстояния между точками М и F л и между точками М и F n . Имеем

Векторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задач

Перенесем второй корень в правую часть

Векторы 1 курс решение задач

Возводя обе части в квадрат, после простых преобразований получим

Векторы 1 курс решение задач

С целью дальнейших упрощений вновь возводим обе части в квадрат. В результате nриходим к равенству

Векторы 1 курс решение задач

Полагая b 2 = а 2 — с 2 и деля обе части nоследнего соотноwения на а 2 b 2 , nолучаем уравнение эллипса

Векторы 1 курс решение задач

Деление отрезка в данном отношении:

Векторы 1 курс решение задач

Требуется выразить координаты х и у этой точки через координаты концов отрезка М1М2 и числа λ 1 и λ 2 . Предположим сначала, что отрезок М1М2 не параллелен оси ординат Оу (рис. 14). Тогда

Векторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задач

то из последних двух соотношений получаем, что

Векторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задач

Точка М лежит между точками М1 и М2 , поэтому либо х 1 х > х 2 . В любом из этих случаев разности х1 — х и х — х 2 имеют одинаковые знаки. Это позволяет переписать последнее равенство в следующей форме

Векторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задач

В случае, когда отрезок М1М2 параллелен оси Оу, х 1 = х 2 = х. Заметим, что тот же результат дает формула (*), если nоложить в ней х 1 = х 2 . Справедливость формулы

Векторы 1 курс решение задач

доказывается аналогичным рассуждением .

Задача:

Найти координаты центра тяжести М треугольника с вершинами в точках . М1 ( х 1 , у 1 ), М2 ( х 2 , у 2 ) и М3 ( х 3 , у 3 ). Восnользуемся тем, что центр тяжести треугольника совпадает с точкой пересечения его медиан. Точка М делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины (рис. 15). Тем самым, ее координаты х и у можно найти по формулам

Векторы 1 курс решение задач

где х’ и у’ — координаты второго конца М’ медианы М3 М’. Так как М’ — середина отрезка М1М2, то

Векторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задач

Полученные соотношения позволяют выразить координаты z и у центра тяжести М треугольника ∆М1М2М3 через координаты его вершин:

Векторы 1 курс решение задач

Замечание:

Векторы 1 курс решение задач

Полярные координаты

Предположим, что задана точка О, ось Векторы 1 курс решение задач.содержащая точку О, и масштабный отрезок (эталон длины) (рис. 16).

Пусть М — произвольная точка плоскости, отличная от точки О (рис.17). Ее положение на плоскости однозначно определяется двумя числами: расстоянием г между точками О и М и отсчитываемым против часовой стрелки углом φ между положительным лучом оси Векторы 1 курс решение задачи лучом ОМ с началом в точке О. Пару (г, φ) называют полярными координатами точки М; г — полярный радиус точки М , φ — полярный угол.

Точка О называется полюсом, Векторы 1 курс решение задач— полярной осью.

Ясно, чтоВекторы 1 курс решение задачЕсли точка М совпадаете полюсом, то считаем г = 0; полярный угол φ в этом случае не определен.

Таким образом, на плоскости можно задать еще одну координатную систему — полярную.

Прямоугольную декартову систему координат Оху будем называть согласованной с заданной полярной, если начало координат 0(0, 0) — полюс, ось Ох — полярная ось, а ось Оу составляете осью Ох угол, равныйВекторы 1 курс решение задач. Тогда

Векторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задач

(рис.18). В свою очередь Векторы 1 курс решение задач

Пример:

Пусть R > О — заданное число. Множество точек плоскости, полярные координаты (г, Векторы 1 курс решение задач

Видео:Линейная алгебра. Векторы и операции над векторами.Скачать

Линейная алгебра. Векторы и операции над векторами.

Определители 2-го и 3-го порядков

Определителем второго порядка называется число

Векторы 1 курс решение задач

Обозначение:

Векторы 1 курс решение задач

Тем самым, для вычисления определителя второго порядка нужно из произведения а11, а22 элементов главной диагонали вычесть произведение а12, а21 элементов его побочной диагонали (рис. 20).

Векторы 1 курс решение задач

Пример:

Векторы 1 курс решение задач

По правилу (1) имеем

Векторы 1 курс решение задач

С определителями второго порядка мы встречаемся уже при отыскании решения системы двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными

Векторы 1 курс решение задач

Решая эту систему методом исключения неизвестных при условии, что

Векторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задач

Пусгь теперь даны девять чисел aij (i = I, 2, 3; j = I, 2, 3).

Определителем третьего порядка называется число, обозначаемое символом

Векторы 1 курс решение задач

и вычисляемое по следующему правилу:

Векторы 1 курс решение задач

Первый индекс i элемента aij указывает номер строки, в которой он расположен, а второй индекс j — номер столбца.

Чтобы разобраться с распределением знаков в правой части формулы (2), обратим внимание на следующее: произведение элементов а11, а22, а33 главной диагонали входит в формулу со своим знаком, также как и произведение а11, а22, а33 и а11, а22, а33 элементов, расположенных в вершинах треугольников, основания которых параллельны главной диагонали (рис. 21); с другой стороны, произведение а13, а22, а31 элементов побочной диагонали, а также произведения а12, а21, а33 и а11, а23, а32 — с противоположным знаком (рис.22). Такой подход к вычислению определителя третьего порядка называется правилом треугольника.

Векторы 1 курс решение задач

Пример:

Векторы 1 курс решение задач

Применяя правило треугольника, находим

Векторы 1 курс решение задач

Установим некоторые свойства определителей 3-го порядка, легко проверяемые при помощи разложений (1) и (2).

Свойство:

Величина определителя не изменится, если все его строки заменить его столбцами с теми же номерами

Векторы 1 курс решение задач

Свойство:

При перестановке любых двух строк (или любых двух столбцов) определителя он изменяет свой знак на противоположный.

Свойство:

Общий множитель всех элементов одной строки (или одного столбца) определителя можно вынести за знак определителя

Векторы 1 курс решение задач

Следующие три свойства определителя вытекают из свойств 1-3. Впрочем, в их справедливости можно убедиться и непосредственно, пользуясь формулами (1) и (2).

Свойство:

Если определитель имеет две равные строки (или дна равных столбца), то он равен нулю.

Свойство:

Если все элементы некоторой строки (или некоторого столбца) равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

Свойство:

Если соответствующие элементы двух строк (или двух столбцов) пропорциональны, то определитель равен нулю.

Укажем еще один способ вычисления определителя 3-го порядка

Векторы 1 курс решение задач

Минором Mij элемента aij определителя ∆ называется определитель, получаемый изданного путем вычеркивания элементов i-й строки и j-ro столбца, на пересечении которых находится этот элемент. Например, минором элемента a23 будет определитель

Векторы 1 курс решение задач

Алгебраическим дополнением элемента Aij называется минор Mij — этого элемента, взятый со своим знаком, если сумма i + j номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент aij, есть число четное, и с противоположным знаком, если это число нечетное:

Векторы 1 курс решение задач

Теорема:

Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (любого его столбца) на их алгебраические дополнения, так что имеют место следующие равенства

Векторы 1 курс решение задач

Покажем, например, что

Векторы 1 курс решение задач

Пользуясь формулой (2), получаем, что

Векторы 1 курс решение задач

Правило (3) называется разложением определителя по элементам i-й строки, а правило (4) — разложением определителя по элементам j -го столбца.

Пример:

Векторы 1 курс решение задач

Раскладывая определитель по элементам 1-ой строки, получим

Векторы 1 курс решение задач

Видео:2. Уравнение плоскости примеры решения задач #1Скачать

2. Уравнение плоскости примеры решения задач #1

Понятия связанного и свободного векторов

Рассмотрим две точки А и В. По соединяющему их отрезку можно перемещаться в любом из двух противоположных направлений. Если считать, например, точку А начальной, а точку В конечной, то тогда получаем направленный отрезок АВ, в другом случае — направленный отрезок В А. Направленные отрезки часто называют связанными или закрепленными векторами. На чертеже заданное направление указывается стрелкой (рис. 1).

Векторы 1 курс решение задач

В случае, когда начальная и конечная точки совпадают, А = В, связанный вектор называется нулевым.

Определение:

Будем говорить, что связанные векторы АВ и CD равны, если середины отрезков AD и ВС совпадают (рис. 2).

Обозначение:

Заметим, что в случае, когда точки А, В, С и D не лежат на одной прямой, это равносильно тому, что четырехугольник ABCD — параллелограмм. Ясно, что равные связанные векторы имеют равные длины.

Пример:

Рассмотрим квадрат и выберем векторы, как указано на рис.3. Векторы АВ и DC равны, а векторы ВС и DA не равны.

Укажем некоторые свойства равных связанных векторов:

  1. Каждый связанный вектор равен самому себе: АВ = АВ.
  2. Если АВ = CD, той CD = АВ.
  3. Если АВ = CD и CD = EF,то АВ = EF (рис.4).

Пусть АВ — заданный связанный вектор и С — произвольная точка. Ясно, что, опираясь на определение, всегда можно построить точку D так, чтобы

CD = АВ.

Тем самым, от каждой точки можно отложить связанный вектор, равный исходному (рис. 5).

Мы будем рассматривать свободные векторы, т. е. такие векторы, начальную точку которых можно выбирать произвольно, или, что то же самое, которые можно произвольно переносить параллельно самим себе. Ясно, что свободный вектор Векторы 1 курс решение задачоднозначно определяется заданием связанного вектора АВ.

Если в качестве начальных выбирать лишь те точки, которые лежат на прямой, определяемой заданным (ненулевым) связанным вектором, то мы приходим к понятию скользящего вектора (рис. 6).

Векторы 1 курс решение задач

Связанные и скользящие векторы широко используются в теоретической механике.

Для обозначен ия свободных векторов будем пользоваться полужирными строчными латинскими буквами — а, b, с,… ; нулевой вектор обозначается через 0.

Пусть заданы вектор а и точка А. Существует ровно одна точка В, для которой

Векторы 1 курс решение задач = а

(рис.7). Операция построения связанного вектора АВ, для которого выполняется это равенство, называется откладыванием свободного вектора а от точки А.

Векторы 1 курс решение задач

Заметим, что связанные векторы, получаемые в результате описанной операции откладывания, равны между собой и, значит, имеют одинаковую дли ну. Это позволяет ввести длину свободного вектора а, которую мы будем обозначать символом |а. Длина нулевого вектора равна нулю. Если а = b, то |а| = |b; обратное неверно.

Видео:Как выражать вектор? Как решать задачу с вектором? | TutorOnlineСкачать

Как выражать вектор? Как решать задачу с вектором?  |  TutorOnline

Линейные операции над векторами

Сложение векторов

Пусть заданы два вектора а и b. Возьмем какую-нибудь точку О и отложим от нее вектор a: Векторы 1 курс решение задач= а. От полученной точки А отложим вектор b: Векторы 1 курс решение задач= b. Полученный в результате вектор Векторы 1 курс решение задачназывается суммой векторов а и b и обозначается через a + b (рис. 8). Этот способ построения суммы векторов называется правилом треугольника.

Нетрудно заметить, что сложение векторов коммутативно, т. е. для любых векторов а и b справедливо равенство

а + b = b + а

Векторы 1 курс решение задач

Если отложить векторы а и 1» от обшей точки О и построить на них как на сторонах параллелограмм, то вектор Векторы 1 курс решение задач, идущий из общего начала О в противоположную вершину параллелограмма, будет их суммой а + b (или b +а) (рис. 10). Этот способ построения суммы векторов называется правилом параллелограмма.

Векторы 1 курс решение задач

Пусть заданы три вектора, например, a, b и с. Отложим от произвольной точки О вектор a: Векторы 1 курс решение задач= а; от полученной точки А отложим вектор b: Векторы 1 курс решение задач= b; отточки В — вектор с: Векторы 1 курс решение задач= с (рис. 11). По определению суммы Векторы 1 курс решение задач— а + b и Векторы 1 курс решение задач= (а + b) + с (рис. 12). С другой стороны, АС = b + с и, значит, ОС = а + (Ь + с) (рис. 13). Тем самым, для любых векторов a, b и с выполняется равенство

(а +b) + с = а + (b + с),

т. е. сложение векторов ассоциативно. Опуская скобки, можно говорить о сумме трех векторов и записывать ее так:

а + b + с.

Векторы 1 курс решение задач

Аналогично определяется сумма любого числа векторов: это есть вектор, который замыкает ломаную, построенную из заданных векторов. На рис. 14 показан», как построить сумму семи векторов:

Векторы 1 курс решение задач

Приведенный способ сложения произвольного числа векторов называется правилом замыкающего ломаную.

Пример:

Найти сумму векторов, идущих из центра правильного шестиугольника в его вершины.

По правилу замыкающего ломаную получаем

Векторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задач

Умножение вектора на число

Определение:

Свободные векторы а и b называются коллинеарными, если определяющие их связанные векторы лежат на параллельных или на совпадающих прямых (рис. 16).

Векторы 1 курс решение задач

Обозначение: а||b.

Замечание:

Из определения следует, что если хотя бы один из векторов a и b нулевой, то они коллинеарны.

Если отложить коллинеарные векторы а и b от обшей точки О, Векторы 1 курс решение задач= n, Векторы 1 курс решение задач= Ь, то точки О, А н В будут лежать на одной прямой. При этом возможны два случая: точки А и В располагаются на этой прямой: 1) по одну сторону от точки О, 2) по разные стороны (рис. 17). В первом случае векторы а и b называются одинаково направленными, а во втором — противоположно направленными.

Векторы 1 курс решение задач

Если векторы имеют равные длины и одинаково направлены, то они равны. Пусть а — вектор, λ — вещественное число.

Определение:

Произведением вектора а на число λ называется вектор b такой, что

2) векторы а и b одинаково (соответственно, противоположно) направлены, если λ > 0 (соответственно, λ Векторы 1 курс решение задач

(здесь λ и μ — любые действительные числа, а и Ь — произвольные векторы).
Определение:

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором, или ортом, и обозначается а° (читается: а с нуликом), |а°| = 1.
Если а ≠ 0, то вектор

Векторы 1 курс решение задач

есть единичный вектор (орт) направления вектора а (рис. 18).

Векторы 1 курс решение задач

Координаты и компоненты вектора

Выберем в пространстве прямоугольную декартову систему координат. Обозначим через i, j, к единичные векторы (орты) положительных направлений осей Ox, Оу, Oz (рис. 19). Рассмотрим произвольный вектор п, начало которого лежит в начале координат О, а конец — в точке А. Проведем через точку А плоскости, перпендикулярные осям Ох, Оу и Oz. Эти плоскости пересекут координатные оси в точках Р, Q и R соответственно. Из рис. 20 видно, что

Векторы 1 курс решение задач

Векторы Векторы 1 курс решение задачколлинеарны соответственно единичным векторам i, j, k,

Векторы 1 курс решение задач

поэтому найдутся числа х, у, z такие, что

Векторы 1 курс решение задач

а = xi + yj + zk. (2)

Формула (2) называется разложением вектора а по векторам i, j, к. Указанным способом всякий вектор может быть разложен по векторам i, j, k.

Векторы i, j, к попарно ортогональны, и их длины равны единице. Тройку i, j, k называют ортонормированным (координатным) базисом (ортобазисом).

Можно показать, что для каждого вектора а разложение (2) по базису i, j, к единственно, т. е. коэффициенты х, у, z в разложении вектора а по векторам i, j, к определены однозначно. Эти коэффициенты называются координатами вектора а. Они совпадают с координатами х, у, z точки А — конца вектора а. Мы пишем в этом случае

а = .

Эта запись означает, что свободный вектор а однозначно задастся упорядоченной тройкой своих координат. Векторы xi, yj, zk, сумма которых равна вектору а, называются компонентами вектора а.

Векторы 1 курс решение задач

Из вышеизложенного следует, что два вектора а = < х1, у1, z1 > и b = <х2, у2, z2> равны тогда и только тогда, когда соответственно равны их координаты, т. е.

Векторы 1 курс решение задач

Радиус-вектором точки М(х,у, z) называется вектор г = xi + yj + zk, идущий из начала координат О в точку М (рис. 21).

Линейные операции над векторами в координатах

Векторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задач

— при сложении векторов их координаты попарно складываются. Аналогично получаем

Векторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задач

— при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
Пусть а = < х1, у1, z1>, b = < х2, у2, z2 > — коллинеарные векторы, причем b ≠ 0. Тогда а = μb, т.е.

Векторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задач

Обратно, если выполняются соотношения (3), то а = μb, т. е. векторы a и b коллинеарны.

Таким образом, векторы а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.

Векторы 1 курс решение задач

Пример:

Найти координаты вектора Векторы 1 курс решение задачначало которого находится в точке М1 ( х1, у1, z1 ). а конец — в точке M2 (х2, у2, z2).
Из рис. 22 видно, что Векторы 1 курс решение задач= r2 — r1 , где r2, r1 — радиус-векторы точек М1 и M2 соответственно. Поэтому

Векторы 1 курс решение задач

— координаты вектора ММг равны разностям одноименных координат конечной М2 и начальной М точек этого вектора.

Проекция вектора на ось

Рассмотрим на оси l ненулевой направленный отрезок АВ (рис.23). Величиной направленного отрезка АВ на оси l называется число, равное длине отрезка АВ, взятой со знаком «+», если направление отрезка АВ совпадаете направлением оси l, и со знаком «-», если эти направления противоположны.

Рассмотрим теперь произвольный вектор Векторы 1 курс решение задач, определяемый связанным вектором АВ. Опуская из его начала и конца перпендикуляры на заданную ось l, построим на ней направленный отрезок CD (рис. 24).

Векторы 1 курс решение задач

Определение:

Проекцией вектора Векторы 1 курс решение задачна ось l называется величина направленного отрезка CD, построенного указанным выше способом.

Обозначение: Векторы 1 курс решение задач

Основные свойства проекций

  1. Проекция вектора АВ на какую-либо ось l равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и этим вектором (рис. 25)Векторы 1 курс решение задач
  2. Проекция суммы векторов на какую-либо ось l равна сумме проекций векторов на ту же ось.

Векторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задач

Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

Скалярное произведение векторов

Пусть имеем два вектора a и b.

Определение:

Скалярным произведением вектора а на вектор b называется число, обозначаемое символом (а, b) и определяемое равенством

Векторы 1 курс решение задач

(1)
где φ, или в иной записи (Векторы 1 курс решение задач), есть угол между векторами а и b (рис. 27 а).
Заметив, что |b| cos φ есть проекция вектора b на направление вектора а, можем написать

Векторы 1 курс решение задач

(рис. 27 б) и, аналогично,’ (2)

Векторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задач

(рис. 27 в), т.е. скалярное произведение двух векторов равно длине одного из них, помноженной на проекцию на него другого вектора. В случае, если один из векторов а или b — нулевой, будем считать, что

(a, b) = 0.

Свойства скалярного произведения

  1. Скалярное произведение обращается в нуль в том и только в том случае, когда по крайней мере один из перемножаемых векторов является нулевым или когда векторы а и b ортогональны, a ⊥ b.

Это следует из формулы (1), определяющей скалярное произведение.

Поскольку направление нулевого вектора не определено, мы можем его считать ортогональным любому вектору. Поэтому указанное свойство скалярного произведения можно сформулировать так:

Векторы 1 курс решение задач

2. Скалярное произведение коммутативно:

(а, b) = (b, а).

Справедливость утверждения вытекает из формулы (I), если учесть четность функции cos φ: cos(- φ) = cos φ.

3. Скалярное произведение обладает распределительным свойством относительно сложения:

(а + b, с) = (а, с) + (b, c).

Векторы 1 курс решение задач

4. Числовой множитель А можно выносить за знак скалярного произведения

(λа, b) = (а, λb) = λ (а, b).

  • Действительно, пусть λ > 0. Тогда

Векторы 1 курс решение задач

поскольку при λ > 0 углы (Векторы 1 курс решение задач) и (λВекторы 1 курс решение задач) равны (рис.28).

Аналогично рассматривается случай λ Векторы 1 курс решение задач

Замечание:

В общeм случае (а, b)c ≠ a(b, c).

Скалярное произведение векторов, заданных координатами

Пусть векторы а и b заданы своими координатами в ортонормированном базисе i, j, k:

Векторы 1 курс решение задач

Рассмотрим скалярное произведение векторов а и b:

Векторы 1 курс решение задач

Пользуясь распределительным свойством скалярного произведения, находим

Векторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задач

То есть, если векторы а и b заданы своими координатами в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат.

Пример:

Найти скалярное произведение векторов n = 4i — 2j + k и b = 6i + 3j + 2k.

(a, b) = 4 • 6 + (-2) • 3 + 1 • 2 = 20.

Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом:

(а, а) = а 2 .

Применяя формулу (4) при b = а, найдем (5)

Векторы 1 курс решение задач

С другой стороны,

Векторы 1 курс решение задач

так что из (5) следует, что (6)

Векторы 1 курс решение задач

— в ортонормированном базисе длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

Косинус угла между векторами. Направляющие косинусы

Согласно определению

(а, b) = |а| • |b| • cos φ,

где φ — у гол между векторами а и b. Из этой формулы получаем
(7)

Векторы 1 курс решение задач

(предполагается, что векторы а и b — ненулевые).

Векторы 1 курс решение задач

Пример:

Найти угол между векторами a = и d = . Пользуясь формулой (8), находим

Векторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задач

или, в координатной записи, (9)

Векторы 1 курс решение задач

где а есть угол, образованный вектором я с осью Ох. Аналогично получаем формулы

Векторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задач

Формулы (9)-(11) определяют направляющие косинусы вектора а, т. е. косинусы углов, образуемых вектором n с осями координат (рис. 29).

Пример:

Найти координаты единичного вектора n°. По условию | n°| = 1. Пусть n° = zi+ yj+ zk. Тогда

Векторы 1 курс решение задач

Таким образом, координатами единичного вектора являются косинусы углов, образованных этим вектором с осями координат:

Векторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задач

Пример:

Пусть единичный вектор n° ортогонален оси z:

Векторы 1 курс решение задач

(рис. 30). Тогда его координаты г и у соответственно равны

x=cos φ, y = sin φ.

Векторы 1 курс решение задач

Видео:Вектора. Что нужно знать про вектор, когда идешь на первый курс.Скачать

Вектора. Что нужно знать про вектор, когда идешь на первый курс.

Векторное произведение векторов

Определение:

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор, обозначаемый символом [a, b] (или a х b), такой, что

1) длина вектора [а, b] равна |а| • |Ь| • sin φ, где φ — угол между векторами а и b (рис.31);

2) вектор [а, b] перпендикулярен векторам а и b, т.е. перпендикулярен плоскости этих векторов;

3) вектор [а, Ь] направлен так, что из конца этого вектора кратчайший поворот от л к Ь виден происходящим против часовой стрелки (рис. 32).

Векторы 1 курс решение задач

Иными словами, векторы я, b и [a, b] образуют правую тройку векторов, т.е. расположены так, как большой, указательный и средний пальцы правой руки. В случае, если векторы a и b коллинеарны, будем считать, что [a, b] = 0.

Векторы 1 курс решение задач

По определению длина векторного произведения (1)

Векторы 1 курс решение задач

численно равна площади Векторы 1 курс решение задачпараллелограмма (рис.33), построенного на перемножаемых векторах a и b как на сторонах:

|[a, b]| = Векторы 1 курс решение задач.

Свойства векторного произведения

  1. Векторное произведение равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда по крайней мере один из перемножаемых векторов является нулевым или когда эти векторы коллинеарны (если векторы я и b коллинеарны, то угол между ними равен либо 0, либо тг).

Это легко получить из того, что |[a, b]| = |a| • |b| • sin φ.

Если считать нулевой вектор коллинеарным любому вектору, то условие коллинеарности векторов a и b можно выразить так

Векторы 1 курс решение задач

2. Векторное произведение антикоммутативно, т. е. всегда (2)

Векторы 1 курс решение задач

В самом деле, векторы [а, b] и [b, а] имеют одинаковую длину и коллинеарны. Направления же этих векторов противоположны, так как из конца вектора [a, b] кратчайший поворот от a к b будет виден происходящим против часовой стрелки, а из конца вектора [b, a] — почасовой стрелке (рис. 34).

Векторы 1 курс решение задач

3. Векторное произведение обладает распределительным свойством по отношению к сложению

Векторы 1 курс решение задач

4. Числовой множитель λ можно выносить за знак векторного произведения

Векторы 1 курс решение задач

Векторное произведение векторов, заданных координатами

Пусть векторы a и b заданы своими координатами в базисе i,j, k: а = < х1, у1, z1>, b = < х2, у2, z2 >. Пользуясь распределительным свойством векторного произведения, находим (3)

Векторы 1 курс решение задач

Выпишем векторные произведения координатных ортов (рис. 35):

Векторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задач

Поэтому для векторного произведения векторов a и b получаем из формулы (3) следующее выражение (4)

Векторы 1 курс решение задач

Формулу (4) можно записать в символической, легко запоминающейся форме, если воспользоваться определителем 3-го порядка: (5)

Векторы 1 курс решение задач

Разлагая этот определитель по элементам 1-й строки, получим (4). Примеры:

  1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах а = i + j- k, b = 2i + j- k.

Искомая площадь Векторы 1 курс решение задач= |[а, b]. Поэтому находим

Векторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задач

2. Найти площадь треугольника ОАВ (рис.36).

Ясно, что площадь S∆ треугольника ОАВ равна половине площади S параллелограмма О АС В. Вычисляя векторное произведение [a, b] векторов a= Векторы 1 курс решение задачи b = Векторы 1 курс решение задач, получаем

Векторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задач

Замечание:

Векторное произведение не ассоциативно, т.е. равенство [[а, b], с] = [а, b,с]] в общем случае неверно. Например, при а = i, b = j. c= j имеем

Векторы 1 курс решение задач

Видео:ВЕКТОРЫ 9 класс С НУЛЯ | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

ВЕКТОРЫ 9 класс С НУЛЯ | Математика ОГЭ 2023 | Умскул

Смешанное произведение векторов

Пусть имеем три вектора а, b и с. Перемножим векторы а и b векторно. В результате получим вектор [а, b). Умножим его скалярно на вектор с:

([a, b], с).

Число ([а, b], с) называется смешанным произведением векторов а, b, с и обозначается символом (а, b, с).

Геометрический смысл смешанного произведения

Отложим векторы а, b и с от общей точки О (рис. 37). Если все четыре точки О, А, В, С лежат в одной плоскости (векторы a, b и с называются в этом случае компланарными), то смешанное произведение ([а, b], с) = 0. Это следует из того, что вектор [а, b] перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы а и b, а значит, и вектору с.

Векторы 1 курс решение задач

Если же точки О, А, В, С не лежат в одной плоскости (векторы a, b и с некомпланарны), построим на ребрах OA, OB и ОС параллелепипед (рис. 38 а). По определению векторного произведения имеем

Векторы 1 курс решение задач

где Векторы 1 курс решение задач— площадь параллелограмма OADB, а с — единичный вектор, перпендикулярный векторам а и b и такой, что тройка а, b, с — правая, т. е. векторы a, b и с расположены соответственно как большой, указательный и средний пальцы правой руки (рис. 38 6).

Векторы 1 курс решение задач

Умножая обе части последнего равенства справа скалярно на вектор с, получаем, что

Векторы 1 курс решение задач

Число ргe с равно высоте h построенного параллелепипеда, взятого со знаком « + », если угол ip между векторами с и с острый (тройка а, b, с — правая), и со знаком «-», если угол — тупой (тройка а, b, с — левая), так что

Векторы 1 курс решение задач

Тем самым, смешанное произведение векторов a, b и с равно объему V параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах, если тройка а, b, с — правая, и -V, если тройка а, b, с — левая.

Исходя из геометрического смысла смешанного произведения, можно заключить, что, перемножая те же векторы a, b и с в любом другом порядке, мы всегда будем О получать либо +V, либо -V. Знак произведения будет зависеть лишь от того, какую тройку образуют перемножаемые векторы — правую или левую. Если векторы а, b, с образуют правую тройку, то правыми будут также тройки b, с, а и с, а, b. В то же время все три тройки b, а, с; а, с, b и с, b, а — левые. Тем самым,

(а, b, с) = (b, с, а) = (с, a,b) = -(b, а, с) = -(а, с, b) = -(с, b, а).

Еще раз подчеркнем, что смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда перемножаемые векторы а, b, с компланарны:

Смешанное произведение в координатах

Пусть векторы а, b, с заданы своими координатами в базисе i, j, k:

Векторы 1 курс решение задач

Найдем выражение для их смешанного произведения (а, b, с). Имеем

Векторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задач

— смешанное произведение векторов, заданных своими координатами в базисе i, j, k, равно определителю третьего порядка, строки которого составлены соответственно из координат первого, второго и третьего из перемножаемых векторов.

Векторы 1 курс решение задач

Пример:

Проверить, компланарны ли векторы

Рассматриваемые векторы будут компланарны или некомпланарны в зависимости от того, будет равен нулю или нет определитель

Векторы 1 курс решение задач

Разлагая его по элементам первой строки, получим

Векторы 1 курс решение задач

Двойное векторное произведение

Двойное векторное произведение [а, [b, с]] представляет собой вектор, перпендикулярный к векторам а и [b, с]. Поэтому он лежит в плоскости векторов b и с и может быть разложен по этим векторам. Можно показать, что справедлива формула

[а, [b, с]] = b(а, с) — с(а, b).

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Векторы 1 курс решение задач

Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач Векторы 1 курс решение задач

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

📽️ Видео

ПРОСТОЙ СПОСОБ, как запомнить Векторы за 10 минут! (вы будете в шоке)Скачать

ПРОСТОЙ СПОСОБ, как запомнить Векторы за 10 минут! (вы будете в шоке)
Поделиться или сохранить к себе: