В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медианСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медианФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медианВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Теорема о точке пересечения медиан треугольника. Доказательство. 8 класс.Скачать

Теорема о точке пересечения медиан треугольника. Доказательство. 8 класс.

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Точка пересечения медиан в треугольникеСкачать

Точка пересечения медиан в треугольнике

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан.

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникВ треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан
Равнобедренный треугольникВ треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан
Равносторонний треугольникВ треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан
Прямоугольный треугольникВ треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан.

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан.

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

Произвольный треугольник
В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан
Равнобедренный треугольник
В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан
Равносторонний треугольник
В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан
Прямоугольный треугольник
В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан
Произвольный треугольник
В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан.

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан.

Равнобедренный треугольникВ треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

Равносторонний треугольникВ треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникВ треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

Видео:Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан– полупериметр (рис. 6).

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

с помощью формулы Герона получаем:

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

то, в случае равностороннего треугольника, когда

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Урок по теме ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСС

Окружность, вписанная в правильный треугольник

Окружность, вписанная в правильный треугольник, помимо свойств вписанной в произвольный треугольник окружности, обладает своими собственными свойствами.

1) Центр вписанной в треугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.

Поскольку в равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы и высоты совпадают, то центр вписанной в правильный треугольник окружности является точкой пересечения не только его биссектрис, но также медиан и высот.

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медианНапример, в правильном треугольнике ABC AB=BC=AC=a

точка O — центр вписанной окружности.

AK, BF и CD — биссектрисы, медианы и высоты треугольника ABC.

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

2) Расстояние от центра вписанной окружности до точки касания её со стороной треугольника равно радиусу. Так как центр вписанной в правильный треугольник окружности лежит на пересечении его медиан, а медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен одной третьей длины медианы:

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

Таким образом, формула для радиуса вписанной в правильный треугольник окружности

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

Обратно, сторона равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

3) Так как формула для нахождения площади равностороннего треугольника через сторону

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

можем найти площадь через r:

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

Таким образом, формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности —

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

3) Все отрезки, на которые стороны равностороннего треугольника делятся точками касания вписанной окружности, равны половине его стороны:

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

4) Центр вписанной в правильный треугольник окружности является также центром описанной около него окружности.

5) Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности:

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Окружность, вписанная в треугольник. Теоремы и их рассмотрение

Еще в Древнем Египте появилась наука, с помощью которой можно было измерять объемы, площади и другие величины. Толчком к этому послужило строительство пирамид. Оно предполагало значительное число сложных расчетов. И кроме строительства, было важно правильно измерить землю. Отсюда и появилась наука «геометрия» от греческих слов «геос» — земля и «метрио» — измеряю.

Исследованию геометрических форм способствовало наблюдение астрономических явлений. И уже в 17-м веке до н. э. были найдены начальные способы расчета площади круга, объема шара и главнейшее открытие — теорема Пифагора.

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан Вам будет интересно: Казахская академия спорта и туризма. Факультеты, структура вуза

Формулировка теоремы об окружности, вписанной в треугольник выглядит следующим способом:

В треугольник можно вписать только одну окружность.

При таком расположении окружность — вписанная, а треугольник — описанный около окружности.

Формулировка теоремы о центре окружности, вписанной в треугольник, выглядит следующим образом:

Центральная точка окружности, вписанной в треугольник, есть точка пересечения биссектрис этого треугольника.

Видео:Точка пересечения медиан.Скачать

Точка пересечения медиан.

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник

Окружность считается вписанной в треугольник, если она хотя бы одной точкой касается всех его сторон.

На фото ниже показана окружность, находящаяся внутри равнобедренного треугольника. Условие теоремы об окружности, вписанной в треугольник, соблюдено — она касается всех сторон треугольника AB, ВС И СА в точках R, S, Q соответственно.

Одним из свойств равнобедренного треугольника является то, что вписанная окружность точкой касания делит основание пополам (BS = SC), а радиус вписанной окружности составляет треть высоты данного треугольника(SP=AS/3).

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

Свойства теоремы об окружности, вписанной в треугольник:

  • Отрезки, выходящие из одной вершины треугольника к точкам касания с окружностью, равны. На рисунке AR = AQ, BR = BS, CS = CQ.
  • Радиус окружности (вписанной) — это площадь, деленная на полупериметр треугольника. Как пример, нужно начертить равнобедренный треугольник с теми же буквенными обозначениями, что на картинке, следующих размеров: основание ВС = 3 см, высота AS = 2 см, стороны АВ=ВС, соответственно, получаются по 2,5 см каждая. Проведем из каждого угла биссектрису и место их пересечения обозначим как Р. Впишем окружность с радиусом PS, длину которого нужно найти. Узнать площадь треугольника можно, умножив 1/2 основания на высоту: S = 1/2 * DC * AS = 1/2 * 3 * 2 = 3 см2. Полупериметр треугольника равен 1/2 суммы всех сторон: Р = (АВ + ВС + СА) / 2 = (2,5 + 3 + 2,5) / 2 = 4 см; PS = S/P = 3/4 = 0,75 см2, что полностью соответствует действительности, если измерить линейкой. Соответственно, верно свойство теоремы об окружности, вписанной в треугольник.

Видео:Задание 16 ОГЭ 2022 математика | Точка пересечения медиан треугольникаСкачать

Задание 16 ОГЭ 2022 математика | Точка пересечения медиан треугольника

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Для треугольника с прямым углом действуют свойства теоремы об вписанной окружности в треугольник. И, кроме того, добавляется возможность решать задачи с постулатами теоремы Пифагора.

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник можно определить следующим образом: сложить длины катетов, вычесть значение гипотенузы и получившееся значение разделить на 2.

Есть хорошая формула, которая поможет высчитать площадь треугольника — периметр умножить на радиус вписанной в этот треугольник окружности.

Видео:Медианы | Свойства медиан | Точка пересечения медиан на прямой ЭйлераСкачать

Медианы | Свойства медиан | Точка пересечения медиан на прямой Эйлера

Формулировка теоремы о вписанной окружности

В планиметрии важны теоремы о вписанных и описанных фигурах. Одна из них звучит так:

Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения биссектрис, проведенных из его углов.

В треугольнике центр вписанной окружности и точка пересечения медиан

На представленном рисунке показано доказательство данной теоремы. Показано равенство углов, и, соответственно, равенство прилегающих треугольников.

Видео:✓ Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот | Ботай со мной #113 | Борис ТрушинСкачать

✓ Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот | Ботай со мной #113 | Борис Трушин

Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник

Радиусы окружности, вписанной в треугольник, проведенные в точки касания перпендикулярны сторонам треугольника.

Задание «сформулируйте теорему об окружности вписанной в треугольник» не должно застать врасплох, потому что это одни из фундаментальных и простейших знаний в геометрии, которыми необходимо владеть в полной мере для решения многих практических задач в реальной жизни.

📹 Видео

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

№366. Докажите, что если М — точка пересечения медиан треугольника ABC, а О — произвольная точкаСкачать

№366. Докажите, что если М — точка пересечения медиан треугольника ABC, а О — произвольная точка

Почему геометрия — это красиво?Скачать

Почему геометрия —  это красиво?

Замечательные точки треуг-ка. 8 класс.Скачать

Замечательные точки треуг-ка. 8 класс.

Точка пересечения биссектрис, медиан, высот, серединных перпендикуляровСкачать

Точка пересечения биссектрис, медиан, высот, серединных перпендикуляров

Построение медианы в треугольникеСкачать

Построение медианы в треугольнике

Точка пересечения медиан треугольника.Скачать

Точка пересечения медиан треугольника.

Радиус окружности описанной около равностороннего треугольникаСкачать

Радиус окружности описанной около равностороннего треугольника

координаты центра тяжести треугольникаСкачать

координаты центра тяжести треугольника

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: 4 замечательные точкиСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: 4 замечательные точки

8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать

8. Медиана треугольника и её свойства.
Поделиться или сохранить к себе: