В прямоугольный треугольник вписана окружность угол b прямой

Геометрия | 5 — 9 классы

В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность, угол B — прямой.

Вычисли углы треугольника A и C, а также центральные углы, если ∢EOF = 102°.

Ребята очень прошу помогите.

Радиус проведённый в точку касания перпендикулярен касательной.

В четырёхугольнике сумма углов равна 360°.

В четырёхугольнике EOFC :

∠ECF = 360° — ∠EOF — ∠CEO — ∠CFO = 360° — 102° — 90° — 90° = 78°.

В треугольнике сумма углов равна 180°.

∠BAC = 180° — ∠ABC — ∠BCA = 180° — 90° — 78° = 12°

В четырёхугольнике BEOD :

∠EOD = 360° — ∠ODB — ∠DBE — ∠BEO = 360° — 90° — 90° — 90° = 90°

В четырёхугольнике DOFA :

∠DOF = 360° — ∠OFA — ∠FAD — ∠ADO = 360° — 90° — 12° — 90° = 168°Ответ : ∠A = 12°, ∠C = 78°, ∠EOD = 90° и ∠FOD = 168°.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Равнобедренный треугольник ABC с основанием АС вписан в окружность с ценьром О найти углы треугольника АВС если угол АОС = 118?

Равнобедренный треугольник ABC с основанием АС вписан в окружность с ценьром О найти углы треугольника АВС если угол АОС = 118.

Видео:№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

Задан угол EOF?

Луч OD делит его на два угла.

Найдите углы EOD и DOF, если угол EOF 160°, а угол ЕОD больше угла DOF в 3 раза.

Видео:№705. Около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С описана окружность. Найдите радиусСкачать

Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O?

Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O.

Найдите градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 167.

Видео:Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 классСкачать

Задан угол EOF?

Луч OD делит его на два угла.

Найдите углы EOD и DOF , если известно, что угол EOF равен 150 градусов , а угол EOD больше угла DOF в 4 раза.

Луч OG биссектриса угла EOF.

Найдите угол EOG.

Видео:В угол C величиной 83° вписана окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

ПОМОГИТЕ (В равностороннем треугольнике ABC высоты AD и CE пересекаются в точке К?

В равностороннем треугольнике ABC высоты AD и CE пересекаются в точке К.

Найдите углы треугольника AKC.

Найдите углы треугольника АКЕ

В прямоугольном треугольнике ABC угол С = 90, угол а в 2 раза больше чем угол В.

Определите углы треугольника.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O?

Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O.

Найдите градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 153.

Видео:№693. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r. Найдите периметр треугольника,Скачать

Помогите пожалуйста ?

В прямоугольном треугольнике ABC провели из прямого угла высоту CD.

Радиус окружности , вписанной в треугольник ADC, равен√13, радиус окружности, ВПИСАННОЙ В ТРЕУГОЛЬНИК BDC, равен √3.

Чему равен радиус окружности, вписанной в треугольник ACB.

Видео:ОГЭ Задание 25 Окружность вписанная в прямоугольный треугольникСкачать

Треугольник ABC прямоугольный с прямым углом C, отрезок CD является его высотой?

Треугольник ABC прямоугольный с прямым углом C, отрезок CD является его высотой.

Найдите острые углы треугольника ABC, если угол ACD равен 42 градуса.

Видео:Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.Скачать

Треугольник LMN, вписанный в окружность, делит её на три дуги?

Треугольник LMN, вписанный в окружность, делит её на три дуги.

Вычисли угол LON и углы треугольникаLMN, если даны два центральных угла : ∢MOL = 140° и ∢NOM = 120°.

Видео:Задачи по теме «Прямоугольный треугольник»Скачать

Треугольник LMN, вписанный в окружность, делит ее на три дуги?

Треугольник LMN, вписанный в окружность, делит ее на три дуги.

Вычисли угол LON и углы треугольника LMN, если даны два центральных угла : ∢LOM = 140° и ∢MON = 170°.

Ребята очень прошу помогите.

Только на рисунке обозначение не АВС , а MNL.

На этой странице находится вопрос В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность, угол B — прямой?, относящийся к категории Геометрия. По уровню сложности данный вопрос соответствует знаниям учащихся 5 — 9 классов. Здесь вы найдете правильный ответ, сможете обсудить и сверить свой вариант ответа с мнениями пользователями сайта. С помощью автоматического поиска на этой же странице можно найти похожие вопросы и ответы на них в категории Геометрия. Если ответы вызывают сомнение, сформулируйте вопрос иначе. Для этого нажмите кнопку вверху.

Видео:✓ Как вневписанная окружность Герону помогла | Ботай со мной #083 | Борис ТрушинСкачать

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Видео:Окружность вписана в треугольник, найти углы треугольникаСкачать

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Если в задаче дана окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, то ее решение может быть связано со свойством отрезков касательных, проведенных из одной точки, и теоремой Пифагора.

Кроме того, следует учесть, что радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле

где a и b — длины катетов, c — гипотенузы.

Рассмотрим две задачи на вписанную в прямоугольный треугольник окружность.

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки 4 см и 6 см. Найти периметр и площадь треугольника и радиус окружности.

Дано: ∆ ABC, ∠C=90º,

окружность (O, r) — вписанная,

K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,

1) По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки,

AK=AM=6 см,

2) AB=AM+BM=6+4=10 см,

3) По теореме Пифагора:

Второй корень не подходит по смыслу задачи. Значит, CK+CF=2 см, AC=8 см, BC=6 см.

Ответ: 24 см, 24 см², 2 см.

Найти площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 26 см, а радиус вписанной окружности — 4 см.

Дано:∆ ABC, ∠C=90º,

окружность (O, r) — вписанная,

K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,

1) Проведем отрезки OK и OF.

(как радиусы, проведенные в точки касания).

Четырехугольник OKCF — прямоугольник (так как у него все углы — прямые).

А так как OK=OF (как радиусы), то OKCF — квадрат.

2) По свойству касательных, проведенных из одной точки,

3) AC=AK+KC=(x+4) см, BC=BF+CF=26-x+4=(30-x) см.

Видео:В прямоугольный треугольник вписана окружность. Этап 2Скачать

Теорема синусов

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:15 задание треугольники огэ по математике / маттаймСкачать

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

Формула теоремы синусов:

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Из этой формулы мы получаем два соотношения:

На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:

bc sinα = ca sinβ

Из этих двух соотношений получаем:

Теорема синусов для треугольника доказана.

Эта теорема пригодится, чтобы найти:

• Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
• Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

Видео:Острый угол B прямоугольного треугольника равен 50. Найти угол между медианой и высотойСкачать

Доказательство следствия из теоремы синусов

У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

где R — радиус описанной около треугольника окружности.

Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

BA1 = 2R, где R — радиус окружности

Следовательно: R = α/2 sinα

Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

Следовательно: R = α/2 sinα

Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

Часто используемые тупые углы:

• sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
• sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
• sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.

3. Угол ∠А = 90°.

В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

Видео:Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

Теорема о вписанном в окружность угле

Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

Формула теоремы о вписанном угле:

Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

Следовательно: α + γ = 180°.

Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

sinγ = sin(180° — α)

Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα

Видео:Задание 24 Радиус окружности вписанной в прямоугольный треугольникСкачать

Примеры решения задач

Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

Согласно теореме о сумме углов треугольника:

∠B = 180° — 45° — 15° = 120°

Сторону AC найдем по теореме синусов:

Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

Видео:КАТЕТЫ И ВЫСОТА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #геометрияСкачать

Запоминаем

Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

>

Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

📽️ Видео

Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать

Найти угол треугольника, вписанного во вписанную окружностьСкачать