Что такое произвольный треугольник

Треугольник. Формулы определения и свойства треугольников.

В данной статье мы расскажем о классификаци и свойствах основной геометрической фигуры — треугольника. А также разберем некоторе примеры решения задач на треугольники.

Содержание:

Содержание
  1. Определение треугольника
  2. Классификация треугольников
  3. 1.Разносторонний – треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.
  4. 2. Равнобедренный – треугольник, у которого длины двух сторон равны. Они называются боковыми сторонами AB и BC. Третья сторона называется основание СА. В данном треугольнике углы при основании равны ∠ α = ∠ β
  5. 3.Равносторонний (или правильный) – треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. Также все его углы равны 60°.
  6. 4.Остроугольный – треугольник, у которого все три угла острые, т.е. меньше 90°
  7. 5.Тупоугольный – треугольник, в котором один из углов больше 90°. Два остальных угла – острые.
  8. 6. Прямоугольный – треугольник, в котором один из углов является прямым, т.е. равен 90°. В такой фигуре две стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами (AB и BC). Третья сторона, расположенная напротив прямого угла – это гипотенуза (CА).
  9. Свойства треугольника
  10. 1.Свойства углов и сторон треугольника.
  11. 2.Теорема синусов.
  12. 3. Теорема косинусов.
  13. 4. Теорема о проекциях
  14. Медианы треугольника
  15. Свойства медиан треугольника:
  16. Формулы медиан треугольника
  17. Треугольник
  18. Треугольник
  19. Треугольник произвольный
  20. Свойства
  21. Признаки равенства треугольников
  22. Биссектриса, высота, медиана
  23. Средняя линия треугольника
  24. Вписанная окружность
  25. Описанная окружность
  26. Соотношение сторон в произвольном треугольнике
  27. Площадь треугольника
  28. 🎦 Видео

Видео:ГЕОМЕТРИЯ С НУЛЯ. УРОК-5. ПРОИЗВОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИКСкачать

ГЕОМЕТРИЯ С НУЛЯ. УРОК-5. ПРОИЗВОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Определение треугольника

Треугольник — это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами. В геометрических задачах треугольник обычно изображают специальным симовлом — △, после которго пишут названия вершин треугольника напр. △ABC.

Что такое произвольный треугольник

Треугольник ABC (△ABC)

  • Точки A, B и C — вершины треугольника. Принято писать их большими буквами.
  • Отрезки AB, BC и СА — стороны треугольника. Обычно сторонам присваивают свои названия маленькими буквами. Имя выбирают по первой вершине каждой стороны. Напр. у стороны AB первая вершина А поэтому эта сторона называется а. Тоесть AB = a, BC = b, CА = c.
  • Стороны треугольника в местах соединения образуют три угла, которым обычно дают названия буквами греческого алфавита α, β, γ. Причем напротив стороны a лежит угол α, b — β, с — γ.

Углы треугольника, также, можно обозначать специальным символом — . После которого пишут вершины треугольника в таком порядке чтобы вершина обозначающегося угла была в серединке. Например:

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

Классификация треугольников

Все треугольники можно разделить на несколько видов, различающихся между собой величиной углов или длинами сторон. Такая классификация позволяет выделить особенности каждого из них.

1.Разносторонний – треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.

Что такое произвольный треугольник

2. Равнобедренный – треугольник, у которого длины двух сторон равны. Они называются боковыми сторонами AB и BC. Третья сторона называется основание СА. В данном треугольнике углы при основании равны ∠ α = ∠ β

Что такое произвольный треугольник

3.Равносторонний (или правильный) – треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. Также все его углы равны 60°.

Что такое произвольный треугольник

4.Остроугольный – треугольник, у которого все три угла острые, т.е. меньше 90°

Что такое произвольный треугольник

5.Тупоугольный – треугольник, в котором один из углов больше 90°. Два остальных угла – острые.

Что такое произвольный треугольник

6. Прямоугольный – треугольник, в котором один из углов является прямым, т.е. равен 90°. В такой фигуре две стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами (AB и BC). Третья сторона, расположенная напротив прямого угла – это гипотенуза (CА).

Что такое произвольный треугольник

Видео:Произвольный треугольникСкачать

Произвольный треугольник

Свойства треугольника

1.Свойства углов и сторон треугольника.

Что такое произвольный треугольник

  • Сумма всех углов треугольника равна 180°:
  • Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:
  • В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

2.Теорема синусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c
sin αsin βsin γ

3. Теорема косинусов.

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

4. Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)

Медианы треугольника

Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Что такое произвольный треугольник

Свойства медиан треугольника:

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке O. (Точка пересечения медиан называется центроидом)

2. В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

AO=BO=CO=2
ODOEOF1

3. Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие по площади части

4. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

5. Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.

Что такое произвольный треугольник

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны:

Видео:Всё про прямоугольный треугольник за 15 минут | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !Скачать

Всё про прямоугольный треугольник за 15 минут | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !

Треугольник

Что такое произвольный треугольник

Рис. 1. Треугольник (общий случай)

Треугольник — замкнутая геометрическая фигура, состоящая из трёх отрезков (в общем случае, разных). В физике эти отрезки классически называются буквами латинского алфавита ( и т.д.), в отличие от обозначений в геометрии.

Итак, треугольник, у которого все стороны имеют разную длину и ни один из углов не равен , называется произвольным (рис. 1).

В случае, если у треугольника равны две стороны, данный треугольник называется равнобедренным.

В случае, если у треугольника все стороны одинаковы, он называется равносторонним.

В случае, если у треугольника один и углов прямой ( ), он называется прямоугольным.

Для произвольного треугольника вводят ряд отрезков, характеризующих треугольник и обладающих собственными свойствами:

Для разных типов треугольников поиск длин параметров треугольника может происходить по-разному. Для физических задач использование конкретной формулы диктуется конкретными данными задачи.

Что такое произвольный треугольник

Рис. 2. Треугольник (биссектриса)

Биссектриса угла — геометрическое место точек, равноудалённых от сторон этого угла. Т.е. биссектриса — это линия, которая делит угол треугольника пополам (рис. 2). Известно, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Для нахождения биссектрисы угла через различные данные можно пользоваться следующими соотношениями:

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке: данная точка делит медианы в соотношении 2 к 1, считая от вершины (рис. 3).

Что такое произвольный треугольник

Рис. 3. Треугольник (медиана)

Для нахождения медианы треугольника через различные данные можно пользоваться следующими соотношениями:

  • через две стороны и угол между ними:

Что такое произвольный треугольник

Рис. 4. Треугольник (высота)

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противоположную сторону или на её продолжение (рис. 4).

Для нахождения высоты треугольника через различные данные можно пользоваться следующими соотношениями:

  • через сторону и площадь треугольника ( )

Важно: то, какую формулу выбрать для решения конкретной задачи, зависит от того, что легче найти, исходя из дано.

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Треугольник

Треугольник произвольный

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (тремя углами).

Виды треугольников :+ показать

Остроугольный треугольник – треугольник, у которого все углы острые (то есть меньше 90˚).

Тупоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов тупой (больше 90˚).

Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов прямой (равен 90˚).

Что такое произвольный треугольник

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми , третья сторона называется основанием .

Равносторонний (правильный) треугольник – треугольник, у которого все три стороны равны.

Что такое произвольный треугольник

Свойства

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

3. Сумма углов треугольника равна 180 º .

4. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,
не смежных с ним: Что такое произвольный треугольник

(Внешний угол образуется в результате продолжения одной из сторон треугольника).

Что такое произвольный треугольник

5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Признаки равенства треугольников

1. Треугольники равны, если у них соответственно равны две стороны и угол между ними.

Что такое произвольный треугольник

2 . Треугольники равны, если у них соответственно равны два угла и прилегающая к ним сторона.

Что такое произвольный треугольник

3. Треугольники равны, если у них соответственно равны три стороны.

Что такое произвольный треугольник

Биссектриса, высота, медиана

Здесь подробно о биссектрисе, высоте, медиане треугольника.

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Что такое произвольный треугольник

Вписанная окружность

Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис треугольника.

Что такое произвольный треугольник

Что такое произвольный треугольник

Описанная окружность

Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров.

Что такое произвольный треугольник

Что такое произвольный треугольник

Соотношение сторон в произвольном треугольнике

Теорема косинусов: Что такое произвольный треугольник

Что такое произвольный треугольник

Теорема синусов: Что такое произвольный треугольник

Что такое произвольный треугольник

Площадь треугольника

Что такое произвольный треугольникЧерез сторону и высоту

Что такое произвольный треугольник

Через две стороны и угол между ними

Что такое произвольный треугольник

Через радиус описанной окружности

Что такое произвольный треугольник

Через радиус вписанной окружности

Что такое произвольный треугольник, где Что такое произвольный треугольник– полупериметр

Что такое произвольный треугольник, где Что такое произвольный треугольник– полупериметр

Что такое произвольный треугольник

Смотрите также площадь треугольника здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Есть пара ошибок в формулах. В частности в формуле вычисления площади через 2 стороны и угол между ними, в теореме Синусов, в разделе “свойства”.
А вообще отличные статьи, очень выручают, всё понятно и доступно, премного благодарен 😉

Анатолий, спасибо!
В разделе “свойства” ошибок не нашла…
В теореме синусов, – да… не пропечаталась буква гамма. Подправила.
В формуле площади треугольника, вы правы – картинка не соответствовала формуле. Исправила.
К сожалению, ошибки сразу не всегда замечаются.
Благодарю еще раз!

В разделе свойства: Что такое произвольный треугольник

Да, не хватало значка «Что такое произвольный треугольник» у А. Спасибо! 😉

Здраствуйте! Мне нужна ваша помощь!
Задача: ВЕРШИНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ДЕЛЯТ ОПИСАННУЮ ОКОЛО НЕГО ОКРУЖНОСТЬ НА ТРИ ДУГИ, ДЛИНЫ КОТОРЫХ ОТНОСЯТСЯ КАК 6:7:33. НАЙДИТЕ РАДИУС ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ МЕНЬШАЯ ИЗ СТОРОН РАВНА 11.

Подозреваю, у вас опечатка в условии…
Если длины дуг (а значит и их градусные меры) находятся в отношении Что такое произвольный треугольник, то выходим на уравнение Что такое произвольный треугольникОткуда Что такое произвольный треугольникЗначит угол треугольника, что напротив меньшей стороны, есть Что такое произвольный треугольник
Применяем теорему синусов: Что такое произвольный треугольник, откуда Что такое произвольный треугольник

спасибо я так и думал а то не могу решить и всё
СПАСИБО!

Здравствуйте. Пожалуйста, объясните, как решить задачу:
Вписанная в теругольник ABC окружность касается сторон AB, BC и AC в точках K,L и М соответственно.Найдите KL, если AM=2, МС=3 и угол С=π/3

Очевидно, Что такое произвольный треугольник
Примите Что такое произвольный треугольникза Что такое произвольный треугольник.
Примените к треугольнику Что такое произвольный треугольниктеорему косинусов:
Что такое произвольный треугольник
Найдете Что такое произвольный треугольник, далее можно найти угол Что такое произвольный треугольники из треугольника Что такое произвольный треугольникнайти Что такое произвольный треугольник

Спасибо большое за ваш сайт. Очень радует, тот факт, что когда люди не понимают какую-нибудь задачу, вы помогаете решить. Спасибо. Побольше бы таких сайтов, всё понятно и доступно

🎦 Видео

Произвольный треугольникСкачать

Произвольный треугольник

Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 классСкачать

Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 класс

6 задания ЕГЭ по математике. Произвольный треугольник. Пример 1Скачать

6 задания ЕГЭ по математике. Произвольный треугольник. Пример 1

Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?Скачать

Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?

Виды треугольниковСкачать

Виды треугольников

7 класс, 35 урок, Некоторые свойства прямоугольных треугольниковСкачать

7 класс, 35 урок, Некоторые свойства прямоугольных треугольников

7 класс, 32 урок, Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольникиСкачать

7 класс, 32 урок, Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

Математика 3 класс. Виды треугольниковСкачать

Математика 3 класс. Виды треугольников

49 Приближаем произвольный треугольник равностороннимСкачать

49 Приближаем произвольный треугольник равносторонним

#ПРОИЗВОЛЬНЫЙ #ТРЕУГОЛЬНИКСкачать

#ПРОИЗВОЛЬНЫЙ #ТРЕУГОЛЬНИК

Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

Формулы равностороннего треугольника #shorts

Произвольный треугольник - Рустюмова разбор | ЕНТСкачать

Произвольный треугольник - Рустюмова разбор | ЕНТ

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Задачи на произвольные треугольникиСкачать

ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Задачи на произвольные треугольники
Поделиться или сохранить к себе: