- Ваш ответ
- решение вопроса
- Похожие вопросы
- В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность, радиус которой равен 2корень3 см?
- Прямоугольные треугольник вписан в окружность радиуса 5см?
- Прямоугольный треугольник вписан в окружность радиуса 5см в треугольник вписана окружность радиуса 1см найдите площадь треугольника?
- В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, радиус вписанной в него окружности равен 2, найдите площадь треугольника?
- В прямоугольный треугольник с углом 60(град) вписана окружность с радиусом 5 см ?
- Найдите площадь прямоугольного треугольника если радиус описанной около него окружности равен 5 а радиус вписанной в него окружности равен 2?
- Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если известны радиусы и окружностей, вписанных в два треугольника, на которые высота, проведенная из вершины прямого угла, делит этот ?
- . 2) В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен 5 см, а радиус вписанной окружности равен 2 см?
- В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30 градусов?
- Найдите площадь прямоугольного треугольника если радиус описанной около него окружности равен 5, а радиус вписанной в него окружности равен 2?
- Прямоугольный треугольник вписан в окружность катет треугольника равен 8 а прилежащий угол равен 60 градусов Найдите радиус окружности?
- В прямоугольном треугольнике с углом 60 вписана окружность
- В прямоугольный треугольник с углом 60˚ вписана окружность, радиус равен 2√3см. Найдите площадь этого треугольника
- Ваш ответ
- решение вопроса
- Похожие вопросы
- В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность, радиус которой равен 2корень3 см?
- Прямоугольные треугольник вписан в окружность радиуса 5см?
- Прямоугольный треугольник вписан в окружность радиуса 5см в треугольник вписана окружность радиуса 1см найдите площадь треугольника?
- В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, радиус вписанной в него окружности равен 2, найдите площадь треугольника?
- В прямоугольный треугольник с углом 60(град) вписана окружность с радиусом 5 см ?
- Найдите площадь прямоугольного треугольника если радиус описанной около него окружности равен 5 а радиус вписанной в него окружности равен 2?
- Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если известны радиусы и окружностей, вписанных в два треугольника, на которые высота, проведенная из вершины прямого угла, делит этот ?
- . 2) В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен 5 см, а радиус вписанной окружности равен 2 см?
- В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30 градусов?
- Найдите площадь прямоугольного треугольника если радиус описанной около него окружности равен 5, а радиус вписанной в него окружности равен 2?
- Прямоугольный треугольник вписан в окружность катет треугольника равен 8 а прилежащий угол равен 60 градусов Найдите радиус окружности?
- Теорема синусов
- Доказательство теоремы синусов
- Доказательство следствия из теоремы синусов
- Теорема о вписанном в окружность угле
- Примеры решения задач
- Запоминаем
Видео:№693. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r. Найдите периметр треугольника,Скачать
Ваш ответ
Видео:№485. Найдите катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 60°, если гипотенуза равна с.Скачать
решение вопроса
Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Похожие вопросы
- Все категории
- экономические 43,282
- гуманитарные 33,619
- юридические 17,900
- школьный раздел 607,049
- разное 16,829
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Видео:Построить угол 60°Скачать
В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность, радиус которой равен 2корень3 см?
Геометрия | 10 — 11 классы
В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность, радиус которой равен 2корень3 см.
Найдите площадь этого треугольника.
О — пересечение биссектрис углов А и С — центр вписанной окр — ти.
Проведем ОК перпенд.
ОК = r = 2кор3 радиус вписанной окружности.
Угол ОАС = 30 гр, угол ОСА = 45 гр.
Тр — ов СОК и АОК можно выразить катет АС :
АС = r + (r / tg30) = 2кор3 + 6
Находим другой катет :
ВС = AC * tg60 = 6 + (6кор3)
S = (1 / 2)AC * BC = 6(3 + кор3)(1 + кор3) = 6(6 + 4кор3) = 12(3 + 2кор3).
Видео:Геометрия, 10 класс | Треугольники с углами 60 и 120 градусов. Часть 1Скачать
Прямоугольные треугольник вписан в окружность радиуса 5см?
Прямоугольные треугольник вписан в окружность радиуса 5см.
В треугольник вписана окружность радиуса 1 см.
Найдите площадь треугольника.
Видео:Геометрия В прямоугольный треугольник с углом 60 вписан ромб со стороной, равной 6 см, так, что уголСкачать
Прямоугольный треугольник вписан в окружность радиуса 5см в треугольник вписана окружность радиуса 1см найдите площадь треугольника?
Прямоугольный треугольник вписан в окружность радиуса 5см в треугольник вписана окружность радиуса 1см найдите площадь треугольника.
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, радиус вписанной в него окружности равен 2, найдите площадь треугольника?
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, радиус вписанной в него окружности равен 2, найдите площадь треугольника.
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
В прямоугольный треугольник с углом 60(град) вписана окружность с радиусом 5 см ?
В прямоугольный треугольник с углом 60(град) вписана окружность с радиусом 5 см .
Найдите Площадь этого треугольника.
Видео:Формулы для радиуса окружности #shortsСкачать
Найдите площадь прямоугольного треугольника если радиус описанной около него окружности равен 5 а радиус вписанной в него окружности равен 2?
Найдите площадь прямоугольного треугольника если радиус описанной около него окружности равен 5 а радиус вписанной в него окружности равен 2.
Видео:Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать
Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если известны радиусы и окружностей, вписанных в два треугольника, на которые высота, проведенная из вершины прямого угла, делит этот ?
Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если известны радиусы и окружностей, вписанных в два треугольника, на которые высота, проведенная из вершины прямого угла, делит этот треугольник.
Видео:Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.Скачать
. 2) В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен 5 см, а радиус вписанной окружности равен 2 см?
. 2) В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен 5 см, а радиус вписанной окружности равен 2 см.
Найдите площадь треугольника.
Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30 градусов?
В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30 градусов.
Найдите площадь треугольника, если радиус вписанной в него окружности равен 5 см.
Видео:Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольникСкачать
Найдите площадь прямоугольного треугольника если радиус описанной около него окружности равен 5, а радиус вписанной в него окружности равен 2?
Найдите площадь прямоугольного треугольника если радиус описанной около него окружности равен 5, а радиус вписанной в него окружности равен 2.
Видео:Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник | Геометрия 8-9 классыСкачать
Прямоугольный треугольник вписан в окружность катет треугольника равен 8 а прилежащий угол равен 60 градусов Найдите радиус окружности?
Прямоугольный треугольник вписан в окружность катет треугольника равен 8 а прилежащий угол равен 60 градусов Найдите радиус окружности.
Вы открыли страницу вопроса В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность, радиус которой равен 2корень3 см?. Он относится к категории Геометрия. Уровень сложности вопроса – для учащихся 10 — 11 классов. Удобный и простой интерфейс сайта поможет найти максимально исчерпывающие ответы по интересующей теме. Чтобы получить наиболее развернутый ответ, можно просмотреть другие, похожие вопросы в категории Геометрия, воспользовавшись поисковой системой, или ознакомиться с ответами других пользователей. Для расширения границ поиска создайте новый вопрос, используя ключевые слова. Введите его в строку, нажав кнопку вверху.
Видео:В прямоугольный треугольник вписана окружность. Этап 7Скачать
В прямоугольном треугольнике с углом 60 вписана окружность
Видео:Что с углами. Прямоугольный треугольник #shortsСкачать
В прямоугольный треугольник с углом 60˚ вписана окружность, радиус равен 2√3см. Найдите площадь этого треугольника
Видео:Задание 25 Прямоугольный треугольник Вписанная окружностьСкачать
Ваш ответ
Видео:ОГЭ Задание 25 Окружность вписанная в прямоугольный треугольникСкачать
решение вопроса
Видео:ТОП-5 свойств || Прямоугольный треугольник для решения задачСкачать
Похожие вопросы
- Все категории
- экономические 43,282
- гуманитарные 33,619
- юридические 17,900
- школьный раздел 607,013
- разное 16,829
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Видео:Геометрия Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник удален от концов гипотенузы на aСкачать
В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность, радиус которой равен 2корень3 см?
Геометрия | 10 — 11 классы
В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность, радиус которой равен 2корень3 см.
Найдите площадь этого треугольника.
О — пересечение биссектрис углов А и С — центр вписанной окр — ти.
Проведем ОК перпенд.
ОК = r = 2кор3 радиус вписанной окружности.
Угол ОАС = 30 гр, угол ОСА = 45 гр.
Тр — ов СОК и АОК можно выразить катет АС :
АС = r + (r / tg30) = 2кор3 + 6
Находим другой катет :
ВС = AC * tg60 = 6 + (6кор3)
S = (1 / 2)AC * BC = 6(3 + кор3)(1 + кор3) = 6(6 + 4кор3) = 12(3 + 2кор3).
Прямоугольные треугольник вписан в окружность радиуса 5см?
Прямоугольные треугольник вписан в окружность радиуса 5см.
В треугольник вписана окружность радиуса 1 см.
Найдите площадь треугольника.
Прямоугольный треугольник вписан в окружность радиуса 5см в треугольник вписана окружность радиуса 1см найдите площадь треугольника?
Прямоугольный треугольник вписан в окружность радиуса 5см в треугольник вписана окружность радиуса 1см найдите площадь треугольника.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, радиус вписанной в него окружности равен 2, найдите площадь треугольника?
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, радиус вписанной в него окружности равен 2, найдите площадь треугольника.
В прямоугольный треугольник с углом 60(град) вписана окружность с радиусом 5 см ?
В прямоугольный треугольник с углом 60(град) вписана окружность с радиусом 5 см .
Найдите Площадь этого треугольника.
Найдите площадь прямоугольного треугольника если радиус описанной около него окружности равен 5 а радиус вписанной в него окружности равен 2?
Найдите площадь прямоугольного треугольника если радиус описанной около него окружности равен 5 а радиус вписанной в него окружности равен 2.
Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если известны радиусы и окружностей, вписанных в два треугольника, на которые высота, проведенная из вершины прямого угла, делит этот ?
Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если известны радиусы и окружностей, вписанных в два треугольника, на которые высота, проведенная из вершины прямого угла, делит этот треугольник.
. 2) В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен 5 см, а радиус вписанной окружности равен 2 см?
. 2) В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен 5 см, а радиус вписанной окружности равен 2 см.
Найдите площадь треугольника.
В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30 градусов?
В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30 градусов.
Найдите площадь треугольника, если радиус вписанной в него окружности равен 5 см.
Найдите площадь прямоугольного треугольника если радиус описанной около него окружности равен 5, а радиус вписанной в него окружности равен 2?
Найдите площадь прямоугольного треугольника если радиус описанной около него окружности равен 5, а радиус вписанной в него окружности равен 2.
Прямоугольный треугольник вписан в окружность катет треугольника равен 8 а прилежащий угол равен 60 градусов Найдите радиус окружности?
Прямоугольный треугольник вписан в окружность катет треугольника равен 8 а прилежащий угол равен 60 градусов Найдите радиус окружности.
Вы открыли страницу вопроса В прямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность, радиус которой равен 2корень3 см?. Он относится к категории Геометрия. Уровень сложности вопроса – для учащихся 10 — 11 классов. Удобный и простой интерфейс сайта поможет найти максимально исчерпывающие ответы по интересующей теме. Чтобы получить наиболее развернутый ответ, можно просмотреть другие, похожие вопросы в категории Геометрия, воспользовавшись поисковой системой, или ознакомиться с ответами других пользователей. Для расширения границ поиска создайте новый вопрос, используя ключевые слова. Введите его в строку, нажав кнопку вверху.
МК||АС, АВ — секущая. По свойству углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей соответственные ∠ВМК = ∠ВАС = 80° MN — биссектриса, ∠ВМN = ∠KMN = 80° : 2 = 40° ВС — секущая при параллельных МК и АС. ⇒соответственные ∠ВКМ = ∠ВСА = ..
Ты знаешь чему равна длина отрезка ВС , и знаешь длина АС, и тут ты можешь так. BC — AC = BA 8 — 3 = 5.
З вeршини кута провeдeно промінь , пeрпeндикулярний до його бісeктриси , який утворює зі стороною даного кута гострий кут, градусна міра якого в 4 рази більша за даний кут . Знайдіть даний кут.
Площадь треугольника S = (a²·sinα) / 2, где а — боковая сторона, α — угол при вершине. A² = 2S / sinα = 2·48 / 0. 5 = 192, a = 8√3 см — это ответ.
Периметр прямоугольника рассчитывается по формуле : P = 2(a + b) Подставим значения a и b в формулу и получим : P = 2(10 + 8) = 36 см Ответ : 36 см.
Три прямые пересекаются в одной точке и образуют шесть углов. Найдите сумму трёх из этих углов, которые попарно не имеют общих точек.
Известно : биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам (в нашем случае — катетам), т. Е. дано отношение катетов 15 : 20 = 3 : 4 отношение катетов — — это тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике и..
Теорема синусов
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Доказательство теоремы синусов
Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:
Формула теоремы синусов:
Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.
Из этой формулы мы получаем два соотношения:
На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:
bc sinα = ca sinβ
Из этих двух соотношений получаем:
Теорема синусов для треугольника доказана.
Эта теорема пригодится, чтобы найти:
- Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
- Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.
Доказательство следствия из теоремы синусов
У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.
где R — радиус описанной около треугольника окружности.
Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:
Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:
Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.
Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.
1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.
Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.
Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.
Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.
BA1 = 2R, где R — радиус окружности
Следовательно: R = α/2 sinα
Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.
2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.
Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.
Следовательно, ∠А1 = 180° — α.
Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:
Также известно, что sin(180° — α) = sinα.
В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:
α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα
Следовательно: R = α/2 sinα
Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.
Часто используемые тупые углы:
- sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
- sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
- sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.
3. Угол ∠А = 90°.
В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.
Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.
Теорема о вписанном в окружность угле
Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.
Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.
Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.
Формула теоремы о вписанном угле:
Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).
Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:
На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.
Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле
Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.
ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.
Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле
Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:
Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.
Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.
Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.
Следовательно: α + γ = 180°.
Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.
Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле
Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:
sinγ = sin(180° — α)
Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα
Примеры решения задач
Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.
Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.
- Согласно теореме о сумме углов треугольника:
∠B = 180° — 45° — 15° = 120°
Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.
В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:
Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.
Ответ: угол составляет примерно 53,1°.
Запоминаем
Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
>