В треугольнике abc bm биссектриса (2 видео)

В треугольнике ABC ВМ — биссектриса. Площади треугольников АВМ и СВМ относятся как 1:3, АВ = 4 см. Сторона ВС равна

Содержание

Ваш ответ
решение вопроса
Похожие вопросы
В треугольнике abc bm биссектриса
В треугольнике abc bm биссектриса
🎥 Видео

Видео:В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и AB=AD=CD. Найти меньший угол треугольника ABCСкачать

Ваш ответ

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

решение вопроса

Видео:№191. Отрезок ВК — биссектриса треугольника ABC. Через точку К проведена прямая, пересекающаяСкачать

В треугольнике abc bm биссектриса

В треугольнике ABC проведены биссектрисы BM и CN. Оказалось, что точки B, C, M и N лежат на одной окружности.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Пусть P — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите площадь четырёхугольника AMPN, если MN : BC = 2 : 5, а BN = 14.

а) Вписанные углы NCM и MBN опираются на одну и ту же дугу, следовательно, они равны. Поскольку

получаем то есть треугольник ABC равнобедренный.

получаем, что и прямая MN параллельна прямой BC. Отрезок BC равен 35.

Пусть AK — биссектриса, медиана и высота треугольника ABC. Прямая AK проходит через точку P — центр вписанной окружности. Треугольник ANM подобен треугольнику ABC, следовательно,

Площадь треугольника ABС равна

В четырёхугольнике AMPN диагонали AP и MN перпендикулярны, следовательно, его площадь равна

Ответ: б)

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Видео:В треугольнике ABC проведена биссектриса AL ... \| ОГЭ 2017 \| ЗАДАНИЕ 9 \| ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать В треугольнике abc bm биссектриса Из этой теоремы следует, что в треугольнике против равных углов лежат равные стороны . Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный. Рассмотрим треугольник ABC , у которого отрезок BM — медиана и биссектриса. Надо доказать, что AB = BC . На луче BM отложим отрезок MD , равный отрезку BM (рис. 171). В треугольниках AMD и CMB имеем: AM = MC (так как по условию BM — медиана), BM = MD по построению, углы AMD и CMB равны как вертикальные. Следовательно, треугольники AMD и CMB равны по первому признаку равенства треугольников. Тогда стороны AD и BC , углы ADM и CBM равны как соответственные элементы равных треугольников. Так как BD — биссектриса угла ABC , то ∠ ABM = ∠ CBM . Поскольку ∠ CBM = ∠ ADM , то получаем, что ∠ ABM = ∠ ADM . Тогда по теореме 10.3 получаем, что треугольник DAB — равнобедренный, откуда AD = AB . И уже доказано, что AD = BC . Следовательно, AB = BC . Задача. В треугольнике ABC проведена биссектриса BM (рис. 172), ∠ BAK = 70°, ∠ AKC = 110°. Докажите, что BM ⊥ AK . Решение. Так как углы BKA и AKC — смежные, то ∠ BKA = 180° — ∠ AKC . Тогда ∠ BKA = 180° — 110° = 70°. Следовательно, в треугольнике ABK получаем, что ∠ BAK = ∠ BKA = 70°. Треугольник ABK — равнобедренный с основанием AK , и его биссектриса BO ( O — точка пересечения AK и BM ) является также высотой, т. е. BM ⊥ AK . Сформулируйте признаки равнобедренного треугольника. Какова связь между равными углами и равными сторонами треугольника? 232. В треугольнике ABC медиана BK перпендикулярна стороне AC . Найдите ∠ ABC , если ∠ ABK = 25°. 233. Серединный перпендикуляр стороны AC треугольника ABC проходит через вершину B . Найдите ∠ C , если ∠ A = 17°. 234. В треугольнике ABC известно, что ∠ ACB = 90°, ∠ A = ∠ B = 45°, CK — высота. Найдите сторону AB , если CK = 7 см. 235. На рисунке 173 ∠ AMK = ∠ ACB , AK = MK . Докажите, что ∆ ABC — равнобедренный. 236. Прямая, перпендикулярная биссектрисе угла A , пересекает его стороны в точках B и C . Докажите, что ∆ ABC — равнобедренный. 237. Биссектрисы AM и CK углов при основании AC равнобедренного треугольника ABC пересекаются в точке O . Докажите, что ∆ AOC — равнобедренный. 238. В треугольнике ABC биссектриса BK является его высотой. Найдите периметр треугольника ABC , если периметр треугольника ABK равен 16 см и BK = 5 см. 239. Верно ли утверждение: 1) если медиана и высота треугольника, проведённые из одной вершины, не совпадают, то этот треугольник не является равнобедренным; 2) если биссектриса треугольника делит противолежащую сторону пополам, то этот треугольник равнобедренный? 240. Медианы AE и CF , проведённые к боковым сторонам BC и AB равнобедренного треугольника ABC , пересекаются в точке M . Докажите, что треугольник AMC — равнобедренный. 241. Точки M и K принадлежат соответственно боковым сторонам AB и BC равнобедренного треугольника ABC , AM = CK . Отрезки AK и CM пересекаются в точке O . Докажите, что ∆ AOC — равнобедренный. 242. На сторонах AB и BC треугольника ABC отметили соответственно точки D и E так, что ∠ EAC = ∠ DCA . Отрезки AE и CD пересекаются в точке F , DF = EF . Докажите, что ∆ ABC — равнобедренный. 243. Через середину D стороны AB треугольника ABC проведены прямые, перпендикулярные биссектрисам углов ABC и BAC . Эти прямые пересекают стороны AC и BC в точках M и K соответственно. Докажите, что AM = BK . 244. Медиана AM треугольника ABC перпендикулярна его биссектрисе BK . Найдите сторону AB , если BC = 16 см. 245. Прямая, проходящая через вершину A треугольника ABC перпендикулярно его медиане BD , делит эту медиану пополам. Найдите отношение длин сторон AB и AC треугольника ABC . 246. В треугольнике ABC известно, что ∠ C = 90°, ∠ A = 67,5°, ∠ B = 22,5°, CK — биссектриса треугольника ABC , CM — биссектриса треугольника BCK (рис. 174). Докажите, что точка M — середина отрезка AB . 247. Длины сторон треугольника, выраженные в сантиметрах, равны трём идущим подряд натуральным числам. Найдите стороны этого треугольника, если одна из его медиан перпендикулярна одной из его биссектрис. 248. В треугольнике ABC известно, что AB = 3 см, BC = 4 см, AC = 6 см. На стороне BC отметили точку M такую, что CM = 1 см. Прямая, проходящая через точку M перпендикулярно биссектрисе угла ACB , пересекает отрезок AC в точке K , а прямая, проходящая через точку K перпендикулярно биссектрисе угла BAC , пересекает прямую AB в точке D . Найдите длину отрезка BD . Упражнения для повторения 249. На прямой последовательно отметили точки A , B , C , D , E и F так, что AB = BC = CD = DE = EF . Найдите отношения AB : CF , AB : BF , BD : AE . 250. Найдите углы, образованные при пересечении двух прямых, если один из них на 42° больше половины второго угла. Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте 251. Разрежьте прямоугольник размером 4 × 9 на две равные части, из которых можно сложить квадрат. 🎥 Видео 🔴 В треугольнике ABC проведена биссектриса ... \| ЕГЭ БАЗА 2018 \| ЗАДАНИЕ 15 \| ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать Геометрия В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношенииСкачать Построение биссектрисы в треугольникеСкачать Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать Геометрия В треугольнике ABC известно, что угол A = 44, угол B = 56. Биссектрисы AK и BMСкачать 3 свойства биссектрисы #shortsСкачать В треугольнике ABC BM – медиана и BH – высота ... \| ОГЭ 2017 \| ЗАДАНИЕ 9 \| ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать Геометрия В треугольнике ABC известно, что AC = a, AB = BC = b, AM и CK – биссектрисы треугольникаСкачать В треугольнике ABC известно, что угол BAC = 42 градуса, AD - биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ даСкачать 1704 В треугольнике ABC известно что AC равно 58 BM медиана BM равно 37 Найдите амСкачать Формула для биссектрисы треугольникаСкачать Построение биссектрисы угла. 7 класс.Скачать Построение медианы в треугольникеСкачать №235. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса AD. Найдите углыСкачать ПОСТРОЕНИЕ БИССЕКТРИСЫ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать Поделиться или сохранить к себе: Search for: Треугольник Что такое произвольный треугольник 1322 Окружность Материальная точка равномерно движется по окружности центр которой 1317 Вектор Mn средняя линия равностороннего треугольника авс со стороной равной 22 см найдите длину вектора 1319 Вектор Ортогонализация векторов грамма шмидта 1316 Окружность Самостоятельная работа углы в окружности 1312 Смотрите также Площадь равнобедренного треугольника Площадь прямоугольного треугольника Плечо силы в треугольнике Плетение треугольника мозаичным плетением Плетение треугольника из лозы Плетение треугольника из веревки Плетение из газетных трубочек треугольник Плетение из бисера треугольник О сайте \| \| © 2024 Курс школьной геометрии.

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Видео:В треугольнике ABC проведена биссектриса AL ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 9 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

В треугольнике abc bm биссектриса

Из этой теоремы следует, что в треугольнике против равных углов лежат равные стороны .

Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

Рассмотрим треугольник ABC , у которого отрезок BM — медиана и биссектриса. Надо доказать, что AB = BC .

На луче BM отложим отрезок MD , равный отрезку BM (рис. 171).

В треугольниках AMD и CMB имеем: AM = MC (так как по условию BM — медиана), BM = MD по построению, углы AMD и CMB равны как вертикальные. Следовательно, треугольники AMD и CMB равны по первому признаку равенства треугольников.

Тогда стороны AD и BC , углы ADM и CBM равны как соответственные элементы равных треугольников.

Так как BD — биссектриса угла ABC , то ∠ ABM = ∠ CBM . Поскольку ∠ CBM = ∠ ADM , то получаем, что ∠ ABM = ∠ ADM .

Тогда по теореме 10.3 получаем, что треугольник DAB — равнобедренный, откуда AD = AB . И уже доказано, что AD = BC . Следовательно, AB = BC .

Задача. В треугольнике ABC проведена биссектриса BM (рис. 172), ∠ BAK = 70°, ∠ AKC = 110°. Докажите, что BM ⊥ AK .

Решение. Так как углы BKA и AKC — смежные, то ∠ BKA = 180° — ∠ AKC . Тогда ∠ BKA = 180° — 110° = 70°.

Следовательно, в треугольнике ABK получаем, что ∠ BAK = ∠ BKA = 70°. Треугольник ABK — равнобедренный с основанием AK , и его биссектриса BO ( O — точка пересечения AK и BM ) является также высотой, т. е. BM ⊥ AK .

Сформулируйте признаки равнобедренного треугольника.
Какова связь между равными углами и равными сторонами треугольника?

232. В треугольнике ABC медиана BK перпендикулярна стороне AC . Найдите ∠ ABC , если ∠ ABK = 25°.

233. Серединный перпендикуляр стороны AC треугольника ABC проходит через вершину B . Найдите ∠ C , если ∠ A = 17°.

234. В треугольнике ABC известно, что ∠ ACB = 90°, ∠ A = ∠ B = 45°, CK — высота. Найдите сторону AB , если CK = 7 см.

235. На рисунке 173 ∠ AMK = ∠ ACB , AK = MK . Докажите, что ∆ ABC — равнобедренный.

236. Прямая, перпендикулярная биссектрисе угла A , пересекает его стороны в точках B и C . Докажите, что ∆ ABC — равнобедренный.

237. Биссектрисы AM и CK углов при основании AC равнобедренного треугольника ABC пересекаются в точке O . Докажите, что ∆ AOC — равнобедренный.

238. В треугольнике ABC биссектриса BK является его высотой. Найдите периметр треугольника ABC , если периметр треугольника ABK равен 16 см и BK = 5 см.

239. Верно ли утверждение:

1) если медиана и высота треугольника, проведённые из одной вершины, не совпадают, то этот треугольник не является равнобедренным;

2) если биссектриса треугольника делит противолежащую сторону пополам, то этот треугольник равнобедренный?

240. Медианы AE и CF , проведённые к боковым сторонам BC и AB равнобедренного треугольника ABC , пересекаются в точке M . Докажите, что треугольник AMC — равнобедренный.

241. Точки M и K принадлежат соответственно боковым сторонам AB и BC равнобедренного треугольника ABC , AM = CK . Отрезки AK и CM пересекаются в точке O . Докажите, что ∆ AOC — равнобедренный.

242. На сторонах AB и BC треугольника ABC отметили соответственно точки D и E так, что ∠ EAC = ∠ DCA . Отрезки AE и CD пересекаются в точке F , DF = EF . Докажите, что ∆ ABC — равнобедренный.

243. Через середину D стороны AB треугольника ABC проведены прямые, перпендикулярные биссектрисам углов ABC и BAC . Эти прямые пересекают стороны AC и BC в точках M и K соответственно. Докажите, что AM = BK .

244. Медиана AM треугольника ABC перпендикулярна его биссектрисе BK . Найдите сторону AB , если BC = 16 см.

245. Прямая, проходящая через вершину A треугольника ABC перпендикулярно его медиане BD , делит эту медиану пополам. Найдите отношение длин сторон AB и AC треугольника ABC .

246. В треугольнике ABC известно, что ∠ C = 90°, ∠ A = 67,5°, ∠ B = 22,5°, CK — биссектриса треугольника ABC , CM — биссектриса треугольника BCK (рис. 174). Докажите, что точка M — середина отрезка AB .

247. Длины сторон треугольника, выраженные в сантиметрах, равны трём идущим подряд натуральным числам. Найдите стороны этого треугольника, если одна из его медиан перпендикулярна одной из его биссектрис.

248. В треугольнике ABC известно, что AB = 3 см, BC = 4 см, AC = 6 см. На стороне BC отметили точку M такую, что CM = 1 см. Прямая, проходящая через точку M перпендикулярно биссектрисе угла ACB , пересекает отрезок AC в точке K , а прямая, проходящая через точку K перпендикулярно биссектрисе угла BAC , пересекает прямую AB в точке D . Найдите длину отрезка BD .

Упражнения для повторения

249. На прямой последовательно отметили точки A , B , C , D , E и F так, что AB = BC = CD = DE = EF . Найдите отношения AB : CF , AB : BF , BD : AE .

250. Найдите углы, образованные при пересечении двух прямых, если один из них на 42° больше половины второго угла.

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

251. Разрежьте прямоугольник размером 4 × 9 на две равные части, из которых можно сложить квадрат.

🎥 Видео

🔴 В треугольнике ABC проведена биссектриса ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Геометрия В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношенииСкачать

Построение биссектрисы в треугольникеСкачать

Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать

Геометрия В треугольнике ABC известно, что угол A = 44, угол B = 56. Биссектрисы AK и BMСкачать

3 свойства биссектрисы #shortsСкачать

В треугольнике ABC BM – медиана и BH – высота ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 9 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Геометрия В треугольнике ABC известно, что AC = a, AB = BC = b, AM и CK – биссектрисы треугольникаСкачать

В треугольнике ABC известно, что угол BAC = 42 градуса, AD - биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ даСкачать

1704 В треугольнике ABC известно что AC равно 58 BM медиана BM равно 37 Найдите амСкачать

Формула для биссектрисы треугольникаСкачать

Построение биссектрисы угла. 7 класс.Скачать

Построение медианы в треугольникеСкачать

№235. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса AD. Найдите углыСкачать

ПОСТРОЕНИЕ БИССЕКТРИСЫ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

В треугольнике abc bm биссектриса

Ваш ответ

решение вопроса

Похожие вопросы

В треугольнике abc bm биссектриса

В треугольнике abc bm биссектриса

🎥 Видео