Вектор и его ортогональные составляющие (5 видео)

Ортогональные векторы и условие ортогональности

В данной статье мы расскажем, что такое ортогональные векторы, какие существуют условия ортогональности, а также приведем подробные примеры для решения задач с ортогональными векторами.

Содержание

Ортогональные векторы: определение и условие
Примеры решения задач на ортогональность векторов
Плоские задачи на ортогональность векторов
Примеры пространственных задач на ортогональность векторов
Логика троичности
[1] [2] [3]
Угол между векторами. Ортогональные проекции векторов
Угол между векторами
Ортогональные проекции векторов
Алгебраическое значение длины проекции
📸 Видео

Видео:2 42 Ортогональность векторовСкачать

Ортогональные векторы: определение и условие

Ортогональные векторы — это векторы a ¯ и b ¯ , угол между которыми равен 90 0 .

Необходимое условие для ортогональности векторов — два вектора a ¯ и b ¯ являются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю.

Видео:Ортогональная проекция и ортогональная составляющая. ТемаСкачать

Примеры решения задач на ортогональность векторов

Плоские задачи на ортогональность векторов

Если дана плоская задача, то ортогональность для векторов a ¯ = и b ¯ = записывают следующим образом:

a ¯ × b ¯ = a x × b x + a y × b y = 0

Задача 1. Докажем, что векторы a ¯ = и b ¯ = ортогональны.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 1 × 2 + 2 × ( — 1 ) = 2 — 2 = 0

Ответ: поскольку произведение равняется нулю, то векторы являются ортогональными.

Задача 2. Докажем, что векторы a ¯ = и b ¯ = ортогональны.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 3 × 7 + ( — 1 ) × 5 = 21 — 5 = 16

Ответ: поскольку скалярное произведение не равняется нулю, то и векторы не являются ортогональными.

Задача 3. Найдем значение числа n , при котором векторы a ¯ = и b ¯ = будут ортогональными.

Как решить?

Найдем скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 2 × n + 4 × 1 = 2 n + 4 2 n + 4 = 0 2 n = — 4 n = — 2

Ответ: векторы являются ортогональными при значении n = 2 .

Видео:Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Примеры пространственных задач на ортогональность векторов

При решении пространственной задачи на ортогональность векторов a ¯ = и b ¯ = условие записывается следующим образом: a ¯ × b ¯ = a x × b x + a y × b y + a z × b z = 0 .

Задача 4. Докажем, что векторы a ¯ = и b ¯ = являются ортогональными.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 1 × 2 + 2 × ( — 1 ) + 0 × 10 = 2 — 2 = 0

Ответ: поскольку произведение векторов равняется нулю, то они являются ортогональными.

Задача 5. Найдем значение числа n , при котором векторы a ¯ = и b ¯ = будут являться ортогональными.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 2 × n + 4 × 1 + 1 × ( — 8 ) = 2 n + 4 — 8 = 2 n — 4 2 n — 4 = 0 2 n = 4 n = 2

Ответ: векторы a ¯ и b ¯ будут ортогональными при значении n = 2 .

Видео:Ортогональные системы векторов. Процесс ортогонализации (задача 1357)Скачать

Логика троичности

[1] [2] [3]

П рекрасно понимая неуместность такого термина, рискну сказать, что каждое Лицо Троицы выполняет свою «работу», не свойственную другим Лицам.

При желании последние два свойства — соприсносущность и специфичность — можно было бы объединить в одно: неслиянность (неслиянность Лиц и неслиянность их действий). Это позволило бы придать формулировке логических свойств Троицы такую форму: Троица триединая, единосущная, неразделенная и неслиянная, однако здесь этого делаться не будет, чтобы иметь возможность более точного подбора соответствующего математического объекта. Несколько отвлекаясь от обсуждения логических свойств Троицы, обратим внимание на то, что понятия «нераздельная» и «неслиянная» не являются противоположными и не создают, как многие думают, непостижимости. Первое говорит о том, что три Лица существуют лишь вместе, а второе — о том, что они качественно различны в упомянутом выше смысле (ведь «слить» воедино можно лишь полностью, но однотипное).

В заключение следует сформулировать еще одно, последнее, свойство Троицы, которое лишь с известными оговорками может быть названо логическим.

6. Взаимодействие. Как уже говорилось, три Лица находятся в предвечном взаимодействии, о котором нам известно лишь то, что сын рождается, а Св. Дух исходит от Отца. Свойство взаимодействия следует особо подчеркнуть, ведь рассмотренные выше примеры с тремя цветками и тремя каплями показали, что у взаимодействующих и невзаимодействующих объектов логика может оказаться совершенно различной.

Свойство взаимодействия стоит несколько отдельно, отличаясь от всех других, поскольку первые пять свойств обладают качеством определенности и «статичности», они четко говорят о состоянии, в то время как последнее отражает факт существования некоторого «процесса». Шестое свойство нельзя назвать чисто логическим и потому, что оно отражает жизнь Бога в Себе. Неизбежная неопределенность термина «взаимодействие» не препятствует, однако, тому, чтобы понимать, в каком направлении следует анализировать логику троичности.

Математический объект, полностью соответствующий перечисленным шести свойствам, действительно существует и широко используется в математике, механике, физике и других аналогичных науках. Это самый обычный вектор с его тремя ортогональными составляющими. Для определенности будем считать этот конечный вектор имеющим начало в ортогональной системе декартовых координат, а его составляющие направленными по осям. Оценим, насколько точно его логические свойства соответствуют одноименным свойствам Троицы.

1. Триединость. Она почти очевидна, поскольку сам вектор с одной стороны и три его составляющие с другой — одно и то же. Это «одно и то же» надо понимать так. Пусть, например, имеется некоторое инженерное сооружение, на которое действует вектор силы. В результате в конструкции возникнут напряжения и деформации, которые можно измерить. Если теперь заменить вектор его тремя составляющими, приложив их в той же точке, то все распределение напряжений и деформаций в конструкции не изменится. Наблюдающий за состоянием конструкции по приборам никогда не сможет определить, действует ли на сооружение сам вектор или его составляющие. Их действия являются абсолютно эквивалентными. Для лиц, знакомых с векторной алгеброй, особо хотелось бы подчеркнуть, что в приведенном рассуждении не используется понятие векторной суммы; при определении триединости это не нужно.

2. Единосущность — тоже почти очевидное свойство, поскольку три составляющие вектора сами являются векторами. Полезно заметить, что никто и никогда не говорил, что это обстоятельство ведет к антиномии.

3. Нераздельность. Каждая составляющая вектора связана с ним абсолютно, поскольку является его векторной проекцией на соответствующую ось. Но тогда они столь же абсолютно связаны и друг с другом, что и является нераздельностью.

4. Соприсносущность. Это тоже очевидное следствие того, что составляющие вектора существуют всегда одновременно и вместе, иначе они не составили бы систему векторов, в любой момент времени полностью эквивалентную исходному вектору.

5. Специфичность требует более подробного рассмотрения. При перечислении свойств Троицы было сказано, что в соответствии с этим свойством каждое Лицо Троицы выполняет свою «работу». Это скорее всего неуместное по отношению к Троице понятие теперь становится весьма подходящим. Пусть для определенности рассматриваемый вектор является силой, смещающей материальную точку из начала координат. Понятно, что каждая составляющая может сместить ее только вдоль «своей» оси и никак не может сделать этого по «чужим» осям. Это показывает, что три составляющие вектора принципиально не способны заменить друг друга, что и говорит об их специфичности.

6. Взаимодействие. Взаимодействие составляющих сводится к тому, что они суммируются по правилам векторной алгебры. (В пункте 1 говорилось об эквивалентности монады и триады, здесь же указывается процесс, ведущий к этой эквивалентности.)

Как видно из проведенного анализа, логическая структура Троицы и вектора с его тремя ортогональными составляющими полностью совпадает, что доказывает их изоморфность. Следовательно, поскольку в случае с вектором никаких антиномий не возникает, аналогичное можно допустить и для Троицы. Но тогда разногласие между Трубецким и о. Павлом Флоренским теряет смысл — оба исходили из того, что тезис «Бог един» не может быть согласован с антитезисом «есть три Бога» без нарушения законов логики. Теперь видно, что это не так. Правда, для вектора все проведенное рассмотрение совершенно «прозрачно», что, конечно, нельзя требовать при попытке постичь Троицу — Бог в принципе непознаваем; и центральным является здесь характер взаимодействия трех Лиц в Боге, которое бесконечно сложнее простого геометрического суммирования. Однако Символ веры, назвав каждое из трех Лиц Богом, дает нам основание считать, что это взаимодействие имеет нужный для этого характер.

Анализ векторной модели триединости, который здесь опущен, показывает, что совокупность шести свойств, приводящая к логически безупречной триединости, является необходимой. Достаточно изменить хотя бы одно из них, чтобы вся логическая структура триединости оказалась разрушенной. Можно допустить, что аналогично все эти свойства как совокупность являются необходимыми и для существования логической структуры Троицы, что и тут нарушение хотя бы одного из них тоже недопустимо, ибо оно обязательно приведет к распаду этой сложной и гармоничной логической структуры. Остается лишь удивляться тому, что отцы Церкви сумели сформулировать эту совокупность свойств, не имея возможности опираться на математику. Они совершенно справедливо называли любые отклонения от этой совокупности ересями, как бы ощущая внутренним зрением их разрушительную пагубность. Лишь сегодня становится понятным величие отцов Церкви и в смысле интуитивного создания безупречной логики триединости.

Многие богословы предупреждали, что попытки рационализации догмата о Троице очень опасны, так как, в конечном счете, ведут к возникновению различных ересей. Не была ли и здесь произведена такая попытка рационализации? Ответ на этот вопрос может быть только отрицательным. Векторная модель, о которой шла речь, никакого отношения к богословию и догматам не имеет, она имеет отношение только к формальной логике. Целью рассмотрения было показать, что формальная логика допускает существование триединых объектов, по своей логической структуре аналогичных Троице и при этом никаких антиномий не возникает. Это резко противоречит привычным взглядам.

В силу сказанного представляется, что сегодня совершенно разумна формулировка догмата о Троице, которая точно следует Символу веры: «Лица Троицы составляют единое Божество, в котором каждое Лицо, в свою очередь является Богом».

Построение и анализ математической модели троичности были необходимы и потому, что правильность (отсутствие антиномий) логической структуры Троицы казалась далеко не очевидной; существует известная разница между правильным и очевидным. То, что сумма углов треугольника составляет 180°, безусловно правильно, по далеко не очевидно. Очевидное видно сразу, его не надо доказывать, правильное требует, напротив, иногда достаточно длинной цепи логических ходов. Именно поэтому доказательство правильности логики триединости потребовало известных усилий. Теперь понятно, почему раньше те, кто стремился логически осмыслить триединость (пытаясь при этом остаться на уровне очевидного), излишне упрощали проблему и приходили к ошибочным выводам.

У кого-либо может возникнуть впечатление, что векторная модель троичности является еще одной из возможных иллюстраций триединства Бога. Это совершенно не так. Многочисленные известные сегодня иллюстрации троичности, которые начали возникать одновременно с формулированием троичного догмата и которые должны были приблизить человеческое понимание к существу Троицы, носят поэтически-образный характер. Как правило, они очень красивы (три свечи, разливающие нераздельный свет; корень, ствол и плод единого дерева; солнце, его лучи и полученный на Земле свет и тому подобное), но совершенно не доказательны. В этом легко убедиться, проверив их на наличие в любой из таких иллюстраций полной совокупности шести свойств Троицы, сформулированных выше. Каждая из известных иллюстраций поясняет, как правило, какое-либо одно качество Троицы, оставляя другие без внимания. И тем не менее их красота и образность делает их по-прежнему привлекательными. Что касается векторной модели, то это не модель Троицы, а лишь модель логической троичности, по зато это не иллюстрация, а доказательство (что много больше).

Обнаружение того факта, что формальная логика не запрещает существования объектов аналогичных Троице, важно по ряду соображений. Прежде всего теперь невозможны тринитарные ереси, пытавшиеся путем рационализации догмата, его упрощения, сообщения ему наглядности, сделать догмат о Троице «понятным». Здесь важно еще раз отметить, что именно поэтому проведенное доказательство не только не является попыткой рационализации догмата, но, напротив, делает попытки малоперспективными. Ведь теперь исчезла причина, порождавшая это стремление к рационализации догмата: кажущаяся нелепость догмата о триединстве. Это во-первых. Во-вторых, кажущаяся логическая абсурдность триединости была излюбленной темой атеистической и скептической критики догмата. Цепь этих критических умозаключений строилась обычно по следующей схеме: понятие триединости — это логический абсурд — никакие абсурдные объекты не могут существовать — следовательно, не существует и Троица. Сегодня в этой, казалось бы, доказательной цепи умозаключений утеряно главное звено: такие объекты существуют, например, в математике, и всеми признаются разумными и полезными.

Видео:Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Угол между векторами. Ортогональные проекции векторов

Видео:Ортогональная проекция и ортогональная составляющая. ПримерСкачать

Угол между векторами

Углом между двумя ненулевыми векторами называется угол между равными им векторами, имеющими общее начало, не превосходящий по величине числа .

Пусть в пространстве даны два ненулевых вектора и (рис.1.22). Построим равные им векторы и . На плоскости, содержащей лучи и , получим два угла . Меньший из них, величина которого не превосходит , принимается за угол между векторами и .

Поскольку направление нулевого вектора не определено, то не определен и угол между двумя векторами, если хотя бы один из них нулевой. Из определения следует, например, что угол между ненулевыми коллинеарными векторами либо равен нулю (если векторы одинаково направлены), либо равен (если векторы противоположно направлены).

Видео:A.7.4 Ортогонализация набора векторов. Процесс Грама-Шмидта.Скачать

Ортогональные проекции векторов

Движение по любой прямой может быть в двух направлениях. Ориентированной прямой называется прямая, на которой выбрано направление, т.е. одно из направлений считается положительным, а противоположное — отрицательным. Для измерения длин отрезков на прямой задается масштабный отрезок, который принимается за единицу.

Ориентированная прямая с заданным масштабным отрезком называется осью.

Любой ненулевой вектор , принадлежащий прямой, называется направляющим вектором для данной прямой, поскольку задает на ней ориентацию. Направление вектора принимается за положительное, а направление противоположного вектора — за отрицательное. Кроме того, длину вектора — можно принять за величину масштабного отрезка на этой прямой. Поэтому можно сказать, что любой ненулевой вектор определяет ось — прямую, содержащую этот вектор, задавая на ней направление и масштабный отрезок.

Ортогональной проекцией вектора на ось, задаваемую вектором , называется его проекция на ось вдоль прямой (или вдоль плоскости), перпендикулярной данной оси. Ортогональную проекцию вектора на ось, задаваемую вектором , будем обозначать .

Ортогональную проекцию вектора на прямую (см. разд. 1.2.2 и рис. 1.13) будем обозначать .

Ортогональную проекцию вектора а на плоскость (см. разд. 1.2.2 и рис. 1.14) будем обозначать .

Разность между вектором и его ортогональной проекцией называют ортогональной составляющей:

— — ортогональная составляющая вектора относительно вектора ;

— — ортогональная составляющая вектора относительно прямой ;

— — ортогональная составляющая вектора относительно плоскости .

На рис. 1.23 изображены ортогональные проекции вектора :

— на прямую (или на ось , задаваемую вектором ) вдоль прямой (рис.1.23,а);

— на прямую (или на ось , задаваемую вектором ) вдоль плоскости (рис.1.23,б);

— на плоскость вдоль прямой (рис.1.23,в).

На рис. 1.23 изображены ортогональные составляющие вектора :

— относительно оси (вектора ): (рис.1.23,а);

— относительно плоскости (рис.1.23,в).

Для ортогональных проекций справедлива следующая теорема (см. теорему 1.1 в разд. 1.5).

Теорема 1.2 (об ортогональных проекциях вектора).

1. Если на плоскости заданы две взаимно перпендикулярные прямые и , то любой вектор на плоскости можно однозначно представить в виде суммы своих ортогональных проекций на эти прямые, т.е. (рис. 1.24,а).

2. Если в пространстве заданы три попарно перпендикулярные прямые и , пересекающиеся в одной точке, то любой вектор в пространстве можно однозначно представить в виде суммы своих ортогональных проекций на эти прямые, т.е. (рис. 1.24,6).

3. Квадрат длины вектора на плоскости или в пространстве равен сумме квадратов длин своих ортогональных проекций, т.е.

Первые два утверждения представляют собой частные случаи теоремы 1.1. Третье утверждение следует из теоремы Пифагора (для треугольника (рис. 1.24,а) или треугольников и (рис. 1.24,6)).

В формулировке теоремы 1.2 прямые можно заменить осями, задаваемыми попарно ортогональными векторами.

На рис.1.24,а проекции вектора на оси одновременно являются ортогональными составляющими: и . На рис. 1.24,6 вектор является проекцией вектора на плоскость , содержащую прямые и : , а вектор является ортогональной составляющей вектора относительно плоскости .

Видео:Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.Скачать

Алгебраическое значение длины проекции

Пусть – угол между ненулевым вектором и осью, задаваемой вектором , т.е. угол между ненулевыми векторами и .

Алгебраическим значением длины ортогональной проекции вектора на ось, задаваемую вектором , называется длина его ортогональной проекции , взятая с положительным знаком, если угол не превышает , и с отрицательным знаком, если угол больше , т.е.:

Например, для проекций, изображенных на рис. 1.25, 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />, поскольку угол между векторами и острый, a , так как угол между векторами и тупой.

Некоторые свойства проекций векторов переносятся на алгебраические значения их длин, в частности:

1. — алгебраическое значение длины ортогональной проекции суммы векторов равно сумме алгебраических значений длин ортогональных проекций слагаемых;

2. — алгебраическое значение длины ортогональной проекции произведения вектора на число равно произведению этого числа на алгебраическое значение длины ортогональной проекции вектора

1. Из определения алгебраического значения длины ортогональной проекции следует (см. также рис.1.25), что , т.е. алгебраическое значение длины ортогональной проекции ненулевого вектора на ось равна произведению длины этого вектора на косинус угла между вектором и осью.

Ортогональную проекцию вектора на ось, задаваемую вектором , можно представить в виде

Если — единичный вектор, то .

2. Равенство можно использовать как определение косинуса угла между ненулевыми векторами и (или, что то же самое, косинуса угла между осями, заданными ненулевыми векторами и (рис. 1.26)).

3. Углом между ненулевым вектором и прямой называется угол между вектором и его ортогональной проекцией на прямую . Величина угла может быть найдена по формуле

4. Углом между ненулевым вектором и плоскостью называется угол между вектором и его ортогональной проекцией на плоскость . Величина угла может быть найдена по формуле

Пример 1.7. Основания и равнобокой трапеции равны и соответственно; точка — середина стороны (рис. 1.27). Найти алгебраические значения длин ортогональных проекций векторов и на ось, задаваемую вектором .

Решение. Пусть — высота трапеции, — точка пересечения прямых и . По свойству равнобокой трапеции ; из равенства треугольников и .

Обозначим через искомые алгебраические значения длин ортогональных проекций.Тогда из равенств

и свойства 1 алгебраических значений длин проекций следует: