Вектор с началом и концом в одной точке называется и обозначается (7 видео)

Вектор: определение и основные понятия

Содержание

Определение вектора
Обозначение вектора
Длина вектора
Нулевой вектор
Коллинеарные вектора
Сонаправленные вектора
Противоположно направленные вектора
Компланарные вектора
Равные вектора
Единичный вектор
Вектор. Виды векторов.
Векторы. Виды векторов
Сложение векторов
Умножение вектора на число
Ортогональность векторов
📽️ Видео

Видео:8 класс, 40 урок, Понятие вектораСкачать

Определение вектора

Вектор с началом и концом в одной точке называется и обозначается

рис. 1

Видео:Геометрия - 9 класс (Урок№1 - Понятие вектора. Равенство векторов)Скачать

Обозначение вектора

Вектор началом которого есть точка А, а концом — точка В, обозначается AB (рис.1). Также вектора обозначают одной маленькой буквой, например a .

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Длина вектора

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа | AB |.

Видео:Как выражать вектор? Как решать задачу с вектором? | TutorOnlineСкачать

Нулевой вектор

Нулевой вектор обычно обозначается как 0 .

Длина нулевого вектора равна нулю.

Видео:ПРОСТОЙ СПОСОБ, как запомнить Векторы за 10 минут! (вы будете в шоке)Скачать

Коллинеарные вектора

рис. 2

Видео:Геометрия 9 Откладывание вектора от данной точкиСкачать

Сонаправленные вектора

рис. 3

Видео:10 класс, 38 урок, Понятие вектораСкачать

Противоположно направленные вектора

рис. 4

Видео:ВекторыСкачать

Компланарные вектора

рис. 5

Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по этому любые два вектора всегда компланарные.

Видео:Сложение векторов. Правило параллелограмма. 9 класс.Скачать

Равные вектора

рис. 6

То есть, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины:

a = b , если a ↑↑ b и | a | = | b |.

Видео:Понятие вектора. Равенство векторов. Урок 1. Геометрия 9 классСкачать

Единичный вектор

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Понятие вектора. Равенство векторов. Откладывание вектора от данной точкиСкачать

Вектор. Виды векторов.

Вектор — в самом элементарном случае это математический объект, который характеризуется

величиной и направлением.

В геометрии вектор — направленный отрезок прямой, то есть отрезок, для которого указано, какая

из его граничных точек является началом, а какая — концом.

У вектора есть длина и определенное направление. Графически вектора изображаются как

направленные отрезки прямой конкретной длины. Длина вектора – это и есть длина этого отрезка.

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии по обоим сторонам: |AB|.

Как видно на рисунке, начало отрезка – это точка А, концом отрезка является

точка В, а непосредственно вектор обозначен через . У направления

вектора существенное значение, если переместить стрелку на другую

сторону отрезка, то получим вектор, но абсолютно другой. Понятие вектора

удобно сравнивать с движением физического тела: подумайте, ехать на

рыбалку и с рыбалки – разница огромная.

Понятия «больше» и «меньше» для векторов не имеет значения — так как направления их могут быть

разными. Сравнивают лишь длины векторов. Зато есть понятие равенства для векторов.

Виды векторов.

Единичным называется вектор, длина которого равна 1.

Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым нулевым вектором.

У такого вектора конец и начало совпадают.

Нулевой вектор обычно обозначается как . Длина нулевого вектора, или его модуль равен нулю.

Коллинеарные вектора – вектора, которые параллельны одной прямой

или которые лежат на одной прямой.

Сонаправленные вектора. Два коллинеарных вектора a и b называются

сонаправленными векторами только тогда, когда их направления

соответствуют друг другу: a↑↑b

Противоположно направленные вектора – два коллинеарных вектора

a и b называются противоположно направленными векторами, только

когда они направлены в разные стороны: a↑↓b.

Компланарные вектора – это те вектора, которые параллельны одной

плоскости или те, которые лежат на общей плоскости.

В любое мгновение существует плоскость одновременно параллельную

двум любым векторам, поэтому два произвольных вектора являются

Равные вектора. Вектора a и b будут равными, если они будут лежать на

одной либо параллельных прямых и их направления и длины одинаковые.

То есть, такой вектор можно перенести параллельно ему в каждое место

Таким образом, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые

и имеют одинаковые длины:

Для координатного представления векторов огромное значение

оказывает понятие проекции вектора на ось (направленную

прямую).

Проекция вектора — это длина отрезка, который образуется

проекциями точек начала и конца вектора на заданную прямую,

при этом проекции добавляется знак “+”, но когда направление

проекции соответственно направлению оси, иначе — знак “–”.

Проекция – это длина заданного вектора, умноженная на cos угла исходного вектора и оси; проекция

вектора на ось, которая перпендикулярна ему = 0.

Когда работают с векторами, зачастую вводят так называемую

декартову систему координат и уже в этой системе находят

координаты вектора по базисным векторам.

Разложение по базису геометрически можно показать проекцией

вектора на координатные оси. Когда известны координаты начала и

конца вектора, то координаты данного вектора получают вычитая

из координат конца вектора координат начала вектора.

За базис зачастую выбираются координатные орты, которые обозначаются как , соответственно

осям x, y, z. Исходя из этого, вектор можно записать в таком виде:

Каждое геометрическое свойство есть возможность записать в координатах, и далее исследование

из геометрического переходит в алгебраическое и на этом этапе в основном упрощается. Обратное,

кстати, неверно: не у любого соотношения в координатах есть геометрическое толкование, но только

те соотношения, которые выполняются в любой декартовой системе координат (инвариантные).

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

Векторы. Виды векторов

Вектором называется направленный отрезок прямой евклидова пространства, у которого один конец (точка A) называется началом вектора, а другой конец (точка B) концом вектора (Рис. 1). Векторы обозначаются:

Если начало и конец вектора совпадают, то вектор называется нулевым вектором и обозначается 0.

Пример. Пусть в двухмерном пространстве начало вектора имеет координаты A(12,6) , а конец вектора — координаты B(12,6). Тогда вектор является нулевым вектором.

Длина отрезка AB называется модулем ( длиной, нормой) вектора и обозначается | a|. Вектор длины, равной единице, называется единичным вектором. Кроме модуля вектор характеризуется направлением: вектор имеет направление от A к B. Вектор называется вектором, противоположным вектору .

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. На рисунке Рис. 3 красные векторы коллинеарны, т.к. они лажат на одной прямой, а синие векторы коллинеарны, т.к. они лежат на параллельных прямых. Два коллинеарных вектора называются одинаково направленными, если их концы лежат по одну сторону от прямой, соединяющей их начала. Два коллинеарных вектора называются противоположно направленными, если их концы лежат по разные стороны от прямой, соединяющей их начала. Если два коллинеарных вектора лежат на одной прямой, то они называются одинаково направленными, если один из лучей, образованным одним вектором полностью содержит луч, образованным другим вектором. В противном случае векторы называются противоположно направленными. На рисунке Рис.3 синие векторы одинаково направлены, а красные векторы противоположно направлены.

Два вектора называются равными если они имеют равные модули и одинаково направлены . На рисунке Рис.2 векторы равны т.к. их модули равны и имеют одинаковое направление.

Векторы называются компланарными, если они лежат на одной плоскости или в параллельных плоскостях.

В n мерном векторном пространстве рассмотрим множество всех векторов, начальная точка которых совпадает с началом координат. Тогда вектор можно записать в следующем виде:

где x 1, x 2, . x_n координаты конечной точки вектора x.

Вектор, записанный в виде (1) называется вектор-строкой, а вектор, записанный в виде

Число n называется размерностью ( порядком) вектора. Если то вектор называется нулевым вектором (т.к. начальная точка вектора ). Два вектора x и y равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие элементы:

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Сложение векторов

Суммой x+ y векторов x и y называется вектор, проведенный из начала x к концу у, если вектор у параллельно перемещен так, что конец x и начало y совмещены.

Видео:Понятие вектора. Коллинеарные вектора. 9 класс.Скачать

Умножение вектора на число

Произведением вектора x на число β ( x≠0, β≠0) называется вектор, модуль которого равен | x|| β| и который направлен в ту же сторону, что и вектор x, если β>0, и в противоположную, если β x=0 и (или) β=0, то βx=0.

Видео:Лекция 4. ВЕКТОРА │ кинематика с нуляСкачать