В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность, которая касается гипотенузы AB в точке K, а катетов — в точках P и M.
а) Докажите, что площадь треугольника ABC равна AK · BK.
б) Найдите площадь треугольника PKM, если известно, что AK = 12, BK = 5.
а) Пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC, r — радиус этой окружности, P ∈ BC, M ∈ AC. Соединим О с вершинами треугольника А, В и С.
Докажем, что CMOP — квадрат.
По свойству касательной к окружности: OP ⊥ BC, OM ⊥ AC. Следовательно, MC || OP, OM || CP, значит, CMOP — параллелограмм.
CMOP — параллелограмм, ∠P = 90°, значит, CMOP — прямоугольник, CMOP — прямоугольник, OM = OP = r, значит, CMOP — квадрат.
По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки: BK = BP, AK = AM, MC = CP.
То есть 2S(ABC) = AK · BK + S(ABC), откуда: S(ABC) = AK · BK, что и требовалось доказать.
б) Соединим точки M и K, M и P, P и K отрезками. Найдем r.
Но как было доказано выше, S(ABC)=AK · BK = 60. Следовательно,
Пусть ∠BAC = α, тогда:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. Содержание
Задача 30638 окружность с центром о, вписанная в.Условие
окружность с центром о, вписанная в прямоугольный треугольник АВС, касается гипотенузы АВ в точке М, а катета АС — в точке N, АС Решение
O- точка пересечения биссектрис СО; ВО и АО. В треугольнике АВС По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки, отрезки касательных равны. Δ AMN — равнобедренный ∠ CNM — смежный с углом ∠ ANM В Δ NKC: Значит ∠ СKN= 180^(o) — ∠ СNM — ∠ NCO= 180^(o) — (135^(o)- α )-45^(o)= α ∠ СKN= α =(1/2) ∠ АВС Помогите решить Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC, касается гипотенузы AB в точке F?Геометрия | 5 — 9 классы Помогите решить Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC, касается гипотенузы AB в точке F. Найдите радиус вписанной окружности, если AC = 9 см, AF : FB = 2 : 3.
В прямоугольный треугольник вписана окружность?В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка ее касания с гипотенузой делит гипотенузу на части, длины которых равны 6 см и 4 см. Вычислите радиус окружности.
Прямоугольный треугольник разделен высотой, проведённой к гипотенузе, на два треугольника, в которые вписаны окружности радиусов 5 см и 12 см?Прямоугольный треугольник разделен высотой, проведённой к гипотенузе, на два треугольника, в которые вписаны окружности радиусов 5 см и 12 см. Радиус окружности вписанной в треугольник равен…?
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 15 см, радиус вписанной окружности равен 2 см?В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 15 см, радиус вписанной окружности равен 2 см. Найдите площадь треугольника.
1) Равносторонний треугольник ABC вписан в окружность радиуса 6 см?1) Равносторонний треугольник ABC вписан в окружность радиуса 6 см. Найдите его сторону. 2) Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вписан в окружность. Найдите его радиус.
1. В угол, величина которого равна 60 градусов, вписаны две окружности, которые внешним образом касаются друг друга?1. В угол, величина которого равна 60 градусов, вписаны две окружности, которые внешним образом касаются друг друга. Найдите радиус большей из них, если радиус меньшей равен 6 см. 2. Точка касания вписанной окружности делит гипотенузу прямоугольного треугольника на отрезки, один из которых на 14 см больше другого. Найдите площадь треугольника, если радиус вписанной окружности равен 4 см.
Гипотенуза прямоугольного треугольника = 10 см, радиус вписанной в этот треугольник окружности = 2 см, Найдите площадь этого треугольника?Гипотенуза прямоугольного треугольника = 10 см, радиус вписанной в этот треугольник окружности = 2 см, Найдите площадь этого треугольника.
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиус вписанной в него окружности r = 3 см, а гипотенуза с = 15 см?Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиус вписанной в него окружности r = 3 см, а гипотенуза с = 15 см.
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиус вписанной в него окружности r = 3 см, а гипотенуза с = 15 см?Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиус вписанной в него окружности r = 3 см, а гипотенуза с = 15 см.
Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника если один из его катетом 3 см, а радиус вписанной в него окружность 1 см?Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника если один из его катетом 3 см, а радиус вписанной в него окружность 1 см.
В прямоугольный треугольник вписана окружность Точка касания делит гипотенузу на отрезки 3 сантиметра и 2 сантиметра найдите радиус этой окружности?В прямоугольный треугольник вписана окружность Точка касания делит гипотенузу на отрезки 3 сантиметра и 2 сантиметра найдите радиус этой окружности. Вы находитесь на странице вопроса Помогите решить Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC, касается гипотенузы AB в точке F? из категории Геометрия. Уровень сложности вопроса рассчитан на учащихся 5 — 9 классов. На странице можно узнать правильный ответ, сверить его со своим вариантом и обсудить возможные версии с другими пользователями сайта посредством обратной связи. Если ответ вызывает сомнения или покажется вам неполным, для проверки найдите ответы на аналогичные вопросы по теме в этой же категории, или создайте новый вопрос, используя ключевые слова: введите вопрос в поисковую строку, нажав кнопку в верхней части страницы.
1. Найдём угол при основании : (180 — 76) : 2 = 52 градуса. 2. Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис. Т. е АО — биссектриса угла ВАЕ. 3. OE и OD перпендикулярны к сторонам треугольника как радиусы, про..
Решение в приложении.
МК||АС, АВ — секущая. По свойству углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей соответственные ∠ВМК = ∠ВАС = 80° MN — биссектриса, ∠ВМN = ∠KMN = 80° : 2 = 40° ВС — секущая при параллельных МК и АС. ⇒соответственные ∠ВКМ = ∠ВСА = ..
Ты знаешь чему равна длина отрезка ВС , и знаешь длина АС, и тут ты можешь так. BC — AC = BA 8 — 3 = 5.
З вeршини кута провeдeно промінь , пeрпeндикулярний до його бісeктриси , який утворює зі стороною даного кута гострий кут, градусна міра якого в 4 рази більша за даний кут . Знайдіть даний кут.
Площадь треугольника S = (a²·sinα) / 2, где а — боковая сторона, α — угол при вершине. A² = 2S / sinα = 2·48 / 0. 5 = 192, a = 8√3 см — это ответ.
Периметр прямоугольника рассчитывается по формуле : P = 2(a + b) Подставим значения a и b в формулу и получим : P = 2(10 + 8) = 36 см Ответ : 36 см.
Три прямые пересекаются в одной точке и образуют шесть углов. Найдите сумму трёх из этих углов, которые попарно не имеют общих точек.
Известно : биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам (в нашем случае — катетам), т. Е. дано отношение катетов 15 : 20 = 3 : 4 отношение катетов — — это тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике и.. |
