В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

В прямоугольный треугольник с углом 60˚ вписана окружность, радиус равен 2√3см. Найдите площадь этого треугольника
Содержание
  1. Ваш ответ
  2. решение вопроса
  3. Похожие вопросы
  4. В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность, радиус которой равен 2корень3 см?
  5. Прямоугольные треугольник вписан в окружность радиуса 5см?
  6. Прямоугольный треугольник вписан в окружность радиуса 5см в треугольник вписана окружность радиуса 1см найдите площадь треугольника?
  7. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, радиус вписанной в него окружности равен 2, найдите площадь треугольника?
  8. В прямоугольный треугольник с углом 60(град) вписана окружность с радиусом 5 см ?
  9. Найдите площадь прямоугольного треугольника если радиус описанной около него окружности равен 5 а радиус вписанной в него окружности равен 2?
  10. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если известны радиусы и окружностей, вписанных в два треугольника, на которые высота, проведенная из вершины прямого угла, делит этот ?
  11. . 2) В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен 5 см, а радиус вписанной окружности равен 2 см?
  12. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30 градусов?
  13. Найдите площадь прямоугольного треугольника если радиус описанной около него окружности равен 5, а радиус вписанной в него окружности равен 2?
  14. Прямоугольный треугольник вписан в окружность катет треугольника равен 8 а прилежащий угол равен 60 градусов Найдите радиус окружности?
  15. В прямоугольном треугольнике с углом 60 вписана окружность
  16. В прямоугольный треугольник с углом 60˚ вписана окружность, радиус равен 2√3см. Найдите площадь этого треугольника
  17. Ваш ответ
  18. решение вопроса
  19. Похожие вопросы
  20. В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность, радиус которой равен 2корень3 см?
  21. Прямоугольные треугольник вписан в окружность радиуса 5см?
  22. Прямоугольный треугольник вписан в окружность радиуса 5см в треугольник вписана окружность радиуса 1см найдите площадь треугольника?
  23. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, радиус вписанной в него окружности равен 2, найдите площадь треугольника?
  24. В прямоугольный треугольник с углом 60(град) вписана окружность с радиусом 5 см ?
  25. Найдите площадь прямоугольного треугольника если радиус описанной около него окружности равен 5 а радиус вписанной в него окружности равен 2?
  26. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если известны радиусы и окружностей, вписанных в два треугольника, на которые высота, проведенная из вершины прямого угла, делит этот ?
  27. . 2) В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен 5 см, а радиус вписанной окружности равен 2 см?
  28. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30 градусов?
  29. Найдите площадь прямоугольного треугольника если радиус описанной около него окружности равен 5, а радиус вписанной в него окружности равен 2?
  30. Прямоугольный треугольник вписан в окружность катет треугольника равен 8 а прилежащий угол равен 60 градусов Найдите радиус окружности?
  31. Теорема синусов
  32. Доказательство теоремы синусов
  33. Доказательство следствия из теоремы синусов
  34. Теорема о вписанном в окружность угле
  35. Примеры решения задач
  36. Запоминаем

Видео:№693. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r. Найдите периметр треугольника,Скачать

№693. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r. Найдите периметр треугольника,

Ваш ответ

Видео:№485. Найдите катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 60°, если гипотенуза равна с.Скачать

№485. Найдите катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 60°, если гипотенуза равна с.

решение вопроса

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,282
  • гуманитарные 33,619
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 607,049
  • разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:Построить угол 60°Скачать

Построить угол 60°

В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность, радиус которой равен 2корень3 см?

Геометрия | 10 — 11 классы

В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность, радиус которой равен 2корень3 см.

Найдите площадь этого треугольника.

В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

О — пересечение биссектрис углов А и С — центр вписанной окр — ти.

Проведем ОК перпенд.

ОК = r = 2кор3 радиус вписанной окружности.

Угол ОАС = 30 гр, угол ОСА = 45 гр.

Тр — ов СОК и АОК можно выразить катет АС :

АС = r + (r / tg30) = 2кор3 + 6

Находим другой катет :

ВС = AC * tg60 = 6 + (6кор3)

S = (1 / 2)AC * BC = 6(3 + кор3)(1 + кор3) = 6(6 + 4кор3) = 12(3 + 2кор3).

В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

Видео:Геометрия, 10 класс | Треугольники с углами 60 и 120 градусов. Часть 1Скачать

Геометрия, 10 класс | Треугольники с углами 60 и 120 градусов. Часть 1

Прямоугольные треугольник вписан в окружность радиуса 5см?

Прямоугольные треугольник вписан в окружность радиуса 5см.

В треугольник вписана окружность радиуса 1 см.

Найдите площадь треугольника.

В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

Видео:Геометрия В прямоугольный треугольник с углом 60 вписан ромб со стороной, равной 6 см, так, что уголСкачать

Геометрия В прямоугольный треугольник с углом 60 вписан ромб со стороной, равной 6 см, так, что угол

Прямоугольный треугольник вписан в окружность радиуса 5см в треугольник вписана окружность радиуса 1см найдите площадь треугольника?

Прямоугольный треугольник вписан в окружность радиуса 5см в треугольник вписана окружность радиуса 1см найдите площадь треугольника.

В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, радиус вписанной в него окружности равен 2, найдите площадь треугольника?

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, радиус вписанной в него окружности равен 2, найдите площадь треугольника.

В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

В прямоугольный треугольник с углом 60(град) вписана окружность с радиусом 5 см ?

В прямоугольный треугольник с углом 60(град) вписана окружность с радиусом 5 см .

Найдите Площадь этого треугольника.

В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

Видео:Формулы для радиуса окружности #shortsСкачать

Формулы для радиуса окружности #shorts

Найдите площадь прямоугольного треугольника если радиус описанной около него окружности равен 5 а радиус вписанной в него окружности равен 2?

Найдите площадь прямоугольного треугольника если радиус описанной около него окружности равен 5 а радиус вписанной в него окружности равен 2.

В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

Видео:Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать

Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если известны радиусы и окружностей, вписанных в два треугольника, на которые высота, проведенная из вершины прямого угла, делит этот ?

Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если известны радиусы и окружностей, вписанных в два треугольника, на которые высота, проведенная из вершины прямого угла, делит этот треугольник.

В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

Видео:Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.Скачать

Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.

. 2) В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен 5 см, а радиус вписанной окружности равен 2 см?

. 2) В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен 5 см, а радиус вписанной окружности равен 2 см.

Найдите площадь треугольника.

В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30 градусов?

В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30 градусов.

Найдите площадь треугольника, если радиус вписанной в него окружности равен 5 см.

В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

Видео:Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольникСкачать

Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Найдите площадь прямоугольного треугольника если радиус описанной около него окружности равен 5, а радиус вписанной в него окружности равен 2?

Найдите площадь прямоугольного треугольника если радиус описанной около него окружности равен 5, а радиус вписанной в него окружности равен 2.

В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

Видео:Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник | Геометрия 8-9 классыСкачать

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник | Геометрия 8-9 классы

Прямоугольный треугольник вписан в окружность катет треугольника равен 8 а прилежащий угол равен 60 градусов Найдите радиус окружности?

Прямоугольный треугольник вписан в окружность катет треугольника равен 8 а прилежащий угол равен 60 градусов Найдите радиус окружности.

Вы открыли страницу вопроса В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность, радиус которой равен 2корень3 см?. Он относится к категории Геометрия. Уровень сложности вопроса – для учащихся 10 — 11 классов. Удобный и простой интерфейс сайта поможет найти максимально исчерпывающие ответы по интересующей теме. Чтобы получить наиболее развернутый ответ, можно просмотреть другие, похожие вопросы в категории Геометрия, воспользовавшись поисковой системой, или ознакомиться с ответами других пользователей. Для расширения границ поиска создайте новый вопрос, используя ключевые слова. Введите его в строку, нажав кнопку вверху.

Видео:В прямоугольный треугольник вписана окружность. Этап 7Скачать

В прямоугольный треугольник вписана окружность. Этап 7

В прямоугольном треугольнике с углом 60 вписана окружность

Видео:Что с углами. Прямоугольный треугольник #shortsСкачать

Что с углами. Прямоугольный треугольник #shorts

В прямоугольный треугольник с углом 60˚ вписана окружность, радиус равен 2√3см. Найдите площадь этого треугольника

Видео:Задание 25 Прямоугольный треугольник Вписанная окружностьСкачать

Задание 25 Прямоугольный треугольник Вписанная окружность

Ваш ответ

Видео:ОГЭ Задание 25 Окружность вписанная в прямоугольный треугольникСкачать

ОГЭ Задание 25 Окружность вписанная в прямоугольный треугольник

решение вопроса

Видео:ТОП-5 свойств || Прямоугольный треугольник для решения задачСкачать

ТОП-5 свойств || Прямоугольный треугольник для решения задач

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,282
  • гуманитарные 33,619
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 607,013
  • разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:Геометрия Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник удален от концов гипотенузы на aСкачать

Геометрия Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник удален от концов гипотенузы на a

В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность, радиус которой равен 2корень3 см?

Геометрия | 10 — 11 классы

В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность, радиус которой равен 2корень3 см.

Найдите площадь этого треугольника.

В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

О — пересечение биссектрис углов А и С — центр вписанной окр — ти.

Проведем ОК перпенд.

ОК = r = 2кор3 радиус вписанной окружности.

Угол ОАС = 30 гр, угол ОСА = 45 гр.

Тр — ов СОК и АОК можно выразить катет АС :

АС = r + (r / tg30) = 2кор3 + 6

Находим другой катет :

ВС = AC * tg60 = 6 + (6кор3)

S = (1 / 2)AC * BC = 6(3 + кор3)(1 + кор3) = 6(6 + 4кор3) = 12(3 + 2кор3).

В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

Прямоугольные треугольник вписан в окружность радиуса 5см?

Прямоугольные треугольник вписан в окружность радиуса 5см.

В треугольник вписана окружность радиуса 1 см.

Найдите площадь треугольника.

В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

Прямоугольный треугольник вписан в окружность радиуса 5см в треугольник вписана окружность радиуса 1см найдите площадь треугольника?

Прямоугольный треугольник вписан в окружность радиуса 5см в треугольник вписана окружность радиуса 1см найдите площадь треугольника.

В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, радиус вписанной в него окружности равен 2, найдите площадь треугольника?

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, радиус вписанной в него окружности равен 2, найдите площадь треугольника.

В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

В прямоугольный треугольник с углом 60(град) вписана окружность с радиусом 5 см ?

В прямоугольный треугольник с углом 60(град) вписана окружность с радиусом 5 см .

Найдите Площадь этого треугольника.

В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

Найдите площадь прямоугольного треугольника если радиус описанной около него окружности равен 5 а радиус вписанной в него окружности равен 2?

Найдите площадь прямоугольного треугольника если радиус описанной около него окружности равен 5 а радиус вписанной в него окружности равен 2.

В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если известны радиусы и окружностей, вписанных в два треугольника, на которые высота, проведенная из вершины прямого угла, делит этот ?

Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если известны радиусы и окружностей, вписанных в два треугольника, на которые высота, проведенная из вершины прямого угла, делит этот треугольник.

В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

. 2) В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен 5 см, а радиус вписанной окружности равен 2 см?

. 2) В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен 5 см, а радиус вписанной окружности равен 2 см.

Найдите площадь треугольника.

В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30 градусов?

В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30 градусов.

Найдите площадь треугольника, если радиус вписанной в него окружности равен 5 см.

В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

Найдите площадь прямоугольного треугольника если радиус описанной около него окружности равен 5, а радиус вписанной в него окружности равен 2?

Найдите площадь прямоугольного треугольника если радиус описанной около него окружности равен 5, а радиус вписанной в него окружности равен 2.

В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

Прямоугольный треугольник вписан в окружность катет треугольника равен 8 а прилежащий угол равен 60 градусов Найдите радиус окружности?

Прямоугольный треугольник вписан в окружность катет треугольника равен 8 а прилежащий угол равен 60 градусов Найдите радиус окружности.

Вы открыли страницу вопроса В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность, радиус которой равен 2корень3 см?. Он относится к категории Геометрия. Уровень сложности вопроса – для учащихся 10 — 11 классов. Удобный и простой интерфейс сайта поможет найти максимально исчерпывающие ответы по интересующей теме. Чтобы получить наиболее развернутый ответ, можно просмотреть другие, похожие вопросы в категории Геометрия, воспользовавшись поисковой системой, или ознакомиться с ответами других пользователей. Для расширения границ поиска создайте новый вопрос, используя ключевые слова. Введите его в строку, нажав кнопку вверху.

В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

МК||АС, АВ — секущая. По свойству углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей соответственные ∠ВМК = ∠ВАС = 80° MN — биссектриса, ∠ВМN = ∠KMN = 80° : 2 = 40° ВС — секущая при параллельных МК и АС. ⇒соответственные ∠ВКМ = ∠ВСА = ..

В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

Ты знаешь чему равна длина отрезка ВС , и знаешь длина АС, и тут ты можешь так. BC — AC = BA 8 — 3 = 5.

В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

З вeршини кута провeдeно промінь , пeрпeндикулярний до його бісeктриси , який утворює зі стороною даного кута гострий кут, градусна міра якого в 4 рази більша за даний кут . Знайдіть даний кут.

В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

Площадь треугольника S = (a²·sinα) / 2, где а — боковая сторона, α — угол при вершине. A² = 2S / sinα = 2·48 / 0. 5 = 192, a = 8√3 см — это ответ.

В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

Периметр прямоугольника рассчитывается по формуле : P = 2(a + b) Подставим значения a и b в формулу и получим : P = 2(10 + 8) = 36 см Ответ : 36 см.

В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

Три прямые пересекаются в одной точке и образуют шесть углов. Найдите сумму трёх из этих углов, которые попарно не имеют общих точек.

В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

Известно : биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам (в нашем случае — катетам), т. Е. дано отношение катетов 15 : 20 = 3 : 4 отношение катетов — — это тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике и..

Теорема синусов

В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

Формула теоремы синусов:

В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

Из этой формулы мы получаем два соотношения:


    В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность
На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:
В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

  • В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность
    bc sinα = ca sinβ
    В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность
  • Из этих двух соотношений получаем:

    В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

    Теорема синусов для треугольника доказана.

    Эта теорема пригодится, чтобы найти:

    • Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
    • Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

    Доказательство следствия из теоремы синусов

    У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

    В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

    В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

    где R — радиус описанной около треугольника окружности.

    Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

    В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

    Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

    В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

    Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

    Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

    1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

    В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

    Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

    Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

    Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

    BA1 = 2R, где R — радиус окружности

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

    Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

    Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

    В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

    Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

    В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

    Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

    В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

    α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Часто используемые тупые углы:

    • sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
    • sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
    • sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.

    3. Угол ∠А = 90°.

    В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

    В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

    В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

    Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

    Теорема о вписанном в окружность угле

    Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

    Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

    Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

    ∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

    Формула теоремы о вписанном угле:

    В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

    Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

    В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

    ∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

    Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

    В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

    На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

    Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

    В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

    ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

    В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

    Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

    В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

    Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

    Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

    Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

    Следовательно: α + γ = 180°.

    Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

    Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

    sinγ = sin(180° — α)

    Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα

    Примеры решения задач

    Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

    Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

      Согласно теореме о сумме углов треугольника:

    ∠B = 180° — 45° — 15° = 120°

  • Сторону AC найдем по теореме синусов:
    В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность
  • Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

    В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

    В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

    В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

    Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

    Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

    Запоминаем

    Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    >
    В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность

    Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

    Поделиться или сохранить к себе: