Видео:Геометрия Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точкахСкачать
Геометрия. 8 класс
Установите соответствие между парами параллельных прямых.
В треугольнике ABC:AC = 4, BC = 6, AB = 9. В треугольнике EFD:ED = 8, FD = 12, EF = 18.
Укажите неверные утверждения.
Треугольники AВD и АСЕ таковы, что ∠А = 30°, ∠АDВ = 93°, ∠АЕС = 86°.
Углы ACE и ABD не равны.
Треугольники AВD и АСЕ подобны.
Прямые ВD и СЕ параллельны.
Треугольники AВD и АСЕ не являются подобными.
Треугольники AВD и АСЕ равны.
Впишите правильный ответ.
Прямая, параллельная стороне AC треугольника АВС, пересекает сторону АВ в точке М, а сторону ВС в точке N, причём NВ = 5 см, МN = 7 см, АС = 21 см. Найдите NC. Ответ дайте в сантиметрах.
Выберите верный ответ.
Продолжения боковых сторон трапеции ABCD пересекаются в точке M. Известно, что BC = 4, AD = 10. Найдите отношение площадей треугольников BMC и AMD.
Впишите правильный ответ.
В треугольнике ABC параллельно стороне AC проведена прямая, пересекающая стороны AB и BC в точках D и E соответственно. Найдите BC, если BD = 10, AB = 25, BE = 8.
Выберите верный ответ.
В треугольниках АВС и NКP ∠В = ∠К, BС = 20 см, AB = 10 см, NK = 8 см, KP = 16 см, NP = 12 см. Найдите AС.
Установите соответствие между задачей и ответом к ней.
Стороны угла O пересечены параллельными прямыми
AВ и СD так, что точки A и С лежат на одной стороне угла,
а точки В и D лежат на другой стороне угла.
Найдите ВD, если АВ = 7 см, OB = 12 см, CD = 21 см.
На одной стороне угла O отложены отрезки OA = 9, OB = 18.
На другой стороне угла отложены отрезки OD = 6, OC = 12.
Найдите DC, если AB = 7.
В параллелограмме АВСD проведена прямая из вершины В.
Она пересекает прямую АD в точке K, сторону DС в точке E так,
что CD = 24 см, DK = 8 см, СE = 14 см. Найдите ВС.
Видео:Через середину К медианы ВМ треугольника АВС и вершину А проведена прямая пересекающая сторону ВС вСкачать
Применение теорем Менелая и Чевы для решения задач
В пункте 1.5 данной курсовой работы мы рассмотрели теоремы Чевы и Менелая, теперь рассмотри практическое использование данных теорем на примерах.
В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3BN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС. Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F. Найти отношение Решение:
По условию задачи МА = АС, NC = 3BN. Пусть MA = AC =b, BN = k, NC = 3k. Прямая MN пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей.
По теореме Менелая
Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Пусть AM1, BM2, СM3 — медианы треугольника АВС. Чтобы доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке, достаточно показать, что
Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки AM1, BM2 и СM3 пересекаются в одной точке.
Итак, доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
На стороне PQ треугольника PQR взята точка N, а на стороне PR — точка L, причем NQ = LR. Точка пересечения отрезков QL и NR делит QL в отношении m:n, считая от точки Q. Найдите
По условию NQ = LR, Пусть NA = LR =a, QF = km, LF = kn. Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей.
По теореме Менелая
Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Тогда по теореме Чевы (обратной) AL1, BL2, CL3 пересекаются в одной точке. По свойству биссектрис треугольника
Перемножая почленно полученные равенства, получаем
Для биссектрис треугольника равенство Чевы выполняется, следовательно, они пересекаются в одной точке.
В треугольнике АВС AD — медиана, точка O — середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К. В каком отношении точка К делит АС, считая от точки А?
Пусть BD = DC = a, AO = OD = m. Прямая ВК пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ADC.
По теореме Менелая
Докажите, если в треугольник вписана окружность, то отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке.
Пусть A1, B1и C1 — точки касания вписанной окружности треугольника АВС. Для того чтобы доказать, что отрезки AA1, BB1и CC1 пересекаются в одной точке, достаточно показать, что выполняется равенство Чевы:
Используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения: C1B = BA1 = x, AC1 = CB1 = y, BA1 = AC1 = z.
Равенство Чевы выполняется, значит, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Рассмотрим два способа решения одной задачи. Первый способ довольно длинный, но данный прием, который в нем используется, применяется довольно часто при решении задач, в которых дано отношение отрезков. Второй способ позволяет решить задачу в одно действие, но в нем используется Теорема Менелая.
Итак задача: На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N так, что AM:MB=2:3, BN:NC=2:1. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O. Найти отношение CO:OM.
Вот наш треугольник:
Проведем через точку В прямую параллельно отрезку AB, затем продолжим отрезок AN до пересечения с этой прямой и поставим там точку К:
Рассмотрим треугольники ANC и BNK. Эти треугольники подобны, так как AC||BK. Стороны треугольника BNK относятся к сторонам треугольника ANC как 2:1.
Пусть AC = x, BK = 2x.
Теперь продолжим отрезок MC до пересечения с прямой BK. Поставим там точку L.
Мы получили подобные треугольники LMB и AMC, сходственные стороны которых относятся как 3:2. Так как AC = x, то LB = 1,5x.
Пусть LM = 3n, MC = 2n. Тогда LC = 5n.
Теперь рассмотрим подобные треугольники LOK и AOC.
следовательно, . Пусть LO = 3,5z, OC = z. Тогда LO+OC=LC=4,5z. Получили, что 5n = 4,5z. Тогда MC = 2n = z.
Отсюда MO = MC-CO = z-z = z
Отсюда CO:OM = z:z = 5:4 = 1,25.
Теперь используем при решении данной задачи теорему Минелая. Рассмотрим треугольник MBC и прямую AN:
Запишем теорему Менелая для этого треугольника:
Рассмотрев применение теорем Чевы и Менелая при решении задач можно сделать следующий вывод: знание данных теорем весьма упрощает решение задачи, однако зачастую задачу все таки можно решить и не применяя данных теорем, но, как правило, решение будет весьма объёмным.
🎬 Видео
№199. Прямая р параллельна стороне АВ треугольника ABC. Докажите, что прямые ВССкачать
№193. В треугольнике ABC ∠A=40°, ∠B=70°. Через вершину B проведена прямая BD так, что луч ВССкачать
ОГЭ 23 КАК РЕШИТЬ ЗАДАЧУ НА ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИСкачать
№191. Отрезок ВК — биссектриса треугольника ABC. Через точку К проведена прямая, пересекающаяСкачать
№195. Начертите треугольник ABC и отметьте точку D на стороне АС. Через точку D с помощьюСкачать
В треугольнике ABC на продолжении стороны AC за вершину A отложен отрезок AD , равный стороне AB.Скачать
№384. Через середину М стороны АВ треугольника ABC проведена прямая,Скачать
№473. Через вершину С треугольника ABC проведена прямая m, параллельная стороне АВ. Докажите,Скачать
№245. Через точку пересечения биссектрис ВВ1 и СС1 треугольника ABC проведена прямая, параллельнаяСкачать
ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!Скачать
ОГЭ Р-2 номер 16Скачать
Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать
В треугольнике отмечены середины M и N сторон BC и AC ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 12 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
ОГЭ. Задание 24. Геометрическая задача на вычисление.Скачать
№243. Через вершину С треугольника ABC проведена прямая, параллельная его биссектрисе АА1Скачать
Вся геометрия 7–9 класс с нуля | ОГЭ МАТЕМАТИКА 2023Скачать
Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 41Скачать
ОГЭ. Задание 24. Геометрическая задача на вычислениеСкачать
