Вектор на клетчатой бумаге

У любого вектора есть 2 главные характеристики:

• длина (математики говорят «модуль вектора»)
• направление (в какую сторону вектор на рисунке направлен)

Третья характеристика вектора – это его координаты.

Примечание:

Зная координаты вектора, можно найти его длину и направление. Поэтому, задавать информацию о векторе можно двояко: либо указав его длину и направление, либо его координаты.

Видео:Самый простой способ нахождения площадиСкачать

Что такое координаты вектора

Координаты вектора – это длины его теней на осях координат (его проекции на оси).

Координаты вектора указывают так:

( a_ ) – это «x» координата вектора, проекция вектора ( vec ) на ось Ox;

( a_ ) — это «y» координата вектора, проекция вектора ( vec ) на ось Oy;

Координаты вектора можно получить из координат его начальной и конечной точек:

«координата вектора» = «конец» — «начало»

Пример:

( A left( 1;1 right) ) — начальная точка,

( B left( 4;3 right) ) — конечная точка,

[ overrightarrow = left< AB_; AB_ right> ]

[ begin AB_ = 4 – 1; AB_ = 3 \ AB_ = 3 – 1; AB_ = 2 end ]

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Длина вектора (в чем измеряется, как посчитать)

Длину вектора (его модуль) обозначают так:

Как вычислить длину вектора по его координатам

Когда известны координаты вектора, его длину считают так:

( a_ ) и ( a_ ) — это числа, координаты вектора ( vec )

Для двухмерного вектора:

Для трехмерного вектора:

Как вычислить длину вектора с помощью рисунка

Если вектор нарисован на клетчатой бумаге, длину считаем так:

1). Если вектор лежит на линиях клеточек тетради:

— считаем количество клеточек.

Зная масштаб клеток, легко получить длину вектора – умножаем масштаб на количество клеток.

2). Если вектор не лежит вдоль линий:

— проводим вертикаль и горизонталь пунктиром.

( Delta x ) — горизонталь; ( Delta y ) — вертикаль;

— затем применяем формулу:

Видео:Формула Пика или Как найти площадь любой фигуры на клетчатой бумагеСкачать

Как указать направление вектора

Указать направление вектора можно с помощью его координат. Так как в его координатах уже содержится информация о длине и направлении вектора.

Бывает так, что координаты вектора неизвестны, а известна только лишь его длина. Тогда направление можно указать с помощью угла между вектором и какой-либо осью.

Для двумерного вектора

Если вектор двумерный, то для указания направления (см. рис. 10) можно использовать один из двух углов:

• угол ( alpha ) между вектором и горизонталью (осью Ox),
• или угол ( beta ) вежду вектором и вертикалью (осью Oy).

Словами указать направление вектора можно так:

• вектор длиной 5 единиц направлен под углом 30 градусов к горизонтали;
• Или же: вектор длиной 5 единиц направлен под углом 60 градусов к вертикали.

Такой способ указания координат используют в полярной системе координат.

Для трехмерного вектора

Когда вектор располагается в трехмерном пространстве, чтобы указать, куда вектор направлен, используют два угла.

• угол между вектором и осью Oz;
• и один из углов: между вектором и осью Oy, или между вектором и осью Ox;

Такой способ указания координат используют в сферической системе координат.

Считаем Землю шаром. Расположим ее центр в начале трехмерной системы координат – точке (0 ; 0 ; 0).

Тогда координаты любой точки на поверхности планеты можно указать с помощью радиус-вектора этой точки.

Для указания сферических координат принято использовать:

• длину вектора,
• угол между осью Ox и вектором и
• угол между осью Oz и вектором.

Видео:ВЕКТОРЫ 9 класс С НУЛЯ | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

Геометрия. Применение формул. Задача 5 Базового ЕГЭ по математике

Чтобы уверенно решать задачи по геометрии — даже такие простые — необходимо выучить основные понятия и формулы.

Это формулы площадей фигур — треугольника (5 формул), параллелограмма, ромба, прямоугольника, произвольного четырехугольника, а также круга. Формулы для длины окружности, длины дуги и площади сектора. Для средней линии треугольника и средней линии трапеции.

Надо знать, что такое центральный и вписанный угол. Знать основные тригонометрические соотношения. В общем, учите основы планиметрии.

Больше полезных формул — в нашем ЕГЭ-Справочнике.

В этой статье — основные типы заданий №5 Базового ЕГЭ по математике. Задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

Вычисление длин отрезков, величин углов и площадей фигур по формулам

1. На клетчатой бумаге с размером клетки изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований:

2. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Соединим точки А и С с центром окружности и проведем диаметры через точки А и С. Видим, что величина центрального угла АОС равна Тогда

3. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на

Проведем из точки В перпендикуляр к прямой ОА. Из прямоугольного треугольника ОВС по теореме Пифагора:

Осталось умножить найденное значение синуса на

4. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Самый простой способ — воспользоваться формулой площади ромба, выраженной через его диагонали:

, где и — диагонали.

Получим:

5. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Основания нашей трапеции равны 4 и 8, а высота равна боковой стороне (поскольку трапеция прямоугольная), то есть 3 см. Площадь трапеции

Нахождение площадей многоугольников сложной формы

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ и на авторских задачах.

6. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .

7. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .

Многие репетиторы рекомендуют в таких задачах пользоваться формулой Пика. В ней нет необходимости, однако эта формула довольно интересна.

Согласно формуле Пика, площадь многоугольника равна В+Г/2-1

где В — количество узлов внутри многоугольника, а Г — количество узлов на границе многоугольника.

Узлами здесь названы точки, в которых пересекаются линии нашей клетчатой бумаги.

Посмотрим, как решается задача 7 с помощью формулы Пика:

Синим на рисунке отмечены узлы внутри треугольника. Зеленым — узлы на границе.

Аккуратно посчитав те и другие, получим, что В = 9, Г = 5, и площадь фигуры равна S = 9 + 5/2 — 1 = 10,5.

Выбирайте — какой способ вам больше нравится.

8. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки

Такой четырехугольник получится, если от квадрата размером отрезать 2 прямоугольника и 4 треугольника. Найдите их на рисунке.

Площадь каждого из больших треугольников равна

Площадь каждого из маленьких треугольников равна

Тогда площадь четырехугольника

9. Авторская задача. Найдите площадь закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки

На рисунке изображен ромб с вырезанным из него квадратом.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Площадь вырезанного квадрата равна 4.

Площадь фигуры равна 36 — 4 = 32.

Площадь круга, длина окружности, площадь части круга

Длина дуги во столько раз меньше длины окружности, во сколько раз ее градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

Площадь сектора во столько раз меньше площади всего круга, во сколько раз его градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

10. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.

11. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8. Найдите площадь закрашенного сектора.

На рисунке изображен сектор, то есть часть круга. Но какая же это часть? Это четверть круга и еще круга, то есть круга.

Значит, нам надо умножить площадь круга на . Получим:

12. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Площадь фигуры равна разности площадей двух кругов, один из которых расположен внутри другого. По условию, площадь внутреннего круга равна 9. Радиус внешнего круга относится к радиусу внутреннего как 4 к 3. Площадь круга равна , то есть пропорциональна квадрату радиуса. Значит, площадь внешнего круга в раза больше площади внутреннего и равна 16. Тогда площадь фигуры равна 16 — 9 = 7.

Задачи на координатной плоскости

13. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (4;2), (8;4), (6;8), (2;6).

Заметим, что этот четырехугольник — квадрат. Сторона квадрата a является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 2 и 4. Тогда

14. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты

На рисунке изображен параллелограмм (четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон). Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Основание равно 2, высота 8, площадь равна 16.

Видео:На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 12 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Векторы на плоскости Работу выполнила Нина Саидзода. — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемКирилл Самошин

Похожие презентации

Видео:Найдите площадь треугольника изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 см.Скачать

Презентация на тему: » Векторы на плоскости Работу выполнила Нина Саидзода.» — Транскрипт:

1 Векторы на плоскости Работу выполнила Нина Саидзода

2 Содержание I.ТеорияТеория II.Задачи на тему: «Векторы на плоскости» Задача 1 Задача 2 Задача 3 III.Проверь себяПроверь себя

3 Теория «Векторы на плоскости» Сложение Правило треугольника Правило параллелограмма Свойство сложения Вычитание Правило трех точек

5 А B C Для любых трех точек А, В и С справедливо равенство:

6 Правило параллелограмма А B C

8 Вычитание векторов Разностью векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору

9 Вычитание B A C

10 Правило трех точек Любой вектор можно представить как разность двух векторов, проведенных из одной точки. А B K

11 Задача 1 ОТВЕТ: 3

12 Задача 2 2. Найдите длину суммы векторов и изображенных на клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 Ответ: 5

13 Задача 3 3.Найдите длину разности векторов и, изображенных на клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 Ответ: 4

14 Упростите выражения: а) б) в) г) Проверь себя показать

💥 Видео

Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать

ОГЭ, математика, задание 18| Треугольник на клетчатой бумагеСкачать

Вариант 2 Задание 3 ЕГЭ 2016 Математика, И В Ященко 36 вариантов Решение ОтветСкачать

Умножение вектора на число. 9 класс.Скачать

ОГЭ 2019 Задание 19. Геометрия на клетчатой бумаге. Площади.Скачать

ОГЭ по математике На клетчатой бумаге с размером 1х1 изображен параллелограммСкачать

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 12 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Геометрия 10 класс (Урок№17 - Вектор в пространстве.)Скачать

ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ НА КЛЕТЧАТОЙ БУМАГЕ — ГРИГОРИЙ МЕРЗОНСкачать

ОГЭ как найти тангенс угла, если нет треугольника #математика #огэ #огэматематика #геометрияСкачать

Как выразить вектор через данные векторы параллелограмма. Векторы на плоскости. Геометрия 8-9 классСкачать

Симметрия на клетчатой бумагеСкачать

На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён треугольник. Найдите его площадь.Скачать

Единичный векторСкачать